概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1、概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第1頁(yè)，共20頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)2分，星期四 (1) 隨機(jī)變量的分布雖然全面完整地反映了隨機(jī)變量的概率性質(zhì)，但有時(shí)卻不夠集中突出地反映隨機(jī)變量的某些特征。需要引進(jìn)一些數(shù)量來(lái)表示平均值和衡量偏離程度。 研究隨機(jī)變量的數(shù)字特征的必要性隨機(jī)變量的數(shù)字特征(2) 在許多實(shí)際問題中，隨機(jī)變量的分布并不容易求出。 (3) 在許多實(shí)際問題中，完全、確切地掌握隨機(jī)變量的分布并 不必要，而只需知道它的某些特征就夠了。例：在測(cè)量某零件的長(zhǎng)度時(shí)，由于種種偶然因素的影響，測(cè)量到的零件的長(zhǎng)度是一個(gè)隨機(jī)變量，一般我們關(guān)心的是測(cè)量的平均長(zhǎng)度以及測(cè)量結(jié)果的精確程度測(cè)量的長(zhǎng)度與平均值的偏離程度。 表

2、示平均值和衡量偏離程度的量雖然不能完整地描述隨機(jī)變量，但它能夠描述隨機(jī)變量的某些重要特征，我們把其稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征。第2頁(yè)，共20頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)2分，星期四解：直接比較，難知兩射手技術(shù)的優(yōu)劣。故只能也只需找出更能集中、突出地描述兩射手技術(shù)水平的數(shù)字特征。 讓我們先來(lái)研究概率論中刻劃平均值的數(shù)字特征。 例：甲乙兩人各射擊 1000 次，其命中環(huán)數(shù)的次數(shù)為隨機(jī)變量，記為 X1, X2。射擊情況如表 1 所示。試問甲乙二人誰(shuí)的水平較高？表1 X1 525 200 50 100 75 50 X2 400 200 245 155 0 0環(huán)數(shù) x i 10 9 8 7 6 5不難計(jì)

3、算出兩射手命中目標(biāo)的“平均環(huán)數(shù)”分別為從平均環(huán)數(shù)看，甲比乙水平高一點(diǎn)。頻率以頻率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均值第3頁(yè)，共20頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)2分，星期四不難看出，由于頻率的隨機(jī)性，如果讓甲乙二人再各射擊1000次 同樣計(jì)算，結(jié)果一般不會(huì)相同。若令 fi 表示頻率，則上述二式可表示為 由概率的統(tǒng)計(jì)定義知道，在大量試驗(yàn)下頻率 fi 概率 pi 穩(wěn)定于從而穩(wěn)定于表2P(X1=x i) 0.526 0.2 0.05 0.1 0.074 0.05環(huán)數(shù) x i 10 9 8 7 6 5P(X2=x i) 0.398 0.2 0.245 0.157 0 0 若甲、乙的命中環(huán)數(shù) X1 , X2 的分布列如

4、表 2 所示，概率以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均值數(shù)學(xué)期望則第4頁(yè)，共20頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)2分，星期四第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望（均值） 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望就是其取值的加權(quán)平均值，權(quán)為概率。一 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X 的概率函數(shù)為 P (X=x i )=pi i = 1, 2, 若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，則稱 為隨機(jī)變量X 的數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望或均值。記作E X ，即E X =如果級(jí)數(shù) 不絕對(duì)收斂，則稱隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望不存在 對(duì)要求絕對(duì)收斂的說(shuō)明：離散型隨機(jī)變量的取值是可依某種次序一一列舉的，對(duì)同一個(gè)隨機(jī)變量，它的取值的列舉次序可以有所不同，當(dāng)改變列舉次序時(shí)它的數(shù)學(xué)期

5、望是不應(yīng)該改變的，這就意味著級(jí)數(shù) 的求和次序可以改變而其和要保持不變，要達(dá)到這一點(diǎn)，必須有 絕對(duì)收斂。注意 數(shù)學(xué)期望的直觀含義：平均值 第5頁(yè)，共20頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)2分，星期四 例：一批產(chǎn)品中有一、二、三等、四等品、廢品 5 種, 相應(yīng)的概率分別為 0.7、0.1、0.1、0.06、0.04，若其產(chǎn)值分別為 6元、5.4元、5元、4元、0 元。產(chǎn)值 X是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布如表3 求：產(chǎn)品的平均產(chǎn)值。例：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為解：EX = 60.7+5.40.1+50.1+40.06+00.04 = 5.48(元)解：0.040.060.10.10.7P0455.46

6、X表3求：EX 第6頁(yè)，共20頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)2分，星期四記為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的概率密度為 ，若積分 絕對(duì)收斂，則稱積分 為 X的數(shù)學(xué)期望。例：計(jì)算在區(qū)間 a , b 上服從均勻分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望解：依題意二 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望結(jié)論：在區(qū)間 a , b 上服從均勻分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望 是區(qū)間中點(diǎn)第7頁(yè)，共20頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)2分，星期四例：設(shè)隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，求X 的數(shù)學(xué)期望則解：指數(shù)分布的密度函數(shù)為這表明指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望為 。例：設(shè) X 的密度函數(shù)為 求 X 的數(shù)學(xué)期望。解：第8頁(yè)，共20頁(yè)，2022年，5月20日，

7、6點(diǎn)2分，星期四設(shè)隨機(jī)變量 X 服從柯西 (Cauchy) 分布，其密度函數(shù)為例：第9頁(yè)，共20頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)2分，星期四定理3.1：設(shè) Y =g(X )，g(x) 是連續(xù)函數(shù)，那么(2) 若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 f ( x )， (1) 若X 為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為求 E Y 時(shí)，可以不求Y=g(X ) 的分布，而直接利用X 的分布。三 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望第10頁(yè)，共20頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)2分，星期四 解：例：設(shè)隨機(jī)變量X 的分布列為求：EX2，E(2X -1)。P 1/8 1/4 3/8 1/4X -1 0 2 3例：求：EY 解：第

8、11頁(yè)，共20頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)2分，星期四定理3.2若(X ,Y) 是二維隨機(jī)變量，Z=g(X ,Y )(1) 若 (X ,Y ) 為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布為(2) 若 (X ,Y )為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合密度函數(shù)為 f ( x , y ) 且第12頁(yè)，共20頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)2分，星期四解： 設(shè) (X,Y)的聯(lián)合密度為例：求： EXY 設(shè) (X,Y)的聯(lián)合概率分布為例：求： E(X+Y)XY 1 2 1 2 3 0.1 0.30.150.2 00.25 解：(1+1)x0.1+(1+2) x 0.2+(1+3) x 0+(2+1) x0.3+(2+2

9、) x 0.15+(2+3) x0.25=3.55第13頁(yè)，共20頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)2分，星期四性質(zhì)1：常量的期望就是這個(gè)常量本身, 即 E(c)=c.證： 常量 c 可看作僅取一個(gè)值 c 的隨機(jī)變量，且取值 c 的概率為1，即 X 的分布為 P(X =c)=1，這種分布稱為退化分布，其數(shù)學(xué)期望為E(c)=c1=c推論：E(EX ) = EX性質(zhì)2：隨機(jī)變量X與常量 c 之和的數(shù)學(xué)期望等于X的期望與這個(gè)常量 c 的和 E(X+c)=EX +c證：設(shè)X的分布為 pk（離散型）；密度函數(shù)為 f(x)（連續(xù)型），則 四 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)第14頁(yè)，共20頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)2分

10、，星期四性質(zhì)3：常量 c與隨機(jī)變量X的乘積的期望等于 c與X的期望的乘積， E(cX ) = cEX 證：設(shè) X 的分布為 pk（離散型）；密度函數(shù)為 f(x)（連續(xù)型）則性質(zhì)4：隨機(jī)變量的線性函數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于這個(gè)隨機(jī)變量期望 的同一線性函數(shù)，即E(kX +c)=k EX+c證： E(kX +c) = E(kX)+c = kEX +c第15頁(yè)，共20頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)2分，星期四性質(zhì)5：兩個(gè)隨機(jī)變量之和（差）的數(shù)學(xué)期望等于這兩個(gè)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的和（差） E (X Y) = EX EY推論： 對(duì)任意常數(shù)ci (i=1,2,n)、常數(shù)b及隨機(jī)變量X i(i=1,2,n) 特別地，

11、n 個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均數(shù)仍是一個(gè)隨機(jī)變量，其期望值 等于這 n 個(gè)隨機(jī)變量期望的算術(shù)平均數(shù)。第16頁(yè)，共20頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)2分，星期四性質(zhì)6：兩個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量乘積的數(shù)學(xué)期望等于它們數(shù)學(xué)期望的乘積, 即E(XY)=EXEY證：離散型：設(shè) (X ,Y) 的聯(lián)合分布為 pij ，邊緣分布為 pi(1) 和 pj(2) 連續(xù)型：設(shè) (X ,Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 f (x, y)，邊緣密度函數(shù)分別為 fX(x)和 fY(y)，則第17頁(yè)，共20頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)2分，星期四解： EX=90.3+100.5+110.2=9.9 EY 2 =620.4+720.6=4

12、3.8 例：兩相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 X,Y 的分布如下面兩表所示。0.20.50.3P11109X0.60.4P76Y 求：E(X+Y ) 、 E(XY ) 和 EY2 且 因 X與Y 相互獨(dú)立，所以 E(XY) =EXE Y=9.96.6=65.34 則 E(X+Y)=EX+EY=9.9+6.6=16.5 EY =60.4+70.6=6.6 設(shè) (X,Y)的聯(lián)合概率分布為例：求： E(X+Y)XY 1 2 1 2 3 0.1 0.30.150.2 00.25 解： 0.250.350.4P321Y 0.70.3P21X EX =10.3+20.7=1.7 EY =10.4+20.35 +30.25=1.85 E(X+Y)=EX+EY=1.7+1.85=3.55第18頁(yè)，共20頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)2分，星期四五 條件數(shù)學(xué)期望 定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X,Y 的聯(lián)合概率函數(shù)為 P (X=x i , Y=yj)=pi j i,j = 1, 2, ,在Y=yj條件下X的條件概率函數(shù)為P (X=x i | Y=yj) i = 1, 2, 若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，則稱 為隨機(jī)變量X 的條件