新華東師大版九年級數(shù)學下冊《26章二次函數(shù)263實踐與探索》教案14

1、數(shù)形聯(lián)合問題知識解說一、教課目的1、經(jīng)過復習使學生領(lǐng)悟數(shù)形聯(lián)合的實質(zhì)，培育學生用數(shù)學思想方法解決問題的意識。2、經(jīng)過詳細問題的學習，使學生能夠用數(shù)形聯(lián)合的思想方法研究解決問題的思路。3、掌握用數(shù)形聯(lián)合的思想方法解題的四種型，以提升學生剖析問題、解決問題的能力。二、教課要點與難點用數(shù)形聯(lián)合思想方法解決問題的思路。三、教課過程1、提出問題什么是數(shù)形聯(lián)合？數(shù)形聯(lián)合中解題中表現(xiàn)方式是什么？2、典型例題種類一、利用數(shù)形聯(lián)合研究數(shù)字的變化規(guī)律1.以下圖，把相同大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，依據(jù)這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是【思路點撥】第一計算幾個特別圖形，發(fā)現(xiàn)：數(shù)出每邊上的個數(shù)，

2、乘以邊數(shù)，但各個極點的重復了一次，應再減去.第1個圖形是23-3，第2個圖形是34-4，第3個圖形是45-5，依據(jù)這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是（n+1）（n+2）-（n+2）=n2+2n【答案與分析】第1個圖形是三角形，有3條邊，每條邊上有2個點，重復了3個點，需要黑色棋（23-3）個；第2個圖形是四邊形，有4條邊，每條邊上有3個點，重復了4個點，需要黑色棋子（34-4）個；第3個圖形是五邊形，有5條邊，每條邊上有4個點，重復了5個點，需要黑色棋子（45-5）個；依據(jù)這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是（n+1）（n+2）-（n+2）=n（n+2）.故答案為

3、n（n+2）=n2+2n.【總結(jié)升華】這樣的試題從最簡單的圖形下手.找出圖形中黑點的個數(shù)與第n個圖形之間的關(guān)系，找規(guī)律需要列出算式，一律采納原題中的數(shù)據(jù)，不要用到計算出來的結(jié)果來找規(guī)律.貫通融會：【變式】用棋子按以下方式擺圖形，依據(jù)此規(guī)律，第n個圖形比第(n-1)個圖形多_枚棋子【答案】解：設第n個圖形的棋子數(shù)為Sn第1個圖形，S1=1；第2個圖形，S2=1+4；第3個圖形，S3=1+4+7；第n個圖形，Sn=1+4+3n-2；第（n-1）個圖形，Sn-1=1+4+3（n-1）-2；則第n個圖形比第（n-1）個圖形多（3n-2）枚棋子種類二、利用數(shù)形聯(lián)合解決數(shù)與式的問題2.已知實數(shù)a、b、c在

4、數(shù)軸上的地點以下圖，化簡|a+b|-|c-b|的結(jié)果是（）.ca0bA.a+cB.-a-2b+cC.a+2b-cD.-a-c【思路點撥】第一從數(shù)軸上a、b、c的地點關(guān)系可知：ca0；b0且|b|a|，接著可得a+b0，c-b0，而后即可化簡|a+b|-|c-b|可得結(jié)果詳細步驟為：a,b,c的詳細地點，在原點左側(cè)的小于0，原點右邊的大于0.比較絕對值的大小.|a|c|b|.化簡原式中的每一部分，看看絕對值內(nèi)部（二次根式中的被開方數(shù)的底數(shù)）的性質(zhì)，若大于零，直接提出來，若小于零，則取原數(shù)的相反數(shù).進行化簡計算，得出最后結(jié)果.【答案與分析】解：從數(shù)軸上a、b、c的地點關(guān)系可知：ca0；b0且|b|

5、a|，故a+b0，c-b0，即有|a+b|-|c-b|=a+b+c-b=a+c應選A【總結(jié)升華】本題主要觀察了利用數(shù)形聯(lián)合的思想和方法來解決絕對值與數(shù)軸之間的關(guān)系，從而觀察了非負數(shù)的運用.數(shù)軸的特色：從原點向右為正數(shù)，向左為負數(shù)，及實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關(guān)系非負數(shù)在初中的范圍內(nèi)，有三種形式：絕對值（|a|），完整平方式(ab)2，二次根式(a(a0).性質(zhì)：非負數(shù)有最小值是0；幾個非負數(shù)的和等于0，那么每一個非負數(shù)都等于0.種類三、利用數(shù)形聯(lián)合解決代數(shù)式的恒等變形問題3.圖是一個邊長為(mn)的正方形，小穎將圖中的暗影部分拼成圖的形狀，由圖和圖能考證的式子是（）A.(mn)2(mn)24mnB

6、.(mn)2(m2n2)2mnC.(mn)22mnm2n2D.(mn)(mn)m2n2【思路點撥】這是完整平方公式的幾何背景，用幾何圖形來剖析和理解完整平方公式的實質(zhì).是一個很典型的“數(shù)形聯(lián)合”的例子，用圖形的變換來幫助理解代數(shù)學中的乏味無味的數(shù)學公式.依據(jù)圖示可知，暗影部分的面積是邊長為（m+n）的正方形的面積減去中間白色的小正方形的面積22），即為對角線分別是2m，（m+n2n的菱形的面積據(jù)此即可解答【答案】B.【分析】（m+n）2-（m2+n2）=2mn應選B【總結(jié)升華】本題是利用幾何圖形的面積來考證（關(guān)系列等式222m+n）-（m+n）=2mn，解題要點是利用圖形的面積之間的相等貫通融

7、會:【變式】如圖1是一個長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分紅四塊小長方形，而后按圖的形狀拼成一個空心正方形（1）你以為圖2中的暗影部分的正方形的邊長是多少？（2）請用兩種不一樣的方法求出圖2中暗影部分的面積；（3）察看圖2，你能寫出以下三個代數(shù)式：（m+n）2、（m-n）2、mn之間的關(guān)系嗎？【答案】解：（1）圖中暗影部分的正方形的邊長等于（m-n）；2）（m-n）2；（m+n）2-4mn；3）（m-n）2=（m+n）2-4mn種類四、利用數(shù)形聯(lián)合思想解決極值問題我們知道：依據(jù)二次函數(shù)的圖象，能夠直接確立二次函數(shù)的最大（?。┲担灰罁?jù)“兩點之間，線段最短”，并運用軸對稱的性質(zhì)，能夠

8、在一條直線上找到一點，使得此點到這條直線同側(cè)兩定點之間的距離之和最短這類“數(shù)形聯(lián)合”的思想方法，特別有益于解決一些實質(zhì)問題中的最大（?。┲祮栴}請你試試解決一下問題：（1）在圖1中，拋物線所對應的二次函數(shù)的最大值是_.（2）在圖2中，相距3km的A、B兩鎮(zhèn)位于河岸（近似看做直線CD）的同側(cè)，且到河岸的距離AC=1千米，BD=2千米，現(xiàn)要在岸邊建一座水塔，直接給兩鎮(zhèn)送水，為使所用水管的長度最短，請你：作圖確立水塔的地點；求出所需水管的長度（結(jié)果用正確值表示）.（3）已知x+y=6，求x29y225的最小值？此問題能夠經(jīng)過數(shù)形聯(lián)合的方法加以解決，詳細步驟以下：如圖3中，作線段AB=6，分別過點A、B

9、，作CAAB，DBAB，使得在AB上取一點P，可設AP=_，BP=_.CA=_DB=_.x29y225的最小值即為線段_和線段_長度之和的最小值，最小值為_【思路點撥】1）利用二次函數(shù)的極點坐標便可得出函數(shù)的極值；2）延伸AC到點E，使CE=AC，連結(jié)BE，交直線CD于點P，則點P即為所求；過點A作AFBD，垂足為F，過點E作EGBD，交BD的延伸線于點G，則有四邊形ACDF、CEGD都是矩形，從而利用勾股定理求出即可；3）作線段AB=6，分別過點A、B，作CAAB，DBAB，使得CA=3，BD=5，在AB上取一點P，可設AP=x，BP=y；x29y225的最小值即為線段PC和線段PD長度之和

10、的最小值，最小值利用勾股定理求出即可.【答案與分析】解：（1）拋物線所對應的二次函數(shù)的最大值是4；BAFDCPEG（2）以下圖，點P即為所求（作法：延伸AC到點E，使CE=AC，連結(jié)BE，交直線CD于點P，則點P即為所求.說明：不用寫作法和證明，但要保存作圖印跡；不連結(jié)PA不扣分；（延伸BD，相同的方法也能夠得到P點的地點）過點A作AFBD，垂足為F，過點E作EGBD，交BD的延伸線于點G，則有四邊形ACDF、CEGD都是矩形FD=AC=CE=DG=1，EG=CD=AFAB=3，BD=2，BF=BD-FD=1，BG=BD+DG=3，在RtABF中，AF2=AB2-BF2=8，AF=22EG=2

11、2.222在RtBEG中，BE=EG+BG=17，BE=17（cm）.PA+PB的最小值為17cm.即所用水管的最短長度為17cm.3）圖3所示，作線段AB=6，分別過點A、B，作CAAB，DBAB，使得CA=3，BD=5，在AB上取一點P，可設AP=x，BP=y，x29y225的最小值即為線段PC和線段PD長度之和的最小值，作C點對于線段AB的對稱點C，連結(jié)CD，過C點作CEDB，交BD延伸線于點E，AC=BE=3，DB=5，AB=CE=6，DE=8，CDDE2CE210.最小值為10故答案為：4；x，y；PC，PD，10【總結(jié)升華】本題主要觀察了函數(shù)最值問題與利用軸對稱求最短路線問題，聯(lián)合

12、已知畫出圖象利用數(shù)形聯(lián)合以及勾股定理是解題要點作圖題不要求寫出作法，但一定保存印跡.最后點題，即“xx即為所求”.種類五、利用數(shù)形聯(lián)合思想，解決函數(shù)問題5.如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象張口向上,圖象過點(-1,2)和(1,0),且與y軸訂交與負半軸.以下結(jié)論（1）a0；（2）b0；（3）c0；（4）a+b+c=0；（5）abc0；（6）2a+b0;（7）a+c=1；（8）a1中,正確結(jié)論的序號是_.【思路點撥】由拋物線的張口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷軸及拋物線與x軸交點狀況進行推理，從而對所得結(jié)論進行判斷c與0的關(guān)系，而后依據(jù)對稱【答案與分析】解：（1）由拋物線

13、的張口方向向上，可推出a0，正確；由于對稱軸在y軸右邊，對稱軸為x=b0，又由于a0，b0，錯誤；2a由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，c0，錯誤；由圖象可知：當x=1時y=0，a+b+c=0，正確；a0，b0，c0，abc0，錯誤；由圖象可知：對稱軸x=bb0且對稱軸x=1，2a+b0，正確；2a2a由圖象可知：當x=-1時y=2，a-b+c=2，-當x=1時y=0，a+b+c=0，-+，得2a+2c=2，解得a+c=1，正確；a+c=1，移項得a=1-c，又c0，a1，正確故正確結(jié)論的序號是【總結(jié)升華】觀察二次函數(shù)的分析式、圖象，及綜合應用有關(guān)知識剖析問題、解決問題的能力二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與系數(shù)之間的關(guān)系：（1）a由拋物線張口方向確立：張口方向向上，則a0；不然a0（2）b由對稱軸和a的符號確立：由對稱軸公式x=b，即a,b同號.判斷符號存在著“左同右異”2a對稱軸在y軸的左側(cè)，a,b異號，對稱軸在y軸的右邊.（3）c由拋物線與y軸的交點確立：交點在y軸正半軸，則c0；不然c0（4）b2-4ac由拋物線與x軸交點的個數(shù)確立：2個交點，b2-4ac0；1個交點，b2-4ac=0；沒有交點，2-4ac05）當x=1時，ax2+bx+c就變?yōu)榱薬b+c了.這道題的第7小題：當x=1時，a+b+c=0當x=-1時，a-b+c=2,+得，2a+2c=2，