平行四邊形解題方法與技巧

1、 解讀平行四邊形正確理解平行四邊形的概念有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形. 用數(shù)學(xué)語言表示為: 在四邊形ABCD中 , 若 AB DC,ADBC,則四邊形ABCD是平行四邊形. 記作 ABCED.平行四邊形的定義也是判定一個(gè)四邊形是不是平行四邊形 TOC o 1-5 h z 的一種方法.掌握平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)可以從以下三個(gè)方面去理解:從邊著眼: 平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行且相等;從角著眼: 平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等, 鄰角互補(bǔ);從對(duì)角線著眼: 平行四邊形的對(duì)角線互相平分.事實(shí)上 , 平行四邊形的對(duì)角線除了互相平分外, 它還是將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形的”橋梁”, 在處理許

2、多與平行四邊形有關(guān)的問題時(shí), 常用”對(duì)角線”互相平分這一性質(zhì)解決 . 如 : ABCD的周長為26, 對(duì)角線 AC和 BD相交于點(diǎn)O,若AOB的周長比AOD的周長多1, 這樣我們就可以利用平行四邊形的對(duì)邊相等和對(duì)角線互相平分得到AB+AD=13,AB-AD=1,從而求得AB=7,AD=6.掌握平行四邊形的判定方法 TOC o 1-5 h z 判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的方法主要有:兩組對(duì)邊分別平行;兩組對(duì)邊分別相等;一組對(duì)邊平行且相等;兩組對(duì)角分別相等;兩條對(duì)角線互相平分.平行四邊形性質(zhì)的活用平行四邊形除了具有一般四邊形的性質(zhì)外, 還具有以下特性:(1) 對(duì)邊平行且相等;(2) 對(duì)角相等, 鄰

3、角互補(bǔ);(3) 對(duì)角線互相平分;(4) 是中心對(duì)稱圖形, 對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心;(5) 平行四邊形被對(duì)角線分成的4個(gè)三角形的面積相等.例 1: 已知：如圖，在 ABCD中，E、 F 分別是AB、 CD的中點(diǎn)求證：(1)AFDCEB；(2)四邊形AECF是平行四邊形.例 2: 如圖，在平行四邊形ABCD中，E、 F 分別是AB、 CD上的點(diǎn)，且DAF= BCE1 )求證：DAFBCE；2)若ABC=60，ECB=20，ABC的平分線BN交 AF與 M，交AD于 N，求AMN的度數(shù)判定平行四邊形的五種基本方法判定平行四邊形的五種方法兩組對(duì)邊分別平行例 : 如圖1，已知ABC是等邊三角形，D、

4、E 分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連結(jié)DE并延長至點(diǎn)F，使EF=AE，連結(jié)AF、 BE和 CF請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，并加以證明；判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由。一組對(duì)邊平行且相等 TOC o 1-5 h z 例 : 已知：如圖2，在正方形ABCD中，G是CD上一點(diǎn)，延長BC到E，使CE=CG，連結(jié)BG并延長交DE于F求證：BCGDCE；將DCE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到DAE，判斷四邊形E BGD是什么特殊四邊形？并說明理由。兩組對(duì)邊分別相等例 : 如圖 3 所示，在ABC中，分別以AB、 AC、 BC為邊在BC的同側(cè)作等邊ABD，等邊ACE，等邊BCF。求證：四邊形D

5、AEF是平行四邊形；對(duì)角線互相平分例 : 已知：如圖4，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于O，AEBD于E，BFAC于F，CGBD于G， DH AC于 H，求證：四邊形EFGH是平行四邊形。兩組對(duì)角相等例 : 將兩塊全等的含30角的三角尺如圖1 擺放在一起, 四邊形ABCD是平行四邊形嗎？理由(1) 如圖2，將Rt BCD沿射線BD方向平移到Rt B1C1D1的位置，四邊形ABC1D1是平行四邊形嗎？說出你的結(jié)論和理由：判定平行四邊形的解題思路 在學(xué)習(xí)了“平行四邊形”這部分內(nèi)容后，對(duì)于平行四邊形的判定問題，可從以下幾個(gè)方面去考慮： 思路 1 ：證明兩組對(duì)邊分別相等例 1 如圖所示，在A

6、BC中，ACB90，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在DE上，并且 AF CE. 求證：四邊形ACEF是平行四邊形 .思路2：證明兩組對(duì)邊分別平行例 2 已知：如圖，在ABC中，ABAC，E是 AB的中點(diǎn)，D在BC上，延長ED到F，使ED =DF =EB.連結(jié)FC. 求證：四邊形AEFC是平行四邊形.思路 3：證明一組對(duì)邊平行且相等例 3 如圖，已知平行四邊形思路 3：證明一組對(duì)邊平行且相等例 3 如圖，已知平行四邊形ABCD中，E、F 分別是AB、CD上的點(diǎn)，AE =CF，M、N分別是DE、BF的中點(diǎn) . 求證：四邊形ENFM是平行四邊形二、考慮“對(duì)角”關(guān)系思路：證明兩組對(duì)角分

7、別相等例 4 如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、 F 分別是AD、 BC的中點(diǎn).求證：（1）ABECDF；（ 2）四邊形BFDE是平行四邊形.思路：證明兩條對(duì)角線相互平分例 5 如圖，在平行四邊形ABCD中，P1、 P2是對(duì)角線BD的三等分點(diǎn)求證：四邊形AP1CP求證：四邊形AP1CP2是平行四邊形如何構(gòu)造平行四邊形解題作一邊的平行線例 : 如圖所示，在ABC中，AB=AC，在AB邊上取點(diǎn)D，在AC的延長線上取點(diǎn)E，使得BD=CE，連接DE交 BC于點(diǎn)G，求證：DG=GE借助對(duì)角線構(gòu)造 TOC o 1-5 h z 例 : 如圖所示，在ABC中，AB 10， AC 6，那么BC邊上的中線AD的取值

8、范圍是3. 補(bǔ)形構(gòu)造例 : 一個(gè)六邊形ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角都是120，連續(xù)四邊的長依次為AB=1， BC=3， CD=3， DE=2，求這個(gè)六邊形ABCDEF的周長.構(gòu)造平行四邊形解題的主要題型一、求線段的長例如圖，在正ABC中，P為邊AB上一點(diǎn)，Q為邊AC上一點(diǎn)，且AP=CQ今量得A點(diǎn)與線段PQ的中點(diǎn)M之間的距離是19cm，則P 點(diǎn)到 C點(diǎn)的距離等于cm BD C例 2 如圖2，在梯形ABCD中，AD/ BC， AB=CD，延長CB到 E，使EB=AD，連接AE求證：AE=AC例 3 如圖3，ABC中，證：DE+FG=BCD， F 是 AB邊上兩點(diǎn)，且AD=BF，作DE/BC，G求四、證明

9、線段倍分問題例 4 如圖，已知E 為平行四邊形ABCD中 DC邊的延長線上一點(diǎn)，且F， G，連接AC交 BD于 O，連接OF試說明：AB=2OFCE=DC，連接AE，分別交BC，BD于點(diǎn)五、證明兩直線平行問題例 5 如圖5，ABC中，E，F(xiàn) 分別是AB，BC邊的中點(diǎn)，M，N是AD求證：AB/ CDADEMO NBFC圖5六、證明兩直線垂直問題例 6 如圖6，分別以ABC的邊AB， AC為一邊在三角形外作正方形MA BCNE2 A13 M H GB D CC的三等分點(diǎn)，EM， FN的延長線交于點(diǎn)ABEF和 ACG，H M為 FH的中點(diǎn)求證： 平行四邊形在實(shí)際生活中的應(yīng)用例 1 如圖，是某城市街道示意圖，AF BC， EC BC， BA DE， BD AE。甲、乙兩人同時(shí)從B 站乘車到F站，甲乘1 路車，路線BA E F；乙乘2 路車，路線是B DC F。假設(shè)兩車速度相同，途中耽誤時(shí)二、說明理由例 2 如圖，某村有一個(gè)四邊形池塘，在它四個(gè)角A、 B、 C、 D處均有一棵桃數(shù)