西藏拉薩北京實驗中學2023學年高考仿真模擬數(shù)學試卷（含解析）

1、2023學年高考數(shù)學模擬測試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1若命題p：從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為三分之一；命題q：在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點M，則AMB90的概率為8Apq B(p)q Cp(q

2、) Dq2如圖，在中，且，則（ ）A1BCD3若實數(shù)滿足不等式組，則的最大值為（ ）ABC3D24關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（ ）ABCD5已知集合，集合，則AB或CD6如圖，是圓的一條直徑，為半圓弧的兩個三等分點，則（ ）ABCD7下列說法正確的是（ ）A“若，則”的否命題是“若，則”B在中，“”是“”成立的必要不充分條件C“若，則”是真命題D存在，使得成立8設(shè)點，P為曲線上動點，若點A，P間距離的最小值為，則實數(shù)t的值為（ ）ABCD9已知橢圓的中心為原點，為的左焦點，為上一點，滿足且，則橢圓的方程為（ ）ABCD10如圖所示，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四

3、個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋（球體）離蛋巢底面的最短距離為（ ）ABCD11阿基米德（公元前287年公元前212年）是古希臘偉大的哲學家、數(shù)學家和物理學家，他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)學家.據(jù)說，他自己覺得最為滿意的一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個結(jié)論，要求后人在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一個球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊，表面積為的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則該球的體積為 （ ）ABCD12已知橢圓的短軸長為2，焦距為分別是橢圓的左

4、、右焦點，若點為上的任意一點，則的取值范圍為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在正方體中，已知點在直線上運動，則下列四個命題中：三棱錐的體積不變；當為中點時，二面角 的余弦值為；若正方體的棱長為2，則的最小值為；其中說法正確的是_（寫出所有說法正確的編號）14在三棱錐中，三條側(cè)棱兩兩垂直，則三棱錐外接球的表面積的最小值為_.15已知平行于軸的直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點，為坐標原點，若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為_.16小李參加有關(guān)“學習強國”的答題活動，要從4道題中隨機抽取2道作答，小李會其中的三道題，則抽到的2道題小李都會的概率為_.三、解答

5、題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)，常數(shù)），曲線的極坐標方程是.（1）寫出的普通方程及的直角坐標方程，并指出是什么曲線；（2）若直線與曲線，均相切且相切于同一點，求直線的極坐標方程.18（12分）如圖在棱錐中，為矩形，面，（1）在上是否存在一點，使面，若存在確定點位置，若不存在，請說明理由；（2）當為中點時，求二面角的余弦值.19（12分）已知函數(shù)f(x)xlnx，g(x)x2ax.（1）求函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1(t0)上的最小值m(t)；（2）令h(x)g(x)f(x)，A(x1，h

6、(x1)，B(x2，h(x2)(x1x2)是函數(shù)h(x)圖像上任意兩點，且滿足1，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若x(0,1，使f(x)成立，求實數(shù)a的最大值20（12分）如圖所示，已知平面，為等邊三角形，為邊上的中點，且.()求證：面；()求證：平面平面；()求該幾何體的體積21（12分）設(shè)等差數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求的前項和及使得最小的的值.22（10分）這次新冠肺炎疫情，是新中國成立以來在我國發(fā)生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度最大的一次重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件.中華民族歷史上經(jīng)歷過很多磨難，但從來沒有被壓垮過，而是愈挫愈勇，不斷在磨難中成長，從磨難中奮起.在這次疫情中

7、，全國人民展現(xiàn)出既有責任擔當之勇、又有科學防控之智.某校高三學生也展開了對這次疫情的研究，一名同學在數(shù)據(jù)統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)，從2020年2月1日至2月7日期間，日期和全國累計報告確診病例數(shù)量（單位：萬人）之間的關(guān)系如下表：日期1234567全國累計報告確診病例數(shù)量（萬人）1.41.72.02.42.83.13.5（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，運用相關(guān)系數(shù)進行分析說明，是否可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？ （2）求出關(guān)于的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）.并預測2月10日全國累計報告確診病例數(shù).參考數(shù)據(jù)：，.參考公式：相關(guān)系數(shù)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.2023學年模擬測試卷參考答案（含

8、詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【答案解析】因為從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為P1=1C42=16，即命題p是錯誤，則p是正確的；在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點M點睛：本題將古典型概率公式、幾何型概率公式與命題的真假（含或、且、非等連接詞）的命題構(gòu)成的復合命題的真假的判定有機地整合在一起，旨在考查命題真假的判定及古典概型的特征與計算公式的運用、幾何概型的特征與計算公式的運用等知識與方法的綜合運用，以及分析問題 解決問題的能力。2、C【答案解析】由題可,所以將已知式子中的向量用

9、表示，可得到的關(guān)系，再由三點共線，又得到一個關(guān)于的關(guān)系，從而可求得答案【題目詳解】由，則，即，所以，又共線，則.故選：C【答案點睛】此題考查的是平面向量基本定理的有關(guān)知識，結(jié)合圖形尋找各向量間的關(guān)系，屬于中檔題.3、C【答案解析】作出可行域，直線目標函數(shù)對應的直線，平移該直線可得最優(yōu)解【題目詳解】作出可行域，如圖由射線，線段，射線圍成的陰影部分（含邊界），作直線，平移直線，當過點時，取得最大值1故選：C【答案點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，解題關(guān)鍵是作出可行域，本題要注意可行域不是一個封閉圖形4、A【答案解析】由的解集，可知及，進而可求出方程的解，從而可求出的解集.【題目詳解】由的解集為，可

10、知且，令，解得，因為，所以的解集為，故選：A.【答案點睛】本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查學生的計算求解能力與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【答案解析】由可得，解得或，所以或，又，所以，故選C6、B【答案解析】連接、，即可得到，再根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運算律計算可得；【題目詳解】解：連接、，是半圓弧的兩個三等分點， ，且，所以四邊形為棱形，故選：B【答案點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及其運算律的應用，屬于基礎(chǔ)題.7、C【答案解析】A：否命題既否條件又否結(jié)論，故A錯.B：由正弦定理和邊角關(guān)系可判斷B錯.C：可判斷其逆否命題的真假，C正確.D：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯.【題目詳解】

11、解：A：“若，則”的否命題是“若，則”，故 A錯.B：在中，故“”是“”成立的必要充分條件，故B錯.C：“若，則”“若，則”，故C正確.D：由冪函數(shù)在遞減，故D錯.故選：C【答案點睛】考查判斷命題的真假，是基礎(chǔ)題.8、C【答案解析】設(shè)，求，作為的函數(shù)，其最小值是6，利用導數(shù)知識求的最小值【題目詳解】設(shè)，則，記，易知是增函數(shù)，且的值域是，的唯一解，且時，時，即，由題意，而，解得，故選：C【答案點睛】本題考查導數(shù)的應用，考查用導數(shù)求最值解題時對和的關(guān)系的處理是解題關(guān)鍵9、B【答案解析】由題意可得c=，設(shè)右焦點為F，由|OP|=|OF|=|OF|知，PFF=FPO，OFP=OPF，所以PFF+OFP

12、=FPO+OPF，由PFF+OFP+FPO+OPF=180知，F(xiàn)PO+OPF=90，即PFPF在RtPFF中，由勾股定理，得|PF|=，由橢圓定義，得|PF|+|PF|=2a=4+8=12，從而a=6，得a2=36，于是 b2=a2c2=36=16，所以橢圓的方程為故選B點睛：橢圓的定義：到兩定點距離之和為常數(shù)的點的軌跡，當和大于兩定點間的距離時，軌跡是橢圓，當和等于兩定點間的距離時，軌跡是線段（兩定點間的連線段），當和小于兩定點間的距離時，軌跡不存在10、D【答案解析】因為蛋巢的底面是邊長為的正方形，所以過四個頂點截雞蛋所得的截面圓的直徑為，又因為雞蛋的體積為，所以球的半徑為，所以球心到截面

13、的距離，而截面到球體最低點距離為，而蛋巢的高度為，故球體到蛋巢底面的最短距離為.點睛:本題主要考查折疊問題，考查球體有關(guān)的知識.在解答過程中，如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何體的問題時，可以采用軸截面的方法來處理.也就是畫出題目通過球心和最低點的截面，然后利用弦長和勾股定理來解決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.11、C【答案解析】設(shè)球的半徑為R，根據(jù)組合體的關(guān)系，圓柱的表面積為，解得球的半徑，再代入球的體積公式求解.【題目詳解】設(shè)球的半徑為R，根據(jù)題意圓柱的表面積為，解得，所以該球的體積為 .故選：C【答案點睛】本題主要考查組合體的表面積和體積，還考查了對數(shù)學史了解，屬于基

14、礎(chǔ)題.12、D【答案解析】先求出橢圓方程，再利用橢圓的定義得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求，從而可得的取值范圍.【題目詳解】由題設(shè)有，故，故橢圓，因為點為上的任意一點，故.又，因為，故，所以.故選：D.【答案點睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，一般地，如果橢圓的左、右焦點分別是，點為上的任意一點，則有，我們常用這個性質(zhì)來考慮與焦點三角形有關(guān)的問題，本題屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】，平面，得出上任意一點到平面的距離相等，所以判斷命題；由已知得出點P在面上的射影在上，根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)或三垂線定理，可判斷命題；當為中點時，以點D為坐標原點，建立空間直角

15、系，如下圖所示，運用二面角的空間向量求解方法可求得二面角的余弦值，可判斷命題；過作平面交于點，做點關(guān)于面對稱的點，使得點在平面內(nèi)，根據(jù)對稱性和兩點之間線段最短，可求得當點在點時，在一條直線上，取得最小值.可判斷命題.【題目詳解】，平面，所以上任意一點到平面的距離相等，所以三棱錐的體積不變，所以正確；在直線上運動時，點P在面上的射影在上，所以DP在面上的射影在上，又，所以，所以正確；當為中點時，以點D為坐標原點，建立空間直角系，如下圖所示，設(shè)正方體的棱長為2.則:，所以，設(shè)面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)面的法向量為， ，即， ，由圖示可知，二面角 是銳二面角，所以二面角的余弦值為，所以不正確；

16、過作平面交于點，做點關(guān)于面對稱的點，使得點在平面內(nèi)，則，所以，當點在點時，在一條直線上，取得最小值. 因為正方體的棱長為2，所以設(shè)點的坐標為，所以，所以，又所以，所以，故正確.故答案為：.【答案點睛】本題考查空間里的線線，線面，面面關(guān)系，幾何體的體積，在求解空間里的兩線段的和的最小值，仍可以運用對稱的思想，兩點之間線段最短進行求解，屬于難度題.14、【答案解析】設(shè)，可表示出，由三棱錐性質(zhì)得這三條棱長的平方和等于外接球直徑的平方，從而半徑的最小值，得外接球表面積【題目詳解】設(shè)則，由兩兩垂直知三棱錐的三條棱的棱長的平方和等于其外接球的直徑的平方記外接球半徑為，當時，故答案為：【答案點睛】本題考查三

17、棱錐外接球表面積，解題關(guān)鍵是掌握三棱錐的性質(zhì)：三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐的外接球的直徑的平方等于這三條側(cè)棱的平方和15、2【答案解析】根據(jù)為等邊三角形建立的關(guān)系式，從而可求離心率.【題目詳解】據(jù)題設(shè)分析知，所以，得，所以雙曲線的離心率.【答案點睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求解，根據(jù)條件建立之間的關(guān)系式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).16、【答案解析】從四道題中隨機抽取兩道共6種情況，抽到的兩道全都會的情況有3種，即可得到概率.【題目詳解】由題：從從4道題中隨機抽取2道作答，共有種，小李會其中的三道題，則抽到的2道題小李都會的情況共有種，所以其概率為.故答案為：【答案點睛】此題考查根

18、據(jù)古典概型求概率，關(guān)鍵在于根據(jù)題意準確求出基本事件的總數(shù)和某一事件包含的基本事件個數(shù).三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），表示以為圓心為半徑的圓；為拋物線；（2）【答案解析】（1）消去參數(shù)的直角坐標方程，利用，即得的直角坐標方程；（2）由直線與拋物線相切，求導可得切線斜率，再由直線與圓相切，故切線與圓心與切點連線垂直，可求解得到切點坐標，即得解.【題目詳解】（1）消去參數(shù)的直角坐標方程為：.的極坐標方程.，.當時表示以為圓心為半徑的圓；為拋物線.（2）設(shè)切點為，由于，則切線斜率為，由于直線與圓相切，故切線與圓心與切點連線垂直，故有，直線的直角坐標方程為，

19、所以的極坐標方程為.【答案點睛】本題考查了極坐標，參數(shù)方程綜合，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）【答案解析】（1）要證明PC面ADE，由已知可得ADPC，只需滿足即可，從而得到點E為中點;（2）求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空間向量的數(shù)量積，求解二面角PAED的余弦值【題目詳解】（1）法一：要證明PC面ADE，易知AD面PDC，即得ADPC，故只需即可，所以由,即存在點E為PC中點. 法二：建立如圖所示的空間直角坐標系DXYZ， 由題意知PDCD1，設(shè)， ，由，得，即存在點E為PC中點.（2）由（1）知， ，設(shè)面ADE的法向量為

20、，面PAE的法向量為由的法向量為得，得，同理求得 所以，故所求二面角PAED的余弦值為.【答案點睛】本題考查二面角的平面角的求法，考查直線與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力19、（1）m(t)（2）a22.（3）a22.【答案解析】（1）是研究在動區(qū)間上的最值問題，這類問題的研究方法就是通過討論函數(shù)的極值點與所研究的區(qū)間的大小關(guān)系來進行求解（2）注意到函數(shù)h(x)的圖像上任意不同兩點A，B連線的斜率總大于1，等價于h(x1)h(x2)x1x2(x1x2)恒成立，從而構(gòu)造函數(shù)F(x)h(x)x在(0，)上單調(diào)遞增，進而等價于F(x)0在(0，)上恒成立來加以研究（3）用處理

21、恒成立問題來處理有解問題，先分離變量轉(zhuǎn)化為求對應函數(shù)的最值，得到a，再利用導數(shù)求函數(shù)M(x)的最大值，這要用到二次求導，才可確定函數(shù)單調(diào)性，進而確定函數(shù)最值【題目詳解】（1） f(x)1，x0，令f(x)0，則x1.當t1時，f(x)在t，t1上單調(diào)遞增，f(x)的最小值為f(t)tlnt；當0t1時，f(x)在區(qū)間(t,1)上為減函數(shù)，在區(qū)間(1，t1)上為增函數(shù)，f(x)的最小值為f(1)1.綜上，m(t)（2）h(x)x2(a1)xlnx，不妨取0 x1x2，則x1x20，則由，可得h(x1)h(x2)x1x2，變形得h(x1)x1h(x2)x2恒成立令F(x)h(x)xx2(a2)xl

22、nx，x0，則F(x)x2(a2)xlnx在(0，)上單調(diào)遞增，故F(x)2x(a2)0在(0，)上恒成立，所以2xa2在(0，)上恒成立因為2x2，當且僅當x時取“”，所以a22.（3）因為f(x)，所以a(x1)2x2xlnx.因為x(0,1，則x1(1,2，所以x(0,1，使得a成立令M(x)，則M(x).令y2x23xlnx1，則由y0 可得x或x1(舍)當x時，y0，則函數(shù)y2x23xlnx1在上單調(diào)遞減；當x時，y0，則函數(shù)y2x23xlnx1在上單調(diào)遞增所以yln40，所以M(x)0在x(0,1時恒成立，所以M(x)在(0,1上單調(diào)遞增所以只需aM(1)，即a1.所以實數(shù)a的最大值為1.【答案點睛】本題考查了函數(shù)與導數(shù)綜合問題，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學運算能力，屬于難題.20、（）見解析； （）見解析； （）.