高等數(shù)學(xué)課件向量及其線性運(yùn)算

1、第八章空間解析幾何與向量代數(shù)第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何在三維空間中:空間形式 點(diǎn), 線, 面數(shù)量關(guān)系 坐標(biāo), 方程（組）基本方法 坐標(biāo)法;向量法一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算五、向量的模、方向角、投影第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、向量的概念M1向量的模:向量的大小,向徑(矢徑):起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量，記做 r.單位向量:模為 1 的向量,記做 e .零向量: 模為 0 的向量（方向任意）, 記做 0.純量: 只有大小的向量（又稱標(biāo)量）.向量:既有大小, 又有方向的量稱為向量 (又稱矢量).表示法:有向線段 M1 M2 ,

2、 或 a , 或 a .或 a .M 2機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束若向量 a 與 b大小相等, 方向相同,則稱 a 與 b 相等,記作 ab ;與 a 的模相同, 但方向相反的向量稱為 a 的負(fù)向量,記作a ;將 a 或 b平移使它們始點(diǎn)重合，它們所在的射線之間的夾角（0 ）稱為向量 a 與 b的夾角,記作（a, b）.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束若向量 a 與 b 方向相同或相反, 則稱 a 與 b 平行,記作ab ;規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線 .若 k (3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 ,則稱此 k個向量共面 .機(jī)動目錄上頁下頁返回

3、結(jié)束二、向量的線性運(yùn)算向量的加法（特殊情形）如果a、b在同一條直線上:a、b同向：和的方向與原向量相同，其模等于兩向量的模之和。a、b反向：和的方向與模值大的向量方向相同，其模等于兩向量的模之差。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1. 向量的加法（一般情形）三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律: 交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加.a b b a( a b ) c a ( b c ) a b cbca bab c( a b ) c a ( b c )ba baa bba機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束a4a5a3sa2a1s a1 a2 a3 a4 a5機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2. 向量的減法三角不等式

4、a機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 a a3. 向量與數(shù)的乘法規(guī)定:可見1a a ;1a a ; 是一個數(shù), 與 a 的乘積是一個新向量, 記作 a .總之:運(yùn)算律: 結(jié)合律 ( a) ( a) a分配律(a b ) a b1aaa.因此 a 則有單位向量 ea 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束ea（P4）( 為唯一實(shí)數(shù))證:“定理1.1：設(shè) a 為非零向量, 則ab”.設(shè) ab, 取, a , b 同向時取正號,反向時取負(fù)號,則 b 與 a 同向,且b故 b a.再證數(shù) 的唯一性. 設(shè)又有 b a , 則 ( ) a 0故 0, 即 .機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束“MBCDba 2 MA 2 MB” 已知 b

5、a ,則b0a , b 同向a , b 反向ab例1. 設(shè) M 為ABCD 對角線的交點(diǎn),試用a 與b 表示 MA, MB , MC , MD.解:a b ACb a BD2MA 1 ( a b )2MB 1 ( b a )A2MC 1 ( a b )2MD 1 ( b a )機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)數(shù)軸 Ou, 其原點(diǎn)為O,將與Ou軸的正向同方向的單位向量記作eu ，P為軸上任意一點(diǎn)，其坐標(biāo)為u，則 u OP（OP與eu 同向時取正，反向時取負(fù)）.euu POu推論. 對數(shù)軸上任意一點(diǎn) P，軸上有向線段OP 都可惟一地表示為點(diǎn)P的坐標(biāo)與軸上單位向量eu 的乘積OP ueu機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束A定理1.2：三向量a，b，c共面的充分必要條件是其中一個向量可以 表示成其余兩個向量的線性組合。證略.