動(dòng)力學(xué)基本方程

1、關(guān)于動(dòng)力學(xué)基本方程第1頁，共24頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)28分，星期四 工程實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)問題 棒球在被球棒擊打后，其速度的大小和方向發(fā)生了變化。如果已知這種變化即可確定球與棒的相互作用力。Fv1v2第2頁，共24頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)28分，星期四 工程實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)問題載人飛船的交會(huì)與對(duì)接Av1Bv2第3頁，共24頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)28分，星期四 工程實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)問題航空航天器的姿態(tài)控制第4頁，共24頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)28分，星期四牛頓及其在力學(xué)發(fā)展中的貢獻(xiàn) 牛頓出生于林肯郡伍爾索樸城的一個(gè)中等農(nóng)戶家中。在他出生之前父親即去世，他不到

2、三歲時(shí)母親改嫁了，他不得不靠他的外祖母養(yǎng)大。 1661年牛頓進(jìn)入了劍橋大學(xué)的三一學(xué)院，1665年獲文學(xué)學(xué)士學(xué)位。在大學(xué)期間他全面掌握了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)和光學(xué)。1665-1666的兩年期間，劍橋流行黑熱病，學(xué)校暫時(shí)停辦，他回到老家。這段時(shí)間中他發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定律，開始了光學(xué)中的顏色實(shí)驗(yàn)，即白光由7種色光構(gòu)成的實(shí)驗(yàn)。而且由于一次躺在樹下看到蘋果落地開始思索地心引力問題。在30歲時(shí)，牛頓被選為皇家學(xué)會(huì)的會(huì)員，這是當(dāng)時(shí)英國(guó)最高科學(xué)榮譽(yù)。第5頁，共24頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)28分，星期四 牛頓在光學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)了太陽光是由7種不同顏色的光合成的，他提出了光的微粒說。 牛頓在數(shù)學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是與

3、萊布尼茲各自獨(dú)立地發(fā)明了微積分，給出了二項(xiàng)式定理。 牛頓在力學(xué)上最重要的貢獻(xiàn)，也是牛頓對(duì)整個(gè)自然科學(xué)的最重要貢獻(xiàn)是他的巨著自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理。這本書出版于1687年，書中提出了萬有引力理論并且系統(tǒng)總結(jié)了前人對(duì)動(dòng)力學(xué)的研究成果，后人將這本書所總結(jié)的經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)稱為牛頓力學(xué)。第6頁，共24頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)28分，星期四第 15 章 動(dòng)力學(xué)基本方程第7頁，共24頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)28分，星期四15.1 動(dòng)力學(xué)的基本定律第一定律(慣性定律)不受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)保持其原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變的屬性稱為慣性。第8頁，共24頁，2022年，5月20日，

4、12點(diǎn)28分，星期四15.1 動(dòng)力學(xué)的基本定律第二定律(力與加速度關(guān)系定律) 在經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量是守恒的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量越大，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)越不容易改變，也就是質(zhì)點(diǎn)的慣性越大。因此，質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的度量。上式是推導(dǎo)其它動(dòng)力學(xué)方程的出發(fā)點(diǎn)，稱為動(dòng)力學(xué)基本方程。質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用質(zhì)點(diǎn)的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。第9頁，共24頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)28分，星期四15.1 動(dòng)力學(xué)的基本定律國(guó)際計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)g9.80665 m/s2，一般取g9.8 m/s2在國(guó)際單位制(SI)中，長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量為基本量，它們的單位以米(m)、秒(s)和千克(kg)為基本單位。其它量均為導(dǎo)

5、出量，它們的單位則是導(dǎo)出單位。在地球表面，任何物體都受到重力 P 的作用。在重力作用下得到的加速度稱為重力加速度，用 g 表示。由第二定律有或第10頁，共24頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)28分，星期四15.1 動(dòng)力學(xué)的基本定律 必須指出的是：質(zhì)點(diǎn)受力與坐標(biāo)無關(guān)，但質(zhì)點(diǎn)的加速度與坐標(biāo)的選擇有關(guān)，因此牛頓第一、第二定律不是任何坐標(biāo)都適用的。凡牛頓定律適用的坐標(biāo)系稱為慣性坐標(biāo)系。反之為非慣性坐標(biāo)系。第三定律（作用與反作用定律）兩個(gè)物體間相互作用的作用力和反作用力總是大小相等、方向相反，沿著同一作用線同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。 以牛頓定律為基礎(chǔ)所形成的力學(xué)理論稱為古典力學(xué)。第11頁，共24頁，

6、2022年，5月20日，12點(diǎn)28分，星期四2. 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在直角坐標(biāo)軸上投影3. 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在自然軸上投影1. 矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程15.2 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程第12頁，共24頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)28分，星期四15.2 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程第一類基本問題：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力。這類問題其實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的求導(dǎo)問題。 第二類基本問題：已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。這類問題其實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的解微分方程或求積分問題。第13頁，共24頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)28分，星期四例10.1例1 如圖，設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M在平面oxy內(nèi)運(yùn)動(dòng)，已知

7、其運(yùn)動(dòng)方程為xa cos wt，ya sin wt，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力F。ijvrF解：以質(zhì)點(diǎn)M為研究對(duì)象。分析運(yùn)動(dòng)：由運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間 t，得質(zhì)點(diǎn)作橢圓運(yùn)動(dòng)。將運(yùn)動(dòng)方程對(duì)時(shí)間求兩階導(dǎo)數(shù)得：代入質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，即可求得主動(dòng)力的投影為：力 F 與矢徑 r 共線反向，其大小正比于矢徑 r 的模，方向恒指向橢圓中心。這種力稱為有心力。yxxbaOM第14頁，共24頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)28分，星期四例10.3 例2 從某處拋射一物體，已知初速度為v0，拋射角為a，如不計(jì)空氣阻力，求物體在重力單獨(dú)作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 解：研究拋射體, 列直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程積分后得xyM初始條件

8、為第15頁，共24頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)28分，星期四 軌跡方程為：由此可見，物體的軌跡是一拋物線。于是物體的運(yùn)動(dòng)方程為：確定出積分常數(shù)為：第16頁，共24頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)28分，星期四15.3.1 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程主動(dòng)力:約束力:對(duì)剛體內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn),根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程：第一式兩邊同時(shí)乘以 ，可得：對(duì)整個(gè)剛體則有：第17頁，共24頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)28分，星期四15.3.1剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程或:則有：或剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程稱為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸 z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量令第18頁，共24頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)28分，星期四15.3.2 剛

9、體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 1. 簡(jiǎn)單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算(1)均質(zhì)細(xì)直桿對(duì)一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 由 ，得第19頁，共24頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)28分，星期四（2）均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（3）均質(zhì)圓板對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量式中： 或15.3.2 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第20頁，共24頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)28分，星期四2. 回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑） 或3平行軸定理 式中 軸為過質(zhì)心且與 軸平行的軸， 為與 軸之間的距離。即：剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積.15.3.2 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第21頁，共24頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)28分，星期四證明：15.3.2 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第22頁，共24頁