同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)(上)》期末試卷及答案

1、試 題一、填空、選擇題111lim=x x02e 的帶佩亞諾余項(xiàng)的三階麥克勞林公式是2x3已知2)dx=lnx+C，則函數(shù)=4設(shè)有下列4個(gè)條件：() (1)fx在a,b上連續(xù)() (2)fx在a,b上有界() (3)fx在a,b上可導(dǎo)() (4)fx在a,b上可積則這4個(gè)條件之間的正確關(guān)系是(A)(3) (4) (1) (2)(C)(3) (2) (1) (4)(B)(3) (1) (4) (2)(D)(1) (3) (4) (2)5設(shè)兩輛汽車從靜止開始加速沿直線路徑前進(jìn)，圖5中給出的a兩條曲線a=a=aa=a122A兩條曲線和直線t=T0)之間的圖形的面積A所表示的物理意義a=a1OTt是x

2、 1圖52二、已知函數(shù)y=+2，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)并填寫下x3表，并寫出計(jì)算過程漸 近 線增加區(qū)間 減少區(qū)間三、計(jì)算導(dǎo)數(shù)：x=arcsin1 t ,2dy(0t dxuy=du,u1x=，求f 1 x2四、計(jì)算下列積分：x3(1)dx；1+x2arctan x(2)dx；xlnx(3) +dx；x21 +0，有a= ；f(x)dx 0(1)(2)a若f(x)連續(xù)且為偶函數(shù)，則對(duì)于任意的a0，有af(x)dx 2 f(x)dx=aa0現(xiàn)在考慮連續(xù)函數(shù)g(x).設(shè)x 為一常數(shù)，g(x)滿足以下的性質(zhì)I或性質(zhì)II:0性質(zhì)I：對(duì)任意的x，g(x x)=g(x +x)；00性質(zhì)II：對(duì)任意的x，g(

3、x x)= g(x +x)00試將(1)式推廣到滿足性質(zhì)I的g(x)上,將(2)式推廣到滿足性質(zhì)II的g(x)上，寫出相應(yīng)的結(jié)果并加以證明六、設(shè)函數(shù)y = f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)且f(x)0，直線L 是曲線y = f(x)上任一點(diǎn)t, ft)處t的切線 t 記直線L 與曲線 =y f(x)以及直線x=0、x=1所圍成的圖形的面積為t)t1 證明：t)的最小值mint)= f( )1f(x)dx20t10七、 +y )dx 2xyd y =(x22(1)求解初值問題y=0.x1(2)設(shè) =y y(x)滿足微分方程y3y+2y =2e ，且其圖形在點(diǎn)處的切線與曲線(xy = x x+1在該點(diǎn)的切線重

4、合，求函數(shù)y= y(x)2參 考 答 案一、11 x) x+ x) x+ 111 x+11lim = lim=lim=lim= x + x)x+ x)x2x22x0 x0 x0 x042e =1+2x+2x + x +o(x )2x23331213因?yàn)?(x )dx =f (x )dx = f(x )+C ，故222221f(x ) = 2lnx+C =lnx +C，22因此，=+ f(x) lnx C4因?yàn)榭蓪?dǎo)必連續(xù)，連續(xù)必可積，可積必有界，因此選(B)5 時(shí)刻兩車速率之差T3 x2x4 6)2二、，x5令y=0，得駐點(diǎn)：x=3令y=0，得拐點(diǎn)橫坐標(biāo)：x=6x 1x 122而+2)=2+2)

5、=x3x3xx0漸 近 線 (, 6,5鉛直 =06,+2)x=3水平y(tǒng)=2 6 3 3 6, 6三、dy1dy(1) =1 2dt=l1=dxdxldt1 211 1= ()2 1 x 1+x2 x)n+1 n+11(nf = 四、x321uu=x(1)dx=du2 1+u1+x2131= u) u) +C223131= x) x) +C22223arctanxdx=2 arctanxd( x)(2)x1=2xarctanxdx1+x=2xarctanx x)+C1x1x+1(3) +dx=1x21u(4)2 1)dx=101ue du=0+u )du+12u1011 1= 6 2e五、性質(zhì)

6、I和性質(zhì)II分別推廣為x +ag(x)dx=0，0 x a0 x +ag(x)dx=2 +a g(x)dxx00 x ax00因?yàn)閤 +ag(x)dx =gu+ x )dux=u+xa000 x aa0而性質(zhì)I表明，hu)= gu+x )為奇函數(shù)，因此0 x=u+xag0gu+x )du =0；00 x aa0而性質(zhì)II表明，hu)= gu+x )為偶函數(shù)，因此0( + )d = 2 x +a ( )d g u x u g x xx=u+xu=xxx +ag(x)dx =agu+x )du =2a000000 x a六、切線方程為a000y ft)= ft)(xt)，因此所求面積為t)=1f t x t f t f x x ( )( )+ ( ) ( )d01= ft)t ft)+ ft)1f(x)dx20dt)dt1= tf t)2dt)1令=0得唯一駐點(diǎn)t = ，易知該駐點(diǎn)為極小值點(diǎn)，從而必為t)取得最小值的點(diǎn)，因此dt211 f(x)dx mint) = A= f1 2 2 0t10七、dy 1 x 1 yy(1)=+ ，令u = ，則dx 2 y 2 xxdu 1u2x= ，udx解得1=Cx1u2由初值，解得C =1，故所求特解為x = x y 22(2)r2 r+2=0，解得特征值為r =1，r = 212設(shè)特解為y =