群基本概念課件

1、關(guān)于群的基本概念第一張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 群（Group）的概念開始于19世紀(jì)初葉。群論（Group Theory）的早期發(fā)展歸功于著名的數(shù)學(xué)家高斯（Gauss）、柯西（Cauchy）、阿貝爾（Abel）、哈密頓（Hamilton）、伽羅瓦（Galois）等。但是直到1925年出現(xiàn)了量子力學(xué)之后，才發(fā)現(xiàn)它在物理學(xué)中許多應(yīng)用。貝特（Bethe）和維格納（Wigner）等人很快認(rèn)識到群論在物理學(xué)中的應(yīng)用，把這一新的工具用于計(jì)算原子結(jié)構(gòu)和光譜。利用群論方法，可以直接對體系的許多性質(zhì)作出定性的了解，可以簡化復(fù)雜的計(jì)算，也可以預(yù)言物理過程的發(fā)展趨向。目前在物理學(xué)和物理化學(xué)的許多分支

2、中，群論已經(jīng)成為不可缺少的工具。第二張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 群論源于十九世紀(jì)初，起源于對代數(shù)方程的研究，它是人們對代數(shù)方程求解問題邏輯考察的結(jié)果。群理論被公認(rèn)為十九世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)成就之一。群 論 歷 史 群論是法國傳奇式人物伽羅瓦（ Galois，18111832年）的發(fā)明。他用該理論，具體來說是伽羅瓦群，解決了五次方程問題。柯西（Augustin-Louis Cauchy,17891857年)，阿貝爾（Niels Henrik Abel，18021829年）等人也對群論的建立做了很多貢獻(xiàn)。第三張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月阿貝爾簡介： （阿貝爾：Abel,1

3、8021829）任何一部數(shù)學(xué)家詞典中的第一人，是十九世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，是挪威空前絕后的最偉大的學(xué)者。后人整理他的遺著花了150年。不幸的挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾第四張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月三百多年弄不清楚的問題：五次及五次以上的方程的公式解法國數(shù)學(xué)家拉各朗日稱這一問題是在“向人類的智慧挑戰(zhàn)”。1770年拉格朗日分析了二次、三次、四次方程根式解的結(jié)構(gòu)之后，提出了方程的預(yù)解式概念，并且還看出預(yù)解式和方程的各個根在排列置換下的形式不變性有關(guān)，這時他認(rèn)識到求解一般五次方程的代數(shù)方法可能不存在。代數(shù)學(xué)發(fā)展過程中：第五張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾利用置換群的理

4、論，給出了高于四次的一般代數(shù)方程不存在代數(shù)解的證明。阿貝爾率先解決了這個引人矚目的難題?？墒?，由于阿貝爾生前只是個默默無聞的“小人物”，他的發(fā)明創(chuàng)造競沒有引起數(shù)學(xué)界的重視。在失望、勞累、貧困的打擊下，阿貝爾不滿27歲就離開了人間，使他未能徹底解決這個難題。比如說：為什么有的特殊高次方程能用根式解呢?如何精確地判斷這些方程呢？他死后第二天，倫敦大學(xué)校長的特使，手持校長的邀請函來到挪威師范學(xué)院尋找阿貝爾第六張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月殞落的新星1832年5月30日清晨，法國巴黎郊外進(jìn)行了場決斗。槍聲響后，一個青年搖搖晃晃地倒下了。第二天一早，他就匆匆離開了人間，死時還不到21歲。死前

5、這個青年沉痛地說： “請?jiān)徫也皇菫閲鵂奚?。我是為一些微不足道的事而死的。?這個因決斗而死去的青年，就是近代數(shù)學(xué)的奠基人之一、歷史上最年輕的著名數(shù)學(xué)家伽羅瓦。1811年10月25日，伽羅瓦出生在法國巴黎附近的一個小鎮(zhèn)上。第七張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月更加不幸的法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦伽羅瓦（1811.10.251832.5.30） 浪漫的法國人一直為他們早逝的、劃時代的、人類有史以來最聰明的、思想最深刻的、最倒霉的數(shù)學(xué)家感到自責(zé)。他留下了100頁數(shù)學(xué)文稿，被發(fā)展成一門艱深、應(yīng)用廣泛的學(xué)科-抽象代數(shù)或稱群論。第八張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月經(jīng)常被老師斥為笨蛋小時候，伽羅瓦

6、并末表現(xiàn)出特殊的數(shù)學(xué)才能，相反，他12歲進(jìn)入巴黎的一所公文中學(xué)后，還經(jīng)常被老師斥為笨蛋。伽羅瓦當(dāng)然不是笨蛋，他性格偏執(zhí)，對學(xué)校死板的教育方式很不適應(yīng)，漸漸地，他對很多課程都失去了興趣，學(xué)習(xí)成績一直很一般。第九張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月伽羅瓦遇到了數(shù)學(xué)教師里沙在中學(xué)的第三年，伽羅瓦遇到了數(shù)學(xué)教師里沙。里沙老師非常善于啟發(fā)學(xué)生思維，他把全部精力都傾注在學(xué)生身上，還常常利用業(yè)余時間去大學(xué)聽課，向?qū)W生傳授新知識。很快，伽羅瓦就對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了極大的興趣。他在里沙老師的指導(dǎo)下，迅速學(xué)完了學(xué)校的數(shù)學(xué)課程，自學(xué)了多名數(shù)學(xué)大師的著作。第十張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月他盯上了著名的世界

7、數(shù)學(xué)難題不久，伽羅瓦的眼睛盯上了：高次方程的求根公式問題。16世紀(jì)時，意大利數(shù)學(xué)家塔塔利亞和卡當(dāng)?shù)热?，發(fā)現(xiàn)了三次方程的求根公式。這個公式公布后沒兩年，卡當(dāng)?shù)膶W(xué)生費(fèi)拉里就找到了四次方程的求根公式。當(dāng)時，數(shù)學(xué)家們非常樂觀，以為馬上就可以寫出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。然而，時光流逝了幾百年，誰也找不出一個這樣的求根公式。第十一張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月站在巨人阿貝爾的肩膀上面這樣的求根公式究竟有沒有呢?在伽羅瓦剛上中學(xué)不久，年輕的挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾已經(jīng)作出了回答：“沒有。”阿貝爾從理論上予以證明，無論怎樣用加、減、乘、除以及開方運(yùn)算，無論將方程的系數(shù)怎樣排列，它都

8、決不可能是一般五次方程的求根公式。第十二張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月伽羅瓦向世紀(jì)難題發(fā)起了挑戰(zhàn)1828年，也就是阿貝爾去世的前一年，伽羅瓦也向這個數(shù)學(xué)難題發(fā)起了挑戰(zhàn)。他自信找到了徹底解決的方法，便將自己的觀點(diǎn)寫成論文，寄給法國巴黎科學(xué)院。負(fù)責(zé)審查伽羅瓦論文的是柯西和泊松，他們都是當(dāng)時世界上第一流的數(shù)學(xué)家?？挛鞑幌嘈乓粋€中學(xué)生能夠解決這樣著名的難題，順手把論文扔在一邊，不久就丟失了； 兩年后，伽羅瓦再次將論文送交巴黎科學(xué)院。這次， 負(fù)責(zé)審查伽羅瓦論文的是傅立葉。不巧，也就是在這一年，這位年邁的著名數(shù)學(xué)家去世了。伽羅瓦的論文再一次給丟失了。第十三張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年

9、6月他考進(jìn)了巴黎高等師范學(xué)校伽羅瓦的論文一再被丟失的情況，使他很氣憤。這時，他已考進(jìn)了巴黎高等師范學(xué)校；并得知了阿貝爾去世的消息，同時又發(fā)現(xiàn)，阿貝爾的許多結(jié)論，他已經(jīng)在被丟失的論文中提出過。在1831年，伽羅瓦向巴黎科學(xué)院送交了第三篇論文，題目是關(guān)于用根式解方程的可解性條件。 這一次，著名數(shù)學(xué)家泊松仔細(xì)審查了伽羅瓦的論文。第十四張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月年邁的泊松感到難于理解由于論文中出現(xiàn)了“置換群”等嶄新的數(shù)學(xué)概念和方法，泊松感到難于理解。幾個月后，他將論文退還給伽羅瓦；囑咐寫一份詳盡的闡述送來，可是，伽羅瓦已經(jīng)沒有時間了。 在大學(xué)里，伽羅瓦由于積極參加資產(chǎn)階級革命活動，被學(xué)

10、校開除了。第十五張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月伽羅瓦預(yù)感到死亡即將來臨1831年5月和7月，他又因參加游行示威活動兩次被捕入獄，遭受路易-菲利浦王朝的迫害，直到1832年4月29日，由于監(jiān)獄里流行傳染病，伽羅瓦才得以出獄。伽羅瓦恢復(fù)自由不到一個月，愛上了一個舞女，并因此被迫與一個軍官決斗。決斗前夕,伽羅瓦預(yù)感到死亡即將來臨，他匆忙將數(shù)學(xué)研究心得扼要地寫在一張字條上，并附以自己的論文手稿，請他的朋友交給當(dāng)時的大數(shù)學(xué)家們。第十六張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月他堅(jiān)信自己的理論正確伽羅瓦自豪地寫道：“你可以公開請求雅可比或者高斯，不是對這些東西的正確性，而是對它的重要性表示意見

11、。”我希望，今后能有人認(rèn)識這些東西的奧妙，并作出恰當(dāng)?shù)慕忉尅?846年 法國數(shù)學(xué)家劉維爾首先“認(rèn)識到這些東西的奧妙”，將它們發(fā)表在自已主辦的刊物上，并撰寫序言熱情向數(shù)學(xué)界推薦。 他在天亮之前那最后幾個小時寫出的東西，為一個折磨了數(shù)學(xué)家們幾個世紀(jì)的問題找到了真正的答案，并且開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一片新的天地。第十七張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 伽羅瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群論徹底解決了根式求解代數(shù)方程的問題，而且由此發(fā)展了一整套關(guān)于群和域的理論，為了紀(jì)念他，人們稱之為伽羅瓦理論。 正是這套理論創(chuàng)立了抽象代數(shù)學(xué)，把代數(shù)學(xué)的研究推向了一個新的里程。正是這套理論為數(shù)學(xué)研究工作提供了新的

12、數(shù)學(xué)工具群論。它對數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)的發(fā)展有很大影響，并標(biāo)志著數(shù)學(xué)發(fā)展現(xiàn)代階段的開始。第十八張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 時至今日，群的概念已經(jīng)普遍地被認(rèn)為是數(shù)學(xué)及其許多應(yīng)用中最基本的概念之一。它不但滲透到諸如幾何學(xué)、代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、函數(shù)論、泛函分析及其他許多數(shù)學(xué)分支中而起著重要的作用，還形成了一些新學(xué)科如拓?fù)淙?、李群、代?shù)群、算術(shù)群等，并在結(jié)晶學(xué)、理論物理、量子化學(xué)以至（代數(shù)）編碼學(xué)、自動機(jī)理論等方面，都有重要的應(yīng)用。 群論與對稱性群論是研究系統(tǒng)對稱性質(zhì)的數(shù)學(xué)工具。第十九張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月物理學(xué)中的對稱性和守恒定律 物理學(xué)中的許多規(guī)律常常具有一些對稱性質(zhì)，從一

13、種對稱性質(zhì)就可以推導(dǎo)出一種守恒定律： 空間坐標(biāo)平移不變性（系統(tǒng)拉氏函數(shù)L不變） 動量守恒 L在空間轉(zhuǎn)動下對稱 角動量守恒 L在時間平移下對稱 能量守恒空間反演（ ）對稱 宇稱守恒 晶體平移對稱性（平移晶格常數(shù) 的整數(shù)倍） Bloch定理 全同粒子交換對稱性 玻色子，費(fèi)米子 標(biāo)度變換對稱性 臨界現(xiàn)象，非線性物理，生命起源第二十張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 今天，群論經(jīng)常應(yīng)用于物理領(lǐng)域。我們經(jīng)常用群論來研究對稱性，這些對稱性能夠反映出在某種變化下的某些變化量的性質(zhì)。它也跟物理方程聯(lián)系在一起。另外，晶體學(xué)中早期的關(guān)于晶體的各種結(jié)構(gòu)的問題中，也是靠群論中的費(fèi)得洛夫群的研究給出了答案。群論

14、指出，空間中互不相同的晶體結(jié)構(gòu)只有確定的230種。（230個空間群）對稱群理論在先進(jìn)（陶瓷）材料中的應(yīng)用第二十一張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 通過對這些具有一定力學(xué)性能、物理性能的材料的微觀本質(zhì)的分析，可以反過來利用對稱群分析看看可以通過哪些方式（如摻雜等）來改變晶體的晶格以獲得性能更佳、物理效應(yīng)更顯著的晶體。 （壓電、鐵電、熱釋電、光學(xué)性能等）對稱性晶體結(jié)構(gòu)相似的物理性能（壓電、鐵電、熱釋電、光學(xué)性能等）對稱性分析改變晶體的結(jié)構(gòu)提高材料的性能第二十二張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2、群論及其在物理學(xué)中的應(yīng)用1、群論及其在固體物理中的應(yīng)用 （徐婉棠、喀興林編著，高教出

15、版社）參考書：4、線性代數(shù)3、物理學(xué)中的群論 （馬中騏 編著，科學(xué)出版社） （謝希德、蔣平、陸奮 著）科學(xué)出版社第二十三張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月群論及其在固體物理中的應(yīng)用 第一、二章：討論有限群及其表示的基本數(shù)學(xué)理論；第三、四章：討論點(diǎn)群在分析晶體宏觀性質(zhì)中的應(yīng)用；第 五 章：討論群論與量子力學(xué)的關(guān)系；第六章：討論空間群的不可約表示及其在能帶理論中的應(yīng)用；第七、八章：介紹晶格動力學(xué)中的群論方法，色群及其表示理論。第二十四張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月第一部分 群論基礎(chǔ)第一章 群的基本知識 第二十五張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1.1 群 一、 群的定義

16、: 有限或無限個元素（數(shù)學(xué)對象）或操作的集合A, B, C, D ，其中有一個與次序有關(guān)的運(yùn)算方法（群乘），具備下列條件, 則構(gòu)成群（G）。集合中的元素（A, B, C, D ）稱為 群元 。 1, 封閉性, AB = C （AA=D） 2, 結(jié)合律, A(BC) = (AB)C 3, 單位元（不變元素）E, EA = AE = A 4, 逆元A-1, A A-1 = A-1 A = E第二十六張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月二、 群的性質(zhì): 1、 E-1 = E , 單位元 E 的逆元仍為E, 證：（1）E-1 E= E E-1 = E （令：A=E， 由A-1 A = A A-1

17、 =E ） （2）E E-1 = E-1 E = E-1 （令：A= E-1 ， 由EA = A E= A ） 由（1）和（2） E = E-1 2、 (A-1)-1 = A, 逆元之逆元為元素本身 證： (A-1)-1 = (A-1)-1 E= (A-1)-1 （A-1 A )=(A-1)-1 A-1 A=EA=A 3、 (AB)-1 = B-1 A-1 證明: (AB)-1 = (AB)-1E = (AB)-1AA-1 E = (AB)-1 AEA-1 = (AB)-1A （BB-1）A-1 = (AB)-1 (AB) B-1A-1 = EB-1A-1 = B-1A-1 (AB)-1 =

18、B-1A-1第二十七張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月三、 群階: 群元的數(shù)目（g） 離散的無限群 （可數(shù)的無窮多）連續(xù)群 （不可數(shù)的無窮多）無限群 有限群 h（g 為有限） 2、交換群（阿貝爾群）： 群乘與群元的順序無關(guān) AB = BA 1、 群乘：將集合中的任意兩個元素構(gòu)成唯一的另一個元素的一種運(yùn)算。群乘不一定是代數(shù)運(yùn)算中的乘法（如相繼操作），也不一定滿足交換律。四, 可換群: ( Abel 阿貝爾群 )第二十八張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月五、 群的實(shí)例（群元和群乘） 1, 數(shù)群: 以數(shù)為群元，以數(shù)學(xué)運(yùn)算為群乘，構(gòu)成數(shù)群 例(1)：全部正負(fù)整數(shù) ( 包括 0 ) 的集

19、合，群乘為加法 E = 0， A = n, A -1= -n 這是離散的無限群、交換群 例(2)：全部正負(fù)整數(shù) ( 不包括 0 ) 的集合，群乘為乘法 E = 1， A = n, A-1 = 1/n 提問：這是不是群？為什么？ 答案：不是，因?yàn)?A-1 = 1/n 不是整數(shù)，A 沒有逆元。第二十九張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 全部正負(fù)實(shí)數(shù) ( 不包括 0 ) 的集合，群乘為乘法 （構(gòu)成群-連續(xù)群）例（3）：全部正負(fù)實(shí)數(shù) 的集合，群乘為 數(shù)乘E = 1， A = n, A-1 = 1/n提問：這是不是群？為什么？答案：不是，因?yàn)楫?dāng)n=0 時， A-1 = 1/n 不在集合內(nèi)。 當(dāng)n

20、0 時， A-1 = 1/n 在集合內(nèi)。 例（4）集合1，-1 在 數(shù)乘 運(yùn)算下構(gòu)成一個群。 例（5）集合 1，-1，i，-i 構(gòu)成群。群元由 ik 構(gòu)成。 （k =0，1，2，3）循環(huán)群：一個群的所有群元可以由某個元的冪來產(chǎn)生。如例（5） 循環(huán)群都是阿貝爾群。E = 1， A-1 = A第三十張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2、置換群： 以變換位置的操作為群元，以相繼操作為群乘，構(gòu)成置換群 例: Z3 群 ( 三位置置換群 ) 1 2 3 表示將 1、2、3 處之物分別放於 2、3、1 處， 2 3 1 1 2 3 【 】 【 】 2 3 1 第三十一張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2

21、022年6月Z3群由以下六元素構(gòu)成： 1 2 3 1 2 3 1 2 3 e = a = b = 1 2 3 3 2 1 1 3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 c = d = f = 2 1 3 3 1 2 2 3 1 可以證明它們符合群的四個基本條件（自己證） 第三十二張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 bc = f即：第三十三張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月滿足（不滿足封閉性）3、矩陣群: 以方矩陣為群元，以矩陣乘法為群乘，構(gòu)成矩陣群。 第三十四張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月d3 群 detA =1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 e = 0 1

22、 0 a = 1 0 0 b = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 c = 0 1 0 d = 1 0 0 f = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 逆元： b-1=b d-1=f封閉性： a d = b, b d = c, d2 = f第三十五張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月4、 對稱群 ( 這是我們最關(guān)注的 ) 以對稱操作為群元，以相繼操作為群乘，構(gòu)成對稱群 例 D3 群（使正三角形自身重合的對稱操作構(gòu)成的群。） E 不動 C 繞C軸轉(zhuǎn)180o A 繞A軸轉(zhuǎn)180o D 順時針轉(zhuǎn)120o （繞垂直于三角形平面的軸）

23、B 繞B軸轉(zhuǎn)180o F 逆時針轉(zhuǎn)120oacbbbbbbaaaaaccccc返回第三十六張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月AF第三十七張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月5、 列表 群的名稱 群元 群乘 舉例 數(shù)群 數(shù) 運(yùn)算(加、乘等) 例(1) 置換群 置換 相繼置換 Z3群 矩陣群 矩陣 矩陣乘法 d3群 對稱群 對稱操作 相繼操作 D3群 第三十八張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月六 群表及群表定理1, 群表：群元的乘積表 例： d3 群： ad = b, bd = c, d2 = f D3 群: AD = B, BD = C, D2 = F E A B C D

24、F E E A B C D F A A E D F B C B B F E D C A C C D F E A B D D C A B F E F F B C A E D 提問：D3 群是不是阿貝爾群？ 答案：不是，因?yàn)锳B ( = D ) BA ( = F ) 習(xí)題: 試證明D3群群表最后一行的偶數(shù)位, 即證明 FA = B, FC = A, F2 = D * 群表的行和列用群元素來標(biāo)記，元素A和B的乘積D=AB出現(xiàn)在A行和B列交叉處。返回第三十九張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2，群表即群: 群的信息全部在群表中，群表即群 思考題： 你能找出 d3 , D3及 Z3 群之間的內(nèi)在

25、聯(lián)系嗎? 答案: (1) D3群的對稱操作可視為三角形三頂點(diǎn)位置的置換； (2) D3 群和 Z3 群的操作都可表示為 33 的變換矩陣。 (3) 它們的群表相同，就數(shù)學(xué)而言它們是同一群； d3 群 = Z3 群 = D3 群 3，群表定理（重排定理） G ： E， A2， A3，A4 - Ah AkG : Ak， AkA2，AkA3，AkA4 - AkAk 中 或GAk : Ak， A2AK，A3Ak，A4Ak - AkAk 中 群中的每個元素（在每一行或每一列中）必出現(xiàn)且只出現(xiàn)一次 ( 只是重排 )， 即群 G 被其中的元素左乘或右乘仍為該群 G. Ak G = G Ak = G * 第四

26、十張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月求證: GAk = G 證明: 第一步：證明每個元素必出現(xiàn)於 GAk 中 （即證明若元素 X G，則必 X GAk） 令 Ar = X Ak-1 X，Ak-1 G, Ar G ( 封閉性 ) 則 X = ArAk G Ak 第二步：證明每個元素只出現(xiàn)一次 （即證明若又有一元素As G 使 AsAk = X, 則必有As =Ar ） AsAk = X, 又由前面可知 X = ArAk， ArAk = AsAk 則 Ar = Ar（AkAk-1）=（ArAk）Ak-1 =（AsAk）Ak-1 = As（AkAk-1）= As *第四十一張，PPT共八十二

27、頁，創(chuàng)作于2022年6月1.2 子群和陪集一，子群 (subgroup) 1，定義：群 G 中的一些元的集合 S 在相同的群乘下構(gòu)成的 群，為 G 的子群 2，顯然子群（平庸子群）：（1）E， （2）G 3，子群 S 的條件和檢驗(yàn): （1）單位元； （2）逆元； （3）封閉性. 提問：結(jié)合律是否需要檢驗(yàn)？為什么？ 答案：群乘不變，結(jié)合律自然滿足 例， 提問：以下哪些集合是 D3 群的子群？( 根據(jù)群表 ) E，E，A，E，B，E，D， A，F(xiàn), D，F(xiàn) E，A，F(xiàn)， E，D，F(xiàn) 答案：E, E, A, E, B, E, D, F *第四十二張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月二， 陪集

28、（coset） 子群 S G， 又 X G，但 X S 則，SX 為 S 關(guān)于 X 的右陪集, XS 為 S 關(guān)于 X 的左陪集 （若 X S，則 XS = SX = S ） 提問: 為什么? 答案: 重排定理 例：D3 群中子群的陪集 （1） 子群： S = E，D，F(xiàn)； 陪集：A，B，C （= A E，D，F(xiàn) = E，D，F(xiàn) B） （2） 子群：E，A； 陪集：B，F(xiàn)， （= B E，A = F E，A） B，D， （= E，A B = E，A D） C，D， （= C E，A = D E，A） 提問：陪集是不是群？為什么？ 答案: 不是。因?yàn)闆]有 E ( 其普遍性證明見后 ) * S關(guān)于

29、A的左陪集S關(guān)于B的右陪集第四十三張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月三， 陪集定理（以右陪集為例證明，結(jié)論同樣適用于左陪集）（1）若 X 不是 S 的一個元，那么SX 不是一個群。（2）G 中的每一個元必然落在子群或某一個右陪集中。第四十四張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月（3）每一個右陪集包含 s 個不同的元。 即在集合 SX 的 s 個元中，沒有相同的元存在。第四十五張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月（4） 陪集 SX 和 SY 要么完全相同，要么完全不同 （即若有一共同元，則全同） 證明： 若 有一共同元，Sm X = Sn Y ( Sm, Sn S ) 則 Sm

30、-1 SmX Y-1 = Sm-1 SnYY-1 ( 左乘Sm-1，右乘Y-1 ) 因此 X Y-1 = Sm-1 Sn S ( 封閉性 ) 則 S X Y-1 = S 提問：為什么？ 答案： 重排定理 ( 只是重排, 元素結(jié)合不變 ) 故 SX = SY * 第四十六張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月四, 子群階定理: 若 子群 S 群 G 則 子群 S 的階 s 必然是群 G 階g 的正整因子 證明： 1，群 S 及其陪集必然包括大群 G 中所有的元 （群 G 中任何一個 S 以外的元素 X 必然在陪集 SX 中） 陪集定理2 2，SX 和 SY 要么全同，要么全不同（陪集定理4）

31、 3，子群 S 與陪集 SX 沒有共同元 （X 應(yīng)不屬于 S） 若 有 Sm = Sn X 則 X = Sn-1 Sm S，與前提矛盾 4，子群與其陪集的階相同（元素的數(shù)目相同）,皆為 s （陪集定理3） 5，由以上四點(diǎn)可知，s 是g 的正整因子 G = S + SX + SY + - + SW （g） （s） （s） （s） （s） *即：g=si (1.2-3) 第四十七張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1.3 共軛元與類 一，共軛 （conjugate） 1, 共軛元 （conjugate element）若群 G中存在一個元 X，使群中的元A、B滿足: B = XAX-1 （A

32、，B，X G ）, 那么就說群元 B 與群元 A 共軛。若B 共軛于A，則A也共軛于B，因?yàn)椋?由B = XAX-1 則A= X-1B(X-1) -1= YAY-1 （ Y=X-1） 其中Y=X-1，是群G中的一個元，所以A與B互為共軛元。 2, 共軛的傳遞性 若 A 與 B 共軛，B 與 C 共軛，則 A 與 C 共軛 證明：若 B = XAX-1，C = YBY-1 則 C = YBY-1 = Y(XAX-1)Y-1 = YXAX-1Y-1 = (YX)A(YX)-1 = ZAZ-1 ( Z = YX G ) 故 C 與 A 共軛 第四十八張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月3, 相

33、似矩陣 矩陣群中彼此共軛的元為彼此相似的矩陣。二, 類: 群 G 中彼此共軛的群元的完全集合構(gòu)成類（C）。 對于類 C, 自然有 XCX-1 = C ( X為群 G 中任一群元)三，類的性質(zhì) 1, 單位元自成一類 （XEX-1= E） 2, 類相互獨(dú)立，彼此無共同元 提問：為什么？ 答案：如有一共同元，則為同一類（類的傳遞性） 3, 除 E 以外，所有的類都不是群 提問：為什么？ 答案: 缺 E 提問: 為什么缺 E 答案: E 自成一類 類的元數(shù)hc：類中群元的個數(shù)。第四十九張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月4, 對于矩陣群，同類的元具有相同的矩陣跡 ( 又稱特征標(biāo) ) 提問：為什么

34、？ 答案：矩陣相似變換，矩陣跡不變 (定義: A（aij）為n階方矩陣，A的主對角線元素之和稱為A的跡，記為tr（A）。即矩陣的跡具有下述的常見性質(zhì)1：1tr（AB）=tr（A）tr（B） 2tr（KA）Ktr（A） 3tr（AB）tr（BA） 4tr（ABC）tr（BCA）tr（CAB）第五十張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月四，分類 1, 基本方法：利用群表尋求共軛元，進(jìn)行分類 2, 可換群：每一元素自成一類 證明: XA = AX ( 可換群 ) ( 兩邊右乘X-1 ) XAX-1 = AXX-1 = A 3, 轉(zhuǎn)動群中兩轉(zhuǎn)角相同的轉(zhuǎn)動操作，若其轉(zhuǎn)軸可由群中某一操 作相互轉(zhuǎn)換，則

35、該二轉(zhuǎn)動操作同類 X A X-1 = B4, D3 群的分類 （可自己練習(xí)） 分類方法：（1）利用群表尋求共軛元 （2）根據(jù)第3 條 分類結(jié)果：（1）E （E 自成一類） （2）D，F(xiàn); A, B, C 各為一類 習(xí)題: 試將 D3 群分類, 并根據(jù)群表證明之. *第五十一張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月自證第五十二張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月(X-1)-1 C-1X-1=(XCX-1)-1第五十三張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 有關(guān)類的定理第五十四張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月第五十五張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月證明：第五十六

36、張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月3第五十七張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月整元則有：逆元（S-1X(S-1)-1=X、單位元（EXE-1=X）第五十八張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月為此只要證明：類第五十九張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月第六十張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月=g=si第六十一張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月(1.4-2)第六十二張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月=第六十三張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月不變子群（正規(guī)子群） 一、定義：有子群 N G， 若 XNX- 1 = N 或 XN = NX （

37、X 為 G 中的任一元素） 則 N為群G的不變子群=第六十四張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月二，性質(zhì)1，不變子群必包括一個或幾個完整的類 （即不變子群由完整的類構(gòu)成） 證明：若 任一群元 A N 則 X A X-1 N （ XNX-1 = N, A N ） 即 類 C N （XCX-1 = C） ( 即類中若有一元素屬于N，則整個類屬于N )2, 含一個或幾個完整類的子群是不變子群 證明：若 子群 S = C1+ C2 ( 以兩個類為例 ) XC1X- 1 = C1，XC2 X- 1 = C2 XSX- 1 = X（C1 + C2）X- 1 = XC1X- 1 + XC2 X- 1

38、= C1 + C2 = S 即 S 為不變子群*第六十五張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月3, 不變子群的兩個陪集相乘（包括自乘）必為一個陪集或不變 子群自身 證明：N 為 G 的不變子群 NK 和 NL 為 N 的陪集 NKNL = NKN（K-1K）L = N（KNK-1）KL = NNKL = N（KL） （NN = N） 若 KL 不在 N 中，則 N（KL）是 N 的陪集 若 KL 在 N 中， 則 N（KL）是 N 自身 *例 D3 群中，不變子群 N = E，D，F(xiàn) 兩陪集的乘積 ( NA ) ( NB ) = E, D, FA E, D, FB = E, D, FE,

39、D, FAB = E, D, F (AB) 提問: 是因?yàn)?D3 群是可換群嗎? 答案: 是因?yàn)镋, D, F是不變子群 ( AB = D ) = E, D, F D ( 仍是N, = E, D, F ) 第六十六張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月4, 不變子群的判斷 判別條件 : （1）由完整的類構(gòu)成； (缺一不可) （2）其階是 G 群階的因子 ( 子群階定理 ) 提問：下列集合中哪些是 D3 群的不變子群? E, A, E, D, E, A, B, E, D, F, A, B, C 答案：E，D，F(xiàn) ( A, B, C 缺 E, 其余不是完整類 ) 提問：E，A，B，C是否為不變子群？ 答案：不是，其階4，不是 g= 6 的因子 *第六十七張，PPT共八十二頁，創(chuàng)作于2022年6月商群一，定義: 若不變子群N G， 則以N及其陪集為群元，以其乘法為群乘, 構(gòu)成商群， 記為G/N，其階m = g/s，其中s和g為N和G的階 二, 證明 G/N = N，NK2，NK3 - NKm 確實(shí)是群 1, 單位元：N為單位元 證明: N（NKi）= NNKi = NKi 同理（NKi）N = N（KiN） = N（NKi ）= Nki 故 N為單位元 2, 逆元： NKi 的逆元為NKi-1，即 (NKi)-1 = NKi-1 證明：（NKi）（NKi-1 ）=