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1、費米狄拉克統(tǒng)計編輯維基百科,自由的百科全書(重定向自費米-狄拉克統(tǒng)計費米-狄拉克統(tǒng)計(英語:Fermi Dirac statistics),有時也簡稱費米統(tǒng)計、FD統(tǒng)計,在統(tǒng)計力學(xué) 中用來描述由大量滿足泡利不相容原理的費米子組成的系統(tǒng)中,粒子處在不同量子態(tài)上的統(tǒng)計規(guī)律。 這個統(tǒng)計規(guī)律的命名來源于恩、里科費米和保羅狄拉克,他們分別獨立地發(fā)現(xiàn)了這一統(tǒng)計規(guī)律。不 過費米在數(shù)據(jù)定義比狄拉克稍早。晰2費米-狄拉克統(tǒng)計的適用對象是,熱平衡時自旋量子數(shù)為半奇數(shù)的粒子。除此之外,應(yīng)用此統(tǒng)計規(guī)律 的前提是,系統(tǒng)中各粒子之間的相互作用可以忽略不計。這樣,就可以用粒子在不同定態(tài)的分布狀況 來描述大量微觀粒子組成的宏
2、觀系統(tǒng)。不同的粒子分處于不同的能態(tài)上,這一特點對系統(tǒng)許多性質(zhì)會 產(chǎn)生影響。費米-狄拉克統(tǒng)計適用于自旋量子數(shù)為半奇數(shù)的粒子,這些粒子也被稱為費米子。由于電 子的自旋量子數(shù)為1/2,因此它是費米-狄拉克統(tǒng)計最普遍的應(yīng)用對象。費米-狄拉克統(tǒng)計是統(tǒng)計力 學(xué)的重要組成部分,它利用了量子力學(xué)的一些原理。目錄K芻蒲1B隱7藏1概述 2歷史 3費米-狄拉克分布03.1粒子的能量分布 4量子范疇和經(jīng)典范疇 5參考文獻(xiàn) 6相關(guān)條目概述編輯!狀態(tài)1狀態(tài)2狀態(tài)3AAAAAA服從F-D統(tǒng)計的兩個粒子在三重簡并態(tài)下的分布根據(jù)量子力學(xué),費米子為自旋為半奇數(shù)的粒子,其本征服從F-D統(tǒng)計的兩個粒子在三重簡并態(tài)下的分布在能量為的
3、能級上同時有”:個粒子存在著,不難 想象,當(dāng)從宏觀觀察體系能量一定的時候,從微觀角度觀察體系可能有很多種不同的分布狀態(tài),而且 在這些不同的分布狀態(tài)中,總有一些狀態(tài)出現(xiàn)的幾率特別的大,而其中出現(xiàn)幾率最大的分布狀態(tài)被稱 為最可幾分布)時,體系總狀態(tài)數(shù)為:費米-狄拉克統(tǒng)計的最可幾分布的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:由于費米-狄拉克統(tǒng)計在數(shù)學(xué)處理上非常困難,因此在處理實際問題時經(jīng)常引入一些近似條件,使費米-狄拉克統(tǒng)計退化成為經(jīng)典的麥克斯韋-玻爾茲曼統(tǒng)計。此外,對于玻色子,也有 對應(yīng)的玻色-愛因斯坦統(tǒng)計予以處理。歷史編輯1926年發(fā)現(xiàn)費米-狄拉克統(tǒng)計之前,要理解電子的某些性質(zhì)尚較為困難。例如,在常溫下,未施加電流的金屬
4、內(nèi)部的熱容比施加電流的金屬少了大約100倍。此外,在常溫下給金屬施 加一強電場,將造成場致電子發(fā)射(Field electron emission)現(xiàn)象,從而產(chǎn)生電流流經(jīng)金屬。研究發(fā)現(xiàn),這個電流與溫度幾乎無關(guān)。當(dāng)時的理論難以解釋這個現(xiàn)象。3 當(dāng)時,由于人們主要根據(jù)的是經(jīng)典靜電學(xué)理論,因此在諸如金屬電子理論等方面遇到的困難, 無法得到令人滿意的解答。他們認(rèn)為,金屬中所有電子都是等效的。也就是說,金屬中的每 個電子都以相同的程度對金屬的熱量做出貢獻(xiàn)(這個量是波爾茲曼常數(shù)的一次項)。上述問 題一直困擾著科學(xué)家,直到費米-狄拉克統(tǒng)計的發(fā)現(xiàn),才得到較好地解釋。1926年,恩里科費米、保羅狄拉克各自獨立地
5、在發(fā)表了有關(guān)這一統(tǒng)計規(guī)律的兩篇學(xué)術(shù)論文。m。另有來源顯示,P 喬丹(Pascual Jordan)在1925年也對這項統(tǒng)計規(guī)律進(jìn)行了研究,他稱之為“泡利統(tǒng)計”,不過他并未及時地發(fā)表他的研究成果?;氐依朔Q此項研 究是費米完成的,他稱之為“費米統(tǒng)計”,并將對應(yīng)的粒子稱為“費米子”。1926年,拉爾夫福勒在描述恒星向白矮星的轉(zhuǎn)變過程中,首次應(yīng)用了費米-狄拉克統(tǒng)計的原理。冏1927年,阿諾索末菲將費米-狄拉克統(tǒng)計應(yīng)用到他對于金屬電子的研究中。6。1928年,福勒和LW 諾德漢(Lothar Wolfgang Nordheim)在場致電子發(fā)射的研究中, 也采用了這一統(tǒng)計規(guī)律。E直至今日,費米-狄拉克統(tǒng)
6、計仍然是物理學(xué)的一個重要部分。費米-狄拉克分布編輯根據(jù)費米-狄拉克分布,給定費米子組成的系統(tǒng)中處于量子態(tài)上的平均粒子數(shù)可以通過下 面的式子計算四 其中廣是波爾茲曼常數(shù),J為絕對溫度(熱力學(xué)溫波),為量子態(tài):上單個粒子的能n T = 0/量, 是化學(xué)勢。當(dāng)、時,化學(xué)勢就是系統(tǒng)的費米能。半導(dǎo)體中電子的費米能,也被被稱為費米能級。伽m要應(yīng)用費米-狄拉克統(tǒng)計,系統(tǒng)必須滿足一定的條件:系統(tǒng)的費米子數(shù)量必須足夠大, 以至于再加入一個費米子所引起化學(xué)勢打的變化可以忽略不計。m由于費米-狄拉克 統(tǒng)計的推導(dǎo)過程中利用了泡利不相容原理,即單個量子態(tài)上最多能有一個粒子,這樣的結(jié)果就是某個量子態(tài)上的平均量子數(shù)滿足-o
7、陷 費米-狄拉克分布平均粒子數(shù)和能量的關(guān)系,當(dāng)溫度丁較高時,平均粒子數(shù),七,的變化更加平緩。當(dāng)戶,:i:,1-io不過,圖中未能展現(xiàn),當(dāng)溫度I更高時,/會下降。13平均粒子數(shù)和溫度的關(guān)系(當(dāng) .-,)(點擊圖片可以獲得完整尺寸)平均粒子數(shù)和溫度的關(guān)系(當(dāng) .-,)(點擊圖片可以獲得完整尺寸)粒子的能量分布編輯Result: Occupalicin Functiailj F (unitless)14 results Paiameler$.Cl&arSimLilaliori *1 f Tempera- SOKT 二N = O.b5eV當(dāng),邛)eN = O.b5eV當(dāng),溫度在50開爾文與375開爾文
8、之間取離散值時,費米函數(shù))和能量值 之間的關(guān)系曲線。前面的章節(jié)敘述了給定費米子系統(tǒng)在不同量子態(tài)上的分布,一個量子態(tài)上最多只能具有一個費米子。利用費米-狄拉克統(tǒng)計,還可以獲得費米子系統(tǒng)不同能量值上的分布情況, 這與分析量子態(tài)的原理略有不同,因為可能出現(xiàn)多個定態(tài)具有同一能量值,即出現(xiàn)所謂 的簡并能量態(tài)情況。將費米-狄拉克統(tǒng)計中某個量子態(tài)上的平均粒子數(shù)”與簡并度”(即能量值為、的量 子態(tài)數(shù))相乘,就可以得到能量為L的平均費米子數(shù)。網(wǎng)禎&)=現(xiàn)瓦= 蟲棚-時片丁 + 1當(dāng)&二J時,可能出現(xiàn)5 。導(dǎo)致這個現(xiàn)象的原因前面提到過,即具有同一個能量值的粒子可能處于不同的定態(tài),也就是說完全可能出現(xiàn)多個粒子處于
9、同一能量值o當(dāng)一個系統(tǒng)的能量是準(zhǔn)連續(xù)(quasi-continuum )的,定義其單位體積內(nèi)單位能量 域的量子態(tài)數(shù)為狀態(tài)密度。網(wǎng),單位能量域的平均費米子數(shù)為N()= g()F()這里:被稱為費米函數(shù),它與前面用來表達(dá)量子態(tài)”;上粒子數(shù)分布的函數(shù)具有相同的形式。gF 仕)=E/kT +1故卸(時=+ 1量子范疇和經(jīng)典范疇編輯如果經(jīng)典范疇中涉及的位移、動量之間的關(guān)系還遠(yuǎn)未達(dá)到不確定性原 理所設(shè)定的極限,誦常可以采用麥克斯韋-玻爾茲曼統(tǒng)計來代替費米 -狄拉克統(tǒng)計,這樣做可以簡化數(shù)學(xué)計算的難度。如果粒子平均間距 A遠(yuǎn)大于粒子的平均物質(zhì)波波長人,就可以采用上述經(jīng)典范疇的處理方式。網(wǎng)- hRA R -1-
10、/3mkT這里,L為普朗點常數(shù),門為粒子的質(zhì)量對于常溫(約300開爾文)下金屬中的電子,由于=Z,因此該系統(tǒng)遠(yuǎn)離經(jīng)典范疇。這是因為電子質(zhì)量較小,并且在金屬 中聚集程度較高。這樣,為了分析金屬中的傳導(dǎo)電子,必須采用 費米-狄拉克統(tǒng)計。網(wǎng)由恒星演變而來的白矮星,是另一個不屬于經(jīng)典范疇、必須采用 費米-狄拉克統(tǒng)計的例子。盡管白矮星的溫度很高(其表面溫度 通常能達(dá)到10,000開爾文m),但是它內(nèi)部高度聚集的電子和 每個電子的低質(zhì)量,使得處理這問題必須采用費米-狄拉克統(tǒng)計, 而不能用經(jīng)典的波爾茲曼統(tǒng)計近似處理。5參考文獻(xiàn)編輯八 詬訂 Fermi, Enrico. Sulla quantizzazion
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16、. ISBN978-0-7167-1088-2.a Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. McGraw - Hill. 1965. 340 - 2. ISBN 978-0-07-051800-1. TOC o 1-5 h z 而Ia值得注意的是,同時也是量子態(tài)被粒子占據(jù)的概率,由于一個量子0 1態(tài)最多同時被一個粒子占據(jù)因此有。a Kittel, Charles. Introduction to Solid State Physics 4th. New York: JohnWiley & Sons. 1971.245,
17、 Figs. 4 and5. ISBN 0-471-14286-7.Oefce 300039591.八赤宓 Leighton, Robert B. Principles of Modern Physics. McGraw-Hill.11959: 340. ISBN 978-0-07-037130-9.Note that in Eq. (1), and correspond respectively而訊q)to andin this article. See also Eq. (32) on p. 339.a Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. McGraw - Hill. 1965. 389. ISBN 97
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