空間向量與立體幾何§立體幾何中向量方法

1、 /133.2立體幾何中的向量方法-典例剖析知識(shí)點(diǎn)一用向量方法判定線面位置關(guān)系例1設(shè)a、b分別是1、12的方向向量，判斷12的位置關(guān)系：a=(2,3,1),b=(6,9,3).a=(5,0,2),b=(0,4,0).設(shè)u、v分別是平面a、卩的法向量，判斷a、卩的位置關(guān)系：u=(1,1,2),v=(3,2,-2).u=(0,3,0),v=(0,5,0).設(shè)u是平面a的法向量，a是直線1的方向向量，判斷直線1與a的位置關(guān)系.u=(2,2,1),a=(3,4,2).u=(0,2,3),a=(0,&12).解Va=(2,3,-1),b=(-6,-9,3),1a二-b,ab、：、J312Ta二(5,0,

2、2),b=(0,4,0),:.ab=0,:.a丄b,：1丄21u二(1,-1,2),v二(3,2,-亍，:“v=3-2-1=0,:u丄v,：a丄卩.3二(0,3,0),v=(0,-5,0),：u=-v,：uv，:a卩.u二(2,2，-1),a=(-3,4,2),:ua二-6+8-2二0,:.u丄a,:a或a.u二(0,2,-3),a二(0,-8,12),1:u二-4a,:.ua,:.丄a.知識(shí)點(diǎn)二利用向量方法證明平行問(wèn)題中，M、N分別是CC、B1C的中點(diǎn).求證：MN平面ABD.證明方法一如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1

3、,則可求得11M(0,1,2)，N(2丄1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是MN=(2,0,2)，設(shè)平面ABD的法向量是n=(x，y，z).n=(x,y,z).x+z0,則nDB=0,得sx+y=0,取x=1，得y=1,z=1.=(1,1,1).1又MN“=(2,o,2(1，1，1)=0，方法二MN=CN-C1M=2C皆2qc(DA-D宀2DA_一MNDA1,又MN平面ABD.MN平面A1BD.知識(shí)點(diǎn)三利用向量方法證明垂直問(wèn)題例3在正棱錐PABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是APAB的重心，E、F分別為BC、PB上的點(diǎn)，且BE:EC=PF:FB=1:2.求證：平面

4、GEF丄平面PBC；求證：EG是PG與BC的公垂線段.證明(1)方法一如圖所示，以三棱錐的頂點(diǎn)P為原點(diǎn)，以PA、PB、PC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系令PA=PB=PC=3，則A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0).于是PA=(3,0,0),FG=(3,0,0),故PA=3FG,.PAFG而PA丄平面PBC,:.FG丄平面PBC,又FG平面EFG,平面EFG丄平面PBC.方法二同方法一，建立空間直角坐標(biāo)系，則E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)EF=(0,-1,-1),EG

5、=(0,-1,-1),設(shè)平面EFG的法向量是n二(x,y,z),則有n丄EF,nPA,y+z二0,x-yz二0,1,x=0,即n=(0,11)而顯然PA=(3,0,0)是平面PBC的一個(gè)法向量.這樣nPA=0,.n丄PA即平面PBC的法向量與平面EFG的法向量互相垂直，平面EFG丄平面PBC.(2)丁EG=(1,-1,一1),PG=(1,1,0),BC=(0,3,3),EGPG=11=0,EGBC=33=0,.EG丄PG,EG丄BC,.EG是PG與BC的公垂線段二知識(shí)點(diǎn)四利用向量方法求角四棱錐PABCD中，PD丄平面ABCD,PA與平面ABCD所成的角為60,在四邊形ABCD中，ZD=ZDAB

6、=90,AB=4,CD=1,AD=2.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點(diǎn)B,P的坐標(biāo)；求異面直線PA與BC所成角的余弦值.解(1)如圖所示，以D為原點(diǎn)，射線DA,DC,DP分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,VZD二ZDAB=90,AB=4,CD=1,AD=2,A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0)由PD丄面ABCD得ZPAD為PA與平面ABCD所成的角.ZPAD二60.在RtAPAD中，由AD=2,得PD二2空3.卩(0,0,2、打).(2)vPA二(2,0,2空3),BC=(2,3,0)cosPA,BC=沁=屈PABC1313PA與BC所成角的余弦值為百.例、

7、正方體ABEFDCE，F(xiàn)中，M、N分別為AC、BF的中點(diǎn)（如圖所示），求平面MNA與平面MNB所成二面角的余弦值.解取MN的中點(diǎn)G,連結(jié)BG,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1.方法一AMN,BMN為等腰三角形，AG丄MN,BG丄MN./.ZAGB為二面角的平面角或其補(bǔ)角.6.ag=bg=,4=e,AB=AG+GB,，設(shè)AG,GBAB2=AG2+2AGGB+GB2,66661二（）2+2XX丁0+（丁）2.COS0=3,故所求二面角的余弦值為3.方法二以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BA,BE,BC所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz1111則m（2，0，2），n（2，2，o），TOC o 1-5 h z

8、 HYPERLINK l bookmark44 o Current Document 十111中點(diǎn)g（2，4，4），A（1,0,0），B（0,0,0），由方法一知ZAGB為二面角的平面角或其補(bǔ)角.111111GA=（-）GB=（-） HYPERLINK l bookmark46 o Current Document （2，4，4），（2，4，4） 13cosGA,GB=GAGBGAGB故所求二面角的余弦值為3二方法三建立如方法二的坐標(biāo)系，am-n=o,AN-n1=0,11n一一x+z=0,22口取叫=(1,1,1)-x+y=0,22丿同理可求得平面BMN的法向量n2=(1,-1,-1).COS

9、“,n25兀2nn2一11故所求二面角的余弦值為3知識(shí)點(diǎn)五用向量方法求空間的距離已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E、F分別是AB、AD的中點(diǎn),GC丄平面ABCD,且GC=2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離.解如圖所示，以C為原點(diǎn)，CB、CD、CG所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.由題意知C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)，F(xiàn)(2,4,0)，G(0,0,2)BE=(0,2,0),BF=(-2,4,0),設(shè)向量BM丄平面GEF，垂足為M，則M、G、E、F四點(diǎn)共面，故存在實(shí)數(shù)x,y,z，使BM=xBE+yBF+zBG,即BM宜(0,2

10、,0)+y(2,4,0)+z(-4,0,2)=(2y4z,2x+4y,2z).由BM丄平面GEF，得BM丄GE,BM丄EF, /13于是BMGE=0,BMEF=0,即J(-2y4x，2x+4y,2乙)-(4,2,2)=0,即J(-2y4z,2x+4y2z*2,2,0)=0,15x=,117Jy=-,113z=,11226、TTTTTT丿x-5z=0,即L+3y+2z+0,解得x+y+z=1,.BM=(-2y-4z,2x+4y,2z)二226()2+()2+()2=111111112石即點(diǎn)B到平面GEF的距離為廠.考題賞析(安徽高考)如圖所示，在四棱錐OABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，

11、OA丄底面ABCD,OA=2,M為OA的中點(diǎn).求異面直線AB與MD所成角的大??；求點(diǎn)B到平面OCD的距離.解作AP丄CD于點(diǎn)P.如圖，分別以AB、AP、AO所在直線為x、y角坐標(biāo)系.兀ZABC=4z軸建立平面直A(0,0,0),B(1,0,0),22P(0，亍，0)，D(丁,O(0,0,2),M(0,0,1)(1)設(shè)AB與MD所成角為0,TAB=(1,0,0),2邁MD=(計(jì)七，-1)，0)，cose=AB-MDAG-MD兀r_兀AB與MD所成角的大小為一.3(2)TOP=(0，-2)，設(shè)平面OCD的法向量為n=(x,y,z)，則nOP=0，nOD=0.M220卡y-2z=0,OD=(-逼耳，

12、-2),|-Try-2z=0,取z/2，解得n=(0,4,邁).設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為d,則d為OB在向量n上的投影的絕對(duì)值.OB-nOB-(1,0,-2),:.d=2點(diǎn)B到平面OCD的距離為3,1.已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，則平面ABC的一個(gè)單位法向量是(A3込3B(丁，-丁，丁)C333T，T，丁)答案DAB=(_1,1,0)，是平面OAC的一個(gè)法向量.AC=(_1,0,1)，BC=(0，_1,1)設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為n=(x，y，z)TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark54 o Current Document -

13、x+y=0,_,-x+z=0,令x=1，則y=1，z=1n=(1,1,1)_-單位法向量為：士+=(,) HYPERLINK l bookmark115 o Current Document n3332.已知正方體ABCDA1B1C1D1，E、F分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A勺中心，則EF和CD所成的角是()A60B45C30D90答案B3設(shè)1的方向向量a=(1,2，_2)，12的方向向量b=(_2,3，m)，若1】丄l2，則m=()11212A.1B.2C.乂D.32答案B解析因1丄12，所以ab=0,貝I有1X(-2)+2X3+(-2)Xm=0,2m=6-2=4，即m=2.4若兩

14、個(gè)不同平面a，p的法向量分別為“=(1,2，_1)，e=(_3，_6,3)，貝9()A.apB.a丄pC.a，p相交但不垂直D.以上均不正確答案A解析因v=-3u,Av#u.故ap.5.已知a、b是異面直線，A、Bea，C、Deb，AC丄b，BD丄b，且AB=2，CD=1,則a與b所成的角是()A.30B.45C.60D.90答案C解析設(shè)AB，CD)=0，ABCD=(AC+CD+DBCD=|CD|2=1，AB-CDCOS0=ABCD=60。1=2，所以02*6.若異面直線11、12的方向向量分別是a=(0，_2，_1)，b=(2,0,4)，則異面直線l】與l2的夾角的余弦值等于(2/5A.-5

15、B.5C_D.2厲答案B解析設(shè)異面直線11與12的夾角為O,a-b|(-1)x4|則cosO=a|b+162x57.已知向量n=(6,3,4)和直線1垂直，點(diǎn)A(2,0,2)在直線1上，則點(diǎn)P(4,0,2)到直線1的距離為答案旦，61解析PA=(6，0,PA-n0),因?yàn)辄c(diǎn)A在直線1上，n與1垂直，所以點(diǎn)P到直線1的距離為62+32+4261618.平面a的法向量為(1,0,1)，平面卩的法向量為(0,1,1)，則平面a與平面卩所成二面角的大小為冗2兀答案?或丁，解析設(shè)“1二(1,0,-1),n2=(0,-1,1)1x0+0 x(-1)+(-1)x1_1則COSn1，n2=22_-22兀_0)

16、,由已知DH,DA=60由DA-DH=|DA|DH|cosDHDA可得2m=2m21解得m斗，所以DH二(尋，孚1),(1)因?yàn)閏osDH,CC=琴XX0+嘆1=返-212所以DH,CC=45即DP與CC所成的角為45平面AADD的一個(gè)法向量是DC=(0,1,0).2x0+2x0+1x1因?yàn)閏osDH,DC=221xQ2所以DH,DC=60,可得DP_與平面AADD所成的角為3012.如圖，四邊形ABCD是菱形，PAL平面ABCD,PA=AD=2,zBAD=60.平面PBD丄平面PAC,求點(diǎn)A到平面PBD的距離;(2)求異面直線AB與PC的距離.(1)解以AC、BD的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AC、B

17、D所在直線為x軸、y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(3,0,0),B(0,1,0),C(-3,O,O),D(0,-1,0),P(3,0,2).設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為n1=(1,y1,z1).由叫丄0B，叫丄0P，可得n1=(1,0,-.(1)OA=(,0,0),點(diǎn)A到平面PBD的距離，OA-n上1713.如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以zABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a,BB1=3a,D為A的中點(diǎn)，在線段AA、上是否存在點(diǎn)F,使CF丄平面B1DF?若存在，求出IAF|;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz.假設(shè)存在點(diǎn)F

18、,使CF丄平面BDF,并設(shè)AF=入AA=A(0,0,3a)=(0,0,3入a)(0入1),D為AC的中點(diǎn)，0),B1F二B1B+BA+AF=(0,0,-3a)+(j2a,0,0)+(0,0,3九a)CF丄平面B1DF,CF丄B1D,CF丄B1F,CF-B1D二0,*CF-BF二0,1九ax0=0,即2,9九29九+2=0,21解得九二3或3存在點(diǎn)F使CF丄面B1DF，且當(dāng)入=q時(shí)，IAFI=3,IAA11=a22當(dāng)入=,IAFI=,IAA丨=2a.下底邊長(zhǎng)分別為2和6,高為eqr(3)14.如圖所示，已知四邊形ABCD是上、的等腰梯形證明：AC丄BO1；求二面角OACO1的余弦值.(1)證明由題設(shè)知OA丄OO,OB丄OO.所以ZAOB是所折成的直二面角的平面角,即OA丄OB.故以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OO所在直線分別為x軸、y軸、z軸建