兩因素方差分析

1、兩因素方差分析第一頁，共七十一頁。 【例1】對某地區(qū)5類海產(chǎn)食品中無機(jī)砷含量進(jìn)行檢測，測定結(jié)果見表1，其中藻類以干重計，其他4類以鮮重計。試分析不同類型海產(chǎn)品的砷含量差異是否顯著。 2.1 各處理重復(fù)數(shù)相等的方差分析表1 五種不同類型海產(chǎn)品中無機(jī)砷含量0.57第二頁，共七十一頁。 這是一個單因素試驗(yàn)，k=5，n=7?，F(xiàn)對此試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析： 1、計算各項(xiàng)平方和與自由度 第三頁，共七十一頁。 2、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn) 表2 不同類型海產(chǎn)品無機(jī)砷含量方差分析表第四頁，共七十一頁。根據(jù)df1=dft=4,df2=dfe=30查臨界F值 得：F0.05(4,30) =2.69，F(xiàn)0.01(4

2、,30) =4.023、多重比較 采用新復(fù)極差法SSR因?yàn)镕F0.01(4,30)，即P0.01，表明品種間無機(jī)砷含量差異達(dá)到1%顯著水平，有極顯著差異。第五頁，共七十一頁。 因?yàn)镸Se=0.0084，n=7，所以 為： 根據(jù)dfe=30，秩次距k=2，3，4，5由附表6查出=0.05和=0.01的各臨界SSR值，乘以 ，即得各最小顯著極差，所得結(jié)果列于表2。 第六頁，共七十一頁。 表3 SSR值及LSR值第七頁，共七十一頁。表4 不同類型海產(chǎn)品無機(jī)砷含量差異重比較結(jié)果 (SSR法)結(jié)論： 藻類中無機(jī)砷含量極顯著高于貝類、軟體類、甲殼類以及魚類；貝類、軟體類、甲殼類3種海產(chǎn)品無機(jī)砷含量差異不顯

3、著，但均極顯著高于魚類。類型平均數(shù)/ （mg/kg）差異顯著性=0.05=0.01藻類（D）1.341aA貝類（B）0.637bB軟體類（E）0.636bB甲殼類（C）0.613bB魚類（A）0.393cC第八頁，共七十一頁。第三節(jié) 兩因素試驗(yàn)的方差分析考查兩個因素對試驗(yàn)指標(biāo)的影響情況第九頁，共七十一頁。3.1 交叉分組資料的方差分析 設(shè)試驗(yàn)考察A、B兩個因素，A因素分a個水平，B因素分b個水平 。 所謂交叉分組是指A因素每個水平與B因素的每個水平都要搭配 ，兩者交叉搭配形成ab個水平組合即處理，試驗(yàn)因素A 、B在試驗(yàn)中處于平等地位 。如果將試驗(yàn)單元分成 ab 個組，每組隨機(jī)接受一種處理 ，因

4、而試驗(yàn)數(shù)據(jù)也按兩因素兩方向分組，這種試驗(yàn)數(shù)據(jù)資料稱為兩向分組資料，也叫交叉分組資料。 分無重復(fù)觀測值和重復(fù)觀測值兩種類型。第十頁，共七十一頁。對于A、B兩個試驗(yàn)因素的全部ab個水平組合，每個水平組合只有一個觀測值（無重復(fù)）， 全試驗(yàn)共有ab個觀測值，其數(shù)據(jù)模式如表5所示。3.1.1 兩因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)資料的方差分析第十一頁，共七十一頁。 表5 兩因素?zé)o重復(fù)觀測值的試驗(yàn)數(shù)據(jù)模式注：A因素有a個水平，B因素有b個水平，共計有ab個水平組合，每一組合觀測一次，有ab個觀測值（表5），xij 為A的第i水平與B的第j水平組合觀測值。第十二頁，共七十一頁。A的第i水平b個觀測值之和A的第i水平b個觀測值的

5、平均數(shù)B的第j水平a個觀測值之和B的第j水平a個觀測值的平均數(shù)ab個觀測值的總和ab個觀測值的總平均數(shù)第十三頁，共七十一頁。 兩因素?zé)o重復(fù)觀測值試驗(yàn)資料的數(shù)學(xué)模型為： 式中， 為總平均數(shù)； (5-26) i，j分別為Ai、Bj的效應(yīng)； i=i-， j=j-， i、j分別為Ai、Bj觀測值總體平均數(shù)， 且i=0，j=0； ij為隨機(jī)誤差，相互獨(dú)立，且服從N(0，2) 第十四頁，共七十一頁。 A因素的每個水平有b次重復(fù)，B因素的每個水平有a次重復(fù)，每個觀測值同時受到A、B 兩因素及隨機(jī)誤差的作用。因此全部 ab 個觀測值的總變異可以分解為 A 因素水平間變異、B因素水平間變異及試驗(yàn)誤差三部分；自由

6、度也相應(yīng)分解。 離差平方和與自由度的分解如下：第十五頁，共七十一頁。 矯正數(shù) 總平方和 A因素離差平方和 B因素離差平方和各項(xiàng)離差平方和與自由度的計算公式為: 誤差平方和 SSe=SST-SSA-SSB 總自由度 dfT=ab-1 A因素自由度 dfA=a-1 B因素自由度 dfB=b-1 誤差自由度 dfe= dfT - dfA dfB =(a-1)(b-1) 第十六頁，共七十一頁。相應(yīng)均方為第十七頁，共七十一頁?！纠?】某廠現(xiàn)有化驗(yàn)員3人，擔(dān)任該廠牛奶酸度（T）的檢驗(yàn)。每天從牛奶中抽樣一次進(jìn)行檢驗(yàn)，連續(xù)10天的檢驗(yàn)分析結(jié)果見表6。試分析3名化驗(yàn)員的化驗(yàn)技術(shù)有無差異，以及每天的原料牛奶酸度有

7、無差異（新鮮牛奶的酸度不超過20 T ） 。化驗(yàn)員B1B2B3B4B5B6B7B8B9B10 xi.xi.A111.7110.8112.3912.5610.6413.2613.3412.6711.2712.68121.3312.13 A211.7810.712.512.3510.3212.9313.8112.4811.612.65121.1212.11 A311.6110.7512.412.4110.7213.113.5812.8811.4612.94121.8512.19 x.j35.1032.2637.2937.3231.6839.2940.7338.0334.3338.27364.3x.

8、j11.7010.7512.4312.4410.5613.1013.5812.6811.4412.76表6 牛奶酸度測定結(jié)果第十八頁，共七十一頁。A因素（化驗(yàn)員）有3個水平，即a=3；B因素（天數(shù)） 有10個水平 ，即 b =10 ， 共有ab=310=30個觀測值。 1 計算各項(xiàng)離差平方和與自由度第十九頁，共七十一頁。第二十頁，共七十一頁。第二十一頁，共七十一頁。 2 列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn) 表7 資料的方差分析表變異來源SSdfMSF值顯著性化驗(yàn)員間0.028320.01420.550日期間26.759192.9732115.240*誤差0.4635180.0258合計27.25092

9、9結(jié)果表明，3個化驗(yàn)員的化驗(yàn)技術(shù)沒有顯著差異，不同日期牛奶的酸度有極顯著差異。注：F0.01(9,18）=3.60第二十二頁，共七十一頁。3 多重比較 在兩因素?zé)o重復(fù)觀測值試驗(yàn)中，A因素每一水平的重復(fù)數(shù)恰為B因素的水平數(shù)b，故A因素的標(biāo)準(zhǔn)誤為 ；同理，B 因 素 的 標(biāo)準(zhǔn)誤對例5-4分析，a=3，MSe=0.0258。故根據(jù) dfe=18，秩次距 k=2，3 ，10，查臨界 q 值 ，計算最小顯著極差LSR，見表8。第二十三頁，共七十一頁。 表8 q值與LSR值dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.011822.974.070.28 0.38 33.614.70.34 0.

10、44 44.00 5.090.37 0.47 54.285.380.40 0.50 64.495.60.42 0.52 74.675.790.43 0.54 84.825.940.45 0.55 94.966.080.46 0.57 105.076.20.47 0.58 第二十四頁，共七十一頁。B因素各水平均值多重比較結(jié)果見表9測定日期x.jx.j-10.56x.j-10.7511.44 11.70 12.43 12.44 12.68 12.76 13.10 B713.58 3.02* 2.83 2.14 1.88 1.15 1.14 0.90 0.82 0.48 B613.10 2.54 2

11、.35 1.66 1.40 0.67 0.66 0.42 0.34 B1012.76 2.20 2.01 1.32 1.06 0.33 0.32 0.08 B812.68 2.12 1.93 1.24 0.98 0.25 0.24 B412.44 1.88 1.69 1.00 0.74 0.01 B312.43 1.87 1.68 0.99 0.73 B111.70 1.14 0.95 0.26 B911.44 0.88 0.69 B210.75 0.19 B510.56 表9不同測定日牛奶酸度多重比較結(jié)果（q法）第二十五頁，共七十一頁。處理 均值 5%顯著水平 1%極顯著水平 B7 13.5

12、8 a A B6 13.10 b AB B10 12.76 bc BC B8 12.68 bc BC B4 12.44 c C B3 12.43 c C B1 11.70 d D B9 11.44 d D B2 10.75 e E B5 10.56 e E 附表：多重比較結(jié)果字母表示第二十六頁，共七十一頁。 結(jié)果表明，除B2與B5，B1與B9，B4與B3，B8與B3、B4，B10與B3、B4、B8差異不顯著外，其余不同測定日間牛奶酸度均差異極顯著或顯著。酸度最高的是B7，最低的是B5和B2。從牛奶質(zhì)量要求看，連續(xù)10d的牛奶酸度均在鮮奶范圍內(nèi)。第二十七頁，共七十一頁。 在進(jìn)行兩個因素或多個因素

13、的試驗(yàn)時，除了要研究每一個因素對試驗(yàn)指標(biāo)的影響外，往往更希望知道因素之間的交互作用對試驗(yàn)指標(biāo)的影響情況。 通過研究環(huán)境溫度、濕度、光照、氣體成分等環(huán)境條件對導(dǎo)致食品腐爛變質(zhì)的酶和微生物的活動的影響有無交互作用，對有效控制酶和微生物活動，保持食品質(zhì)量有著重要意義。第二十八頁，共七十一頁。 兩個因素?zé)o重復(fù)觀測值試驗(yàn)只適用于兩個因素間無交互作用的情況； 若兩因素間有交互作用， 則每個水平組合中只設(shè) 一個試驗(yàn)單位(觀察單位)的試驗(yàn)設(shè)計是不正確的或不完善的。這是因?yàn)椋?(1)在這種情況下，SSe,dfe實(shí)際上是A、B 兩因素交互作用平方和與自由度，所算得的MSe是交互作用均方 ，主要反映由交互作用引起的

14、變異。 (2)這時若仍按前述方法進(jìn)行方差分析，由于誤差均方值大（包含交互作用在內(nèi)），有可能掩蓋試驗(yàn)因素的顯著性， 從而增大犯型錯誤的概率。 (3) 每個水平組合只有一個觀測值，無法估計真正的試驗(yàn)誤差，因而不可能對因素的交互作用進(jìn)行研究。 第二十九頁，共七十一頁。交互作用交互作用：在多因素試驗(yàn)中一個因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響依賴于另一因素所取的水平時，稱兩因素有交互作用。 在多因素對比試驗(yàn)中，某些因素對指標(biāo)的影響往往是互相制約、互相聯(lián)系的。即在試驗(yàn)中不僅因素起作用，而且因素間有時聯(lián)合起來起作用，這種聯(lián)合作用并不等于各因素單獨(dú)作用所產(chǎn)生的影響之和，稱這種聯(lián)合作用為交互作用。例：某農(nóng)場對四塊大豆試驗(yàn)田作施

15、肥試驗(yàn)。每塊田以不同的方式施以磷肥和氮肥，其產(chǎn)量如下：可以看出 當(dāng)施氮肥和不施氮肥時，施以4公斤磷肥后的增產(chǎn)數(shù)量是不同的 當(dāng)施磷肥和不施磷肥時，施以6公斤氮肥后的增產(chǎn)數(shù)量是不同的 若N, P分別起作用時增產(chǎn)為50, 30kg。但同時施時其效果并不是50+30=80kg，而是增產(chǎn)560-400=160kg，增加的80公斤則為交互作用的效果。P1=0P2=4P2-P1N1=040045050N1=6430560130N2-N130110第三十頁，共七十一頁。 對兩因素和多因素等重復(fù)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析， 可以研究因素的簡單效應(yīng)、主效應(yīng)和因素間的交互作用（互作效應(yīng)）。3.2 兩因素等重復(fù)試驗(yàn)的方差分析第

16、三十一頁，共七十一頁。下一張 首 頁 退 出 上一張 三種效應(yīng) 1簡單效應(yīng)（simple effect） 是指在某一因素同一個水平上，比較另一因素不同水平對試驗(yàn)指標(biāo)的影響。第三十二頁，共七十一頁。三種效應(yīng) 2主效應(yīng)（main effect） 是指某一因素各水平間的平均差別。它與簡單效應(yīng)的區(qū)別是，主效應(yīng)指的是某一因素各水平間的平均差別是綜合了另一因素各水平與該因素每一水平所有組合的情況。第三十三頁，共七十一頁。三種效應(yīng) 3. 互作效應(yīng)（interaction effect） 如果某一因素的各簡單效應(yīng)隨另一因素的水平變化而變化，而且變化的幅度超出隨機(jī)波動的程度，則稱兩個因素間存在互作效應(yīng)。第三十四

17、頁，共七十一頁。 設(shè)A、B兩因素，A因素有a個水平，B因素有b個水平，共有ab個水平組合，每個水平組合有n次重復(fù)試驗(yàn)，則全試驗(yàn)共有abn個觀測值。試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)據(jù)模式如表10所示。 兩因素等重復(fù)試驗(yàn)的方差分析第三十五頁，共七十一頁。表10 兩因素等重復(fù)觀測值試驗(yàn)數(shù)據(jù)模式 第三十六頁，共七十一頁。A因素B因素Ai合計xi.B1B2BbA1x1jlx111x121x1b1x112x122x1b2x1.x113x123x1b3x11nx12nx1bnx1j.x11.x12.x1b.x1j.x11.x12.x1b.A2兩因素等重復(fù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)模式（部分）第三十七頁，共七十一頁。表10中 每個組合處理n 次重

18、復(fù)之和B因素第j水平an個數(shù)據(jù)之和abn個數(shù)據(jù)總和A因素第i水平bn個數(shù)據(jù)之和第三十八頁，共七十一頁。其中， 為總平均數(shù)； i為Ai的效應(yīng)； j為Bj的效應(yīng)； () ij為Ai與Bj的互作效應(yīng)。(5-32)兩因素等重復(fù)試驗(yàn)資料的數(shù)學(xué)模型為:分別為Ai、Bj、Ai Bj觀測值總體平均數(shù)；且第三十九頁，共七十一頁。 3.2.1 離差平方和與自由度分解其中，SSAB，dfAB為A因素與B因素交互作用平方和與自由度。 為隨機(jī)誤差，相互獨(dú)立，且服從N（0，2）。第四十頁，共七十一頁。 若用SSAB，dfAB表示A、B水平組合間的平方和與自由度，即處理間平方和與自由度，則處理引起的變異可進(jìn)一步剖分為A因素

19、、B因素及A、B交互作用三部分，于是SSAB、dfAB可分解為： 第四十一頁，共七十一頁。矯正數(shù) 總平方和與自由度因素水平組合平方和與自由度A因素平方和與自由度各項(xiàng)平方和、自由度及均方的計算公式如下：B因素平方和與自由度第四十二頁，共七十一頁。 交互作用平方和與自由度誤差平方和與自由度所以，相應(yīng)均方為因素A的方差因素B的方差A(yù)、B互作的方差誤差方差第四十三頁，共七十一頁。3.2.2 列方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)第四十四頁，共七十一頁。FA顯著，應(yīng)對A因素各水平的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤為：FB顯著，應(yīng)對B因素各水平的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤為： FAB顯著，應(yīng)對各組合的平均數(shù)作多重

20、比較，其平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤為： 下一張 首 頁 退 出 上一張 3.2.3 多重比較第四十五頁，共七十一頁。配方（A）食品添加劑（B）B1B2B3A1876875866A2978997866A37810779689表11 3種食品添加劑對3種不同配方蛋糕質(zhì)量的影響【例3】現(xiàn)有3種食品添加劑對3種不同配方蛋糕質(zhì)量的影響試驗(yàn)結(jié)果，試作方差分析第四十六頁，共七十一頁。 A因素（配方）有3個水平，即a=3；B因素（食品添加劑）有3個水平，即b=3；共有ab=33=9個水平組合；每個水平組合重復(fù)數(shù)n=3；全試驗(yàn)共有=333=27個觀測值。 （1） 計算各項(xiàng)平方和與自由度 第四十七頁，共七十一頁。第四十八頁，共

21、七十一頁。第四十九頁，共七十一頁。變異來源 平方和 自由度 均 方 F 值 顯著性 A因素間 6.23 23.12 5.29*B因素間 1.56 20.78 1.32AxB 22.21 45.55 9.41*誤 差 10.67 180.59 總變異 40.67 26表12 方差分析表（2）列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)查臨界F值： F0.05（2,18）=3.55，F(xiàn)0.01（2,18）=6.01； F0.01（4,18）=4.58。 因?yàn)椋?FAF0.05(2,18）； FBF0.05(2,18）；FABF0.01（4,18），表明不同配方、食品添加劑與配方的互作對蛋糕質(zhì)量有顯著或極顯著影響，而

22、食品添加劑間的差異不顯著。因此，應(yīng)進(jìn)一步進(jìn)行不同處理均數(shù)間、配方各水平均數(shù)間 的多重比較。第五十頁，共七十一頁。 配方 因?yàn)锳因素各水平的重復(fù)數(shù)為bn，故A因素各水平的標(biāo)準(zhǔn)誤為： 對本例而言， （3）多重比較由dfe=18，秩次距k=2,3，從附表5中查出SSR0.05與SSR0.01的 臨 界值 ，計算LSR值 ，結(jié)果列于表13。第五十一頁，共七十一頁。表13 配方各水平均數(shù)比較SSR值與LSR值dfe秩次距SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.011822.974.070.76 1.04 33.124.270.80 1.09 處理 均值 5%顯著水平 1%極顯著水平 A3 7

23、.9 a A A2 7.7 a AB A1 6.8 b B 表14 配方間平均數(shù)多重比較結(jié)果（SSR法） 因素A主效應(yīng)分析，結(jié)果表明配方A3與A1之間差異極顯著，A2與A1差異顯著，A2與A3差異不顯著。第五十二頁，共七十一頁。 因B因素各水平的重復(fù)數(shù)為an，故B因素各水平的標(biāo)準(zhǔn)誤為：在本例，B因素的影響不顯著，不必進(jìn)行多重比較。 以上所進(jìn)行的多重比較，實(shí)際上是A、B兩因素主效應(yīng)的檢驗(yàn)。若A、B因素交互作用不顯著，則可從主效應(yīng)檢驗(yàn)中分別選出A、B因素的最優(yōu)水平，得到最優(yōu)水平組合；若A、B因素交互作用顯著，則應(yīng)進(jìn)行水平組合平均數(shù)間的多重比較，以 選出最優(yōu)水平組合，同時可進(jìn)行簡單效應(yīng)的檢驗(yàn)。 第五

24、十三頁，共七十一頁。 因?yàn)樗浇M合數(shù)通常較大(本例ab=44=16)，采用最小顯著極差法進(jìn)行各水平組合平均數(shù)的比較，計算較麻煩。為了簡便起見，常采用LSD法。第五十四頁，共七十一頁。 因?yàn)樗浇M合的重復(fù)數(shù)為n，故水平組合的標(biāo)準(zhǔn)誤為： 本例 各水平組合平均數(shù)間的比較第五十五頁，共七十一頁。水平組合均值 5%顯著水平 1%極顯著水平 A3B39.3a A A2B18.7ab AB A1B18.0abc AB A3B27.7 bc ABC A2B27.3 bc BC A2B37.0 cd BC A1B26.7 cd BC A3B16.7 cd BC A1B35.7 d C 表15個水平組合平均數(shù)多重比較結(jié)果（SSR法）分析結(jié)果表明，A3B3，A2B1，A1B1為優(yōu)組合，按此組合選用配方和添加劑可望得到較好的蛋糕質(zhì)量。第五十六頁，共七十一頁。 以上的比較結(jié)果可以看出，當(dāng)A、B因素