電子科技大學(xué)計算機控制技術(shù)復(fù)習(xí)2

1、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是全部閉環(huán)極點在Z平面的單位圓內(nèi)。離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷已經(jīng)知道了離散系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是全部閉環(huán)特征根在單位圓內(nèi)，現(xiàn)在的問題是如 何判斷離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征根是否在單位圓內(nèi)。1.修正的Routh穩(wěn)定性判則連續(xù)系統(tǒng)中的Routh穩(wěn)定判據(jù)，實質(zhì)上是用來判斷系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根是否都 在左半S平面。而離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性需要確定系統(tǒng)特征方程的根是否都在Z平面的單 位圓內(nèi)。因此在Z域中不能直接套用Routh判據(jù)，如果把Z平面再映射到S平面，則 離散系統(tǒng)的特征方程又將成為S的超越方程。因此，引入新的坐標變換，將Z平面變 換到W平面，使得Z平面的單位圓內(nèi)映射到W平面的左半平面。這種變換，通常稱 為

2、巧變換。w變換式為w +1Z =w 一 1經(jīng)過w變換之后，判別系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，即1 + GH(z) = 0的所有根是否位于乙平面的單位圓內(nèi)，轉(zhuǎn)換為判別特征方程1 + GH(w) = 0的所有根是否位于左半w平面。后一種情況正 好與在S平面上應(yīng)用Routh穩(wěn)定判據(jù)的情況一樣，從而可以在W域直接應(yīng)用Routh判據(jù)， 稱之為修正的Routh穩(wěn)定判據(jù)，來判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例設(shè)離散系統(tǒng)的特征方程為F(z) = 45z3 -117z2 -119z - 39 = 0試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：先進行w變換I( w + 1 3( w + 1 2( w + 1。F(w) = F(z)| 川=45 - -11

3、7 - -119 - 一 39 = 0z= 1 v w 1) w 1)v w 1)化簡得40 w3 + 2 w2 + 2 w +1 = 0列出Routh陣列 TOC o 1-5 h z w3402w221w1180w010根據(jù)勞斯判據(jù)，第一列數(shù)值變換兩次，F(xiàn)(w)在W右半平面有兩個根，故該采樣系統(tǒng)有兩 個根在單位圓外，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。例如圖4-6例如圖4-6所示的系統(tǒng)，為保證系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，放大系數(shù)K的倍數(shù)的取值范圍。圖4-6例34的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖F(z) = 45z3 -117z2 -119z - 39 = 0試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：該系統(tǒng)的廣義對象為() K K(0.368z + 0.264)

4、G(Z片”-Z-1 勺 = G-俱-0.368)系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為C (z)_ G (z) _/K(0.368z + 0.264)RZ) _ 1 + G(z) _ z2 +(0.368K - 1.368)z +(0.264K + 0.368)特征方程為F (z) = z 2 +(0.368K - 1.368)z +(0.264K + 0.368)= 0令z =，進行w變換并化簡得w 一 10.632Kw2 + (1.264 - 0.528K W +(2.736 - 0.104K )= 0列Routh表W2W20.632K2.736 - 0.104Kw1 1.264 - 0.528K0w 2.73

5、6 - 0.104K0欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，則有0.632K 0 02.736 - 0.104K 0取其交集，得0 K 0-1) nF 司 01z=-1因此，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性可用如下步驟：判斷必要條件是否成立，若不成立，系統(tǒng)不穩(wěn)定;若必要條件成立，再構(gòu)造Jury表進一步判斷。設(shè)離散系統(tǒng)的特征方程為(4-4)F(z) = a zn + a zn-1 +. + a z + a = 0(4-4)式中 0。構(gòu)造Jury表如表4-1所示。表中，表中，第(i - 2 )行j列元素一第(i -1)行j列元素x上兩行末列元素之商，也就是說b = a -、-a ，c = b 一匕-b ，m = l -匕-1 k k a

6、n-k k k b n-k 00 l 1則線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：Jury表中所有奇數(shù)行第一列元數(shù)均大于零。即滿足a 0b 00 0.m初0時方程的全部特征根位于單位圓內(nèi)，對應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若其中有小于零的系數(shù)，則其個 數(shù)等于特征根在Z平面單位圓外的個數(shù)。例已知系統(tǒng)的特征方程為F(z) = z3 + 0.48z + 0.2 = 0，試判斷其穩(wěn)定性。解：檢驗必要條件F (1) = 1 + 0.48 + 0.2 = 1.68 0(-1)n F(-1) = (-1)3 (-1 - 0.48 + 0.2) = 1.28 0滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，再構(gòu)造Jury表如下100.480.20.2

7、-0.20.4801x 10.96 - 0.096 0.48-0.48 - 0.096 0.96 x0480.960.72- 0.048- 0.048-00480.72 x0.720.7168Jury陣列奇數(shù)行首列系數(shù)均大于零，故系統(tǒng)穩(wěn)定。二階離散系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件的簡便形式:|F (0)| v 1 0F (-1) 0也就是說，對于二階離散系統(tǒng)，如果式(4-6)成立，則系統(tǒng)穩(wěn)定。一、 k例已知采樣系統(tǒng)如圖4-7所示，其中如=和)，1秒，試求使系統(tǒng)穩(wěn)定的k 值范圍。解：開環(huán)傳函為G (z) = (1 - z -1) Z k (S + 1)_ k(0.368z + 0.264)z2 -1.368z

8、+ 0.368閉環(huán)特征方程為F (z) = 1 + G (z) = z 2 + (0.368k -1.368) z + (0.368 + 0.264k) = 0該系統(tǒng)為二階系統(tǒng)，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，須滿足二階離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件:F(0) = 0.368 + 0.264k 1即一1 0.368 + 0.264k 1，解得-5.18 k 0即 0.632k 0，解得 k 0 F(-1) = 1 - (0.368k -1.368) + (0.368 + 0.264k) 0即-0.104k + 2.736 0，解得k 26.3綜合起來，得到系統(tǒng)穩(wěn)定時k值范圍為0 k 2.39離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的定義連續(xù)系

9、統(tǒng)的誤差信號定義e(t) = r (t) - c(t)穩(wěn)態(tài)誤差為上述誤差的終值，即e = lim e(t)SS t 3連續(xù)系統(tǒng)中誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的定義可以推廣到離散系統(tǒng)中，不同的是，離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差只對采樣點而言。因此，離散系統(tǒng)的誤差定義為e*(t) = r *(t) - c*(t)穩(wěn)態(tài)誤差定義則為e* = lim e*(t) = lim e(kT)k 3離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計算靜態(tài)誤差系數(shù)法一、終值定理法靜態(tài)誤差系數(shù)法一、終值定理法e* = lim(1 - z-1) - E (z)ssz t1=ssz t1=lim(1 - z -1)-z t111 + D (z )G (Z)R( z)二、靜態(tài)

10、誤差系數(shù)法K = lim D (z )G (z)P zr11 .K =-lim( z -1) D( z )G (z)v T z. T11K =一lim(z -1)2 D(z)G(z)a T 2 z-1下面給出“0”型、“I”型和“II”型系統(tǒng)在三種典型輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差，如表4-2所示。表4-2采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差召*ssr (t) = 1(t)r(t) = tr (t) = 12/2“0”型系統(tǒng)1/ ( + k )88“I”型系統(tǒng)01 k8“II”型系統(tǒng)001 ka11.采樣系統(tǒng)的方框圖如圖8-1所示。設(shè)采樣周期T = 0.1秒，試確定系統(tǒng)分別 在單位階躍、單位斜坡和單位拋物線函數(shù)輸入信號作用下

11、的穩(wěn)態(tài)誤差。答案：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G (G (s)=s(0.1s +1)系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為G( zG( z) = Z G (s)=z (1 - e-1)(z -1)(z - e-1)0.632z(z -1)(z - 0.368)為應(yīng)用終值定理，必須判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，否則求穩(wěn)態(tài)誤差沒有意義。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為D (z) = 1 + G (z) = 0即(z -1)(z - 0.368) + 0.632z = 0z 2 - 0.736z + 0.368 = 0入 w +1令z =代入上式，求得w -1D( w) = 0.632w2 + 1.264w + 2.104 = 0由于系數(shù)均大于零

12、，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。先求出靜態(tài)誤差系數(shù):靜態(tài)位置誤差系數(shù)為=lim G=lim G (z)=z t1limz t10.632z(z -1)(z - 0.368)靜態(tài)速度誤差系數(shù)為K = lim(z - 1)G(z) = lim 0.6322 = 1 vzT1zT1 z - 0.368靜態(tài)加速度誤差系數(shù)為K = lim(z -1)2 G(z) = lim(z -1) 0.632z = 0azT1zT1z - 0.368所以，不同輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為單位階躍輸入信號作用下e= 1，=0ss 1 + K P、，人、，T 0.1單位斜坡輸入信號作用下e = = 0ss K 1T 2單位拋物線輸入信號作用下es= = 8a12.設(shè)離散系統(tǒng)如圖8-2所示，其中，G(s) = 1s(s +1), T = 1s，輸入連續(xù)信號r(t) 分別為1(t)和t，試求離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖8 2題12系統(tǒng)結(jié)構(gòu)G(s)的z變換為G( z) = z E=蕓與系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)中(z) = = (i68)e1 + G(z)z2 - 0.736z + 0.368閉環(huán)極點z = 0.368 + j0.482,