考研積分上限的函數(shù)(變上限積分變限積分)知識(shí)點(diǎn)全面總結(jié)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載考研積分上限的函數(shù)（變上限積分）知識(shí)點(diǎn)Fxa形如上式的積分，叫做變限積分。注意點(diǎn)：1、在求導(dǎo)時(shí)，是關(guān)于 x 求導(dǎo)，用課本上的求導(dǎo)公式直接計(jì)算。2、在求積分時(shí)，則把 x 看作常數(shù)，積分變量t在積分區(qū)間a,x上變動(dòng)。（即在積分內(nèi)的 x 作為常數(shù)，可以提到積分之外。）關(guān)于積分上限函數(shù)的理論1F在a,b上連續(xù)。xa2上可積。定 理 3 FxaF d dx a=（）從以上定理可看出對(duì)f)作變上限積分后得到的函數(shù)，性質(zhì)比原來(lái)的函數(shù)改進(jìn)了一f（）定理3）也稱為原函數(shù)存在定理。它說(shuō)明：連續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)，并通過(guò)定積分的形式給出了它的一個(gè)原函數(shù)。我們知道，求原函數(shù)是求導(dǎo)運(yùn)算的逆

2、運(yùn)算，本質(zhì)上是微分學(xué)的問(wèn)題；而求定積分是求一個(gè)特定和式的極限，是積分學(xué)的問(wèn)題。定理從而使微分學(xué)和積分學(xué)統(tǒng)一成為一個(gè)整體，有重要意義。重要推論及計(jì)算公式：d dx xd dx d(x) f(t)dt f (x) (x) (x) f(t)dt f (x) (x) f (x) (x) 題型中常見(jiàn)積分限函數(shù)的變形和復(fù)合情況：比如 Fx (x t)f(t)dt0(被積函數(shù)中含 x ,但 x 可提到積分號(hào)外面來(lái).)在求F (x)時(shí)，先將右端化為xxx求0000分離后左邊的部分要按照(uv=uv+uv（重點(diǎn)）比如 F 0(f 的自變量中含 x, 可通過(guò)變量代換將 x 置換到 f 的外面來(lái))在求F做變量代換u

3、 t x看作常數(shù)du0時(shí)，ux；t x時(shí)，u 0，這樣，F(xiàn)就化成了以u(píng)作為積分變量的積分下限函數(shù)：F0 x0 xxxx( 3F10(這是含參數(shù) x 的定積分, 可通過(guò)變量代換將 x 變換到積分限的位置上去)在求F先對(duì)右端的定積分做變量代換u x看作常數(shù)dt du 0 xu 0t 1u xF)就化成了以u(píng)作為積分變量的積分上限函數(shù)：F1 x xx 0有積分限函數(shù)參與的題型舉例極限問(wèn)題：3x23例 10tdt（提示：0/0型，用洛必達(dá)法則，答：12）x 0 x 0 x例 2 lim 0（2答 ： ）xx例3 已知極限lim1xdt 1，試確定其中的非零常數(shù)x 0exbx a0t c（答：at c求

4、導(dǎo)問(wèn)題x dysin t例 4已知0求.參數(shù)方程，你懂的！答:)y0dx2 5yetdtxycostdt 00dydx )eyxdx例6求sinx 2dt答:x2 dx0例7設(shè)在( , )內(nèi)連續(xù)且 求證 0在(0, )內(nèi)單調(diào)增加.（7）x0最大最小值問(wèn)題例 8 在區(qū)間1,e上求一點(diǎn) , 使得下圖中所示的陰影部分的面積為最小.yyy =1exO1Axe A1xe再求出其駐點(diǎn).答:.)ex1x例9設(shè)x 0n為正整數(shù).證明 f)t 2si2ntdt的最大值不超過(guò).0 (提示:先求出函數(shù)的最大值點(diǎn), 然后估計(jì)函數(shù)最大值的上界.)積分問(wèn)題101x2sintdt.01t(提示: 當(dāng)定積分的被積函數(shù)中含有積

5、分上限函數(shù)的因子時(shí), 總是用分部積分法求解, 且取1 (cos1 1).)2例 11 設(shè) f(x)在( , )內(nèi)連續(xù), 證明x xf(t)dtdu.000(提示: 對(duì)右端的積分施行分部積分法.)0 x 0 ,x x在( , )內(nèi)的表達(dá)式.x0 x0 x1,12 設(shè) 2x 1x2,求(x)一取定的xt在答 : (x)01x22 1 1 21x 0,0 x 1,.)1 x 2,x 2含有未知函數(shù)的變上限定積分的方程（稱為積分方程）13 設(shè)函數(shù) (x) exxt x 求 (答: (x)001 (cosx sinx ex ) 2（) cosx ）14)為正值連續(xù)函數(shù), ) , 且對(duì)任一x 0y 在區(qū)間

6、答: f(x)exe x 2利用積分上限函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)以證明積分不等式等.例 15 設(shè) f(x),g(x)均在a,b上連續(xù), 證明以下的 Cauchy-Swartz 不等式:(bbf2bg2aaabf(x) 0t的二次函數(shù)非負(fù)的a判別條件即可證得結(jié)論. 但也可構(gòu)造一個(gè)積分上限函數(shù), 利用該函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明. 提示如下:令F) xfgxf2 xg2 則F) 0.aaa求出FF) 0FFF) 0.由此可得結(jié)論. 這種證法有一定的通用性. 例如下例.例16 設(shè)在連續(xù)且單調(diào)減.證明:對(duì)任一0有f(x)dx010(提示: 即證 001Fx0 x, 只需證F可得結(jié)論.)例17設(shè)在上連續(xù).求證:存在使f( )g( ) .aFxbF定理即可證得結(jié)論)ax關(guān)于積分限函數(shù)的奇偶性與周期性定理 4 設(shè) f x 連續(xù)， xxftf x 是奇（偶）函數(shù)，則 x 是偶（奇）函數(shù)；0fx是周期為T(mén) 證 設(shè) fxT f xdx 0 x 是相同周期的周期函數(shù).0 xxft 0 x f u d 0 x f u du奇x fudux,00即 x 為偶函數(shù).設(shè) f x 偶, 則xxft ux f u d 00 x fu du 偶