中考數(shù)學(xué)壓軸題專題平行四邊形的存在性

1、專 平四形存性破策以二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問(wèn)題是近年來(lái)中考的熱點(diǎn)，其圖形復(fù)雜，知 識(shí)覆蓋面廣，綜臺(tái)性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力要求高，這類題，一般有兩個(gè)類型：（1個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”的平行四邊形存在性問(wèn)題：以 ， 三為頂點(diǎn)的平行四邊形構(gòu)造方法有：_x0001_ 作行線：如圖，連結(jié) ，AC，分別過(guò)點(diǎn) A， 作對(duì)邊的平行線， 三條直線的交點(diǎn)為 ，E，則四邊形 ABCD， 均為平行四邊形D CF倍長(zhǎng)中線：如圖，延長(zhǎng)邊 ， 上的中線，使延長(zhǎng)部分與中線相等，得點(diǎn) ， E，連結(jié) DEEFD則四邊形 ABCD，ACBE 均平行四邊形DCF（2個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)”的平行四邊形存 在問(wèn)題：先確定

2、其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的位置，轉(zhuǎn)化為“三個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”的平行四邊形存在性問(wèn) 題，再構(gòu)造平行四邊形解平行四邊形存在性問(wèn)題，無(wú)論是以上哪種類型，若沒(méi)有指定四邊形頂點(diǎn)順序，都需 要分類討論通常這類問(wèn)題的解題策略有：（1）幾何法：先分類，再畫(huà)出行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)來(lái)解答 如圖，若 且 ABCD分別過(guò)點(diǎn) B 一組平行線 BE，別過(guò)點(diǎn) A 作組平 行線 AE，則AEB DFC，而得到線段間的關(guān)系式解決問(wèn)題1 / DF（2）代數(shù)法：先羅列四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，再分類討論 列方程，然后解方程并檢驗(yàn) 如圖已知平行四邊形 ABCD連結(jié) AC 交點(diǎn) 設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （ ，y ，y B C（ ， （x D DC_x00

3、01_用平移的性質(zhì)求未知點(diǎn)的坐標(biāo)： DD D D利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求未知點(diǎn)的坐標(biāo)：xxxxyyyy有時(shí)候幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又快又好例題講解例 1 如在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中物線 y 經(jīng)點(diǎn) （33 P 是直 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 x 軸垂線交拋物線于點(diǎn) M（1）分別求出直線 和這條拋物線的表達(dá)式；（2）是否存在這樣的點(diǎn) ，使得以點(diǎn) P， 為點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在， 請(qǐng)求出點(diǎn) P 橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由O M2 / ， P 的橫坐標(biāo)為 1 ， P 的橫坐標(biāo)為 1 解）將點(diǎn) ， 的標(biāo)代入物線的表達(dá)式，得 23設(shè)直線 的表達(dá)式 為 ，點(diǎn) ， 的標(biāo)代入，得 x3（2

4、）存 在因?yàn)?PMOB所以當(dāng) PMOB 時(shí)，四邊形即為平行四邊形根據(jù)題意設(shè)點(diǎn) P 的標(biāo)為（，p3點(diǎn) 的坐標(biāo)為（，p23所以 ( 解得 p3) ( p 3) 3 3 21 21 故滿足條件的點(diǎn)2 例 邊為 2 的方形 OABC 在平直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示 是 邊的中點(diǎn)， 連結(jié) CD，點(diǎn) E 在一象限，且 ，直線 AB 為對(duì)軸的拋物線過(guò) C 兩 （1）求拋物線的表達(dá)式；（2） 為線一動(dòng)點(diǎn) 為物線上一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：是否存在點(diǎn) ，使得以點(diǎn) M， E 為頂?shù)乃倪呅问瞧叫嗡倪呅?？若存在，?qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明 理由CBEO AG xO x 解 （1如圖 1，過(guò)點(diǎn) E 作 軸點(diǎn) 易證OD

5、CGED（AAS以 OD 2所以點(diǎn) E 的坐為3而直線 AB 為物線的對(duì)稱軸，線 的達(dá)式為 x2， 所以可設(shè)拋物線的表達(dá)式為 ya（2，將 ， 兩的標(biāo)代入表達(dá)式，得 a 2, k 解得,.所以拋物線的表達(dá)式為 （2）存在 1 1 4 x x 3 3 3 3由題意可設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（， 的坐為1n 343n 以點(diǎn) ，D， 頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形有以下可能：3 / 當(dāng) DE 為行四邊形的邊時(shí)，（i）如圖 2，若 DEMN，MD， 由平移的性質(zhì)可得 1 4m n 3 3解得 m 4.此時(shí)點(diǎn) M 的標(biāo)為（2，1 的坐標(biāo)為4，2 （ii）如圖 3，若 ，D由平移的性質(zhì)可得 n 解得 m 0.此時(shí)點(diǎn)

6、M 的標(biāo)為（2，3 的坐標(biāo)為0，2當(dāng) DE 為行四邊形的對(duì)角線時(shí)，如圖 4 .由平行四邊形對(duì)角線互相平分性質(zhì)可得 1 40 m 2 n 2. 34 / 2,3 2,3 1 .解得 3n 2.此時(shí)點(diǎn) M 的標(biāo)為 1 ， 的標(biāo)為2,23.例 3 如拋線y x2bx 的頂點(diǎn)為 14 y 軸于點(diǎn) 3與 x 軸交 A，B 兩點(diǎn)點(diǎn) A 在 B 的左側(cè)（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若點(diǎn) 在物線的對(duì)稱軸上，拋物線上是否存在點(diǎn) ，以 ， 為點(diǎn)的四 邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn) 的標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)理由解 （1）將點(diǎn) C，D 的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式，得y x2 x （2）存在令x 2所以點(diǎn) A

7、 的標(biāo)為（，0 的標(biāo)為1，0由點(diǎn) 在物線上可設(shè)點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 m 方法一：如圖 1、圖 2，當(dāng) AC 為行四邊形的邊是，F(xiàn) PEFOAB C圖 1圖 2過(guò)點(diǎn) 作 垂于拋物線的對(duì)稱軸，垂足為 P5 / 易證A所以 PFAO3從而點(diǎn) F 的標(biāo)為（2，5）或（4，5如圖 3，當(dāng) AC 平行四 邊的對(duì)角線時(shí)，過(guò)點(diǎn) 作 軸 點(diǎn) P令拋物線的對(duì)稱軸交 x 軸點(diǎn) Q易 證A所以 PF2，從而點(diǎn) F 的坐為（23 時(shí)點(diǎn) F 與 縱坐相同，所以 點(diǎn) E 在 軸EA B xFPD圖 3方法二：如圖 3，當(dāng) AC， 為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，可得 x y 又因?yàn)辄c(diǎn) E 在拋物線的對(duì)稱軸上，所以 ，則點(diǎn) 的標(biāo)為（2，

8、3如圖 1，當(dāng) ， 為平行 四邊的對(duì)角線時(shí)，可得 x +，Ey 2 m E又因?yàn)辄c(diǎn) E 在拋物線的對(duì)稱軸上，所以 4則點(diǎn) 的標(biāo)為（2，3如圖 2，當(dāng) ， 為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，可得 x Ey E又因?yàn)辄c(diǎn) E 拋物線的對(duì)稱軸上，所以 m2則點(diǎn) F 的坐標(biāo)為（）綜上可得，滿足 平四邊形的點(diǎn) 的標(biāo)為（2，3），5），5）進(jìn)階訓(xùn)練1如圖，四邊形 ABCD 是直角梯形，/BC B90，24cm，28cm點(diǎn) 從 A 出發(fā)沿 AD 1cm/s 的度向點(diǎn) 動(dòng)；點(diǎn) Q 從點(diǎn) 同出發(fā)，沿 以 3cm/ 的度向 點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)問(wèn)：從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多 長(zhǎng)時(shí)間，四邊形 成平行

9、四邊形？6 / D2如圖，拋物線 過(guò) （3，0（1，0）（0） 三，拋物 線的頂點(diǎn)位 P（1） 求物線的表達(dá)式；（2線 y23 是否存在點(diǎn) M得 A 為頂?shù)乃倪呅问瞧叫兴倪呅危?若 存在，請(qǐng)求出點(diǎn) M 的 坐；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由PA B3如圖，在矩形 中，OA5，4，點(diǎn) D 為邊 上一點(diǎn)，將BCD 沿直線 折疊， 使點(diǎn) B 恰好落在 邊的點(diǎn) 處分別以 OC， 所在的直線為 軸y 軸立平面直角坐 標(biāo)系若點(diǎn) N 在 OD 三的拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn) 拋物線上，問(wèn)是否存在這樣的 點(diǎn) M 與點(diǎn) ，使得以 ，C， 為頂點(diǎn)的四邊是平行四邊?若存在請(qǐng)求出 點(diǎn)標(biāo) 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由答案：存在滿足條件的點(diǎn) ，坐標(biāo)為，16）（2， 提示：易證DAE，而點(diǎn) D 的標(biāo)為 ,-5)，得到過(guò)點(diǎn) O， 的物線的解析式為 = + 3再分類討論，由對(duì)角線互相平分，中點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等列出方程，從而找到符合條件的點(diǎn) 考 的方二）4如圖，拋物線與 軸于點(diǎn) （5（3，0 交于點(diǎn) （0一度 為 1，長(zhǎng)度足夠的矩形（陰影部分）沿x 軸方向移，與 軸行的一組對(duì)邊交物線于點(diǎn) P，交直線 AC 于 M，在矩形的平移過(guò)程中，當(dāng)以點(diǎn) P， 為點(diǎn)的四邊形是 平行四邊形時(shí)，求點(diǎn) M 的標(biāo)7 / 2 1 2 1答案：點(diǎn) M 坐標(biāo)為（2，3(-2 - 6) ( 6)提示由點(diǎn) A，C 的坐可得拋物線的表達(dá)式為 2 - x - x 3，