高考數(shù)學(xué)山東新高考一輪復(fù)習(xí)課件：空間幾何體的表面積與體積

1、7.1空間幾何體的表面積與體積-2-知識梳理考點自診1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 平行且相等 全等任意多邊形有一個公共頂點的三角形相似矩形直角邊直角腰圓錐半圓面或圓面-3-知識梳理考點自診2.特殊的四棱柱 -4-知識梳理考點自診3.多面體的表(側(cè))面積因為多面體的各個面都是平面,所以多面體的側(cè)面積就是,表面積是側(cè)面積與底面面積之和.4.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式所有側(cè)面的面積之和 2rl rl (r1+r2)l -5-知識梳理考點自診5.柱、錐、臺和球的表面積和體積 Sh 4R2 -6-知識梳理考點自診1.球的截面的性質(zhì)(1)球的截面是圓面,且球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截

2、面;(2)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為2.與體積有關(guān)的幾個結(jié)論(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等.-7-知識梳理考點自診-8-知識梳理考點自診1.下列結(jié)論正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)有兩個面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱. ()(2)有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐. ()(3)棱臺是由平行于棱錐底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分.()(4)如果圓柱的一個底面積為S,側(cè)面展開圖是一個正方形,那么這個圓柱的側(cè)面積是2S.()(5)設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a,a

3、,a,其頂點都在一個球面上,則該球的表面積為3a2.() -9-知識梳理考點自診2.(2019吉林四平一中期末)一個球的表面積是16,那么這個球的體積為()B -10-知識梳理考點自診3.(2019湖北武漢5月模擬)已知長方體全部棱長的和為36,表面積為52,則其體對角線的長為()B -11-知識梳理考點自診4.(2019安徽銅陵一中調(diào)研)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個,則新的底面半徑為.-12-知識梳理考點自診5.(2019江蘇,9)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D

4、1的體積是120,E為CC1的中點,則三棱錐E-BCD的體積是.10 解析:長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為120,ABBCCC1=120.E為CC1的中點,CC1底面ABCD,CE為三棱錐E-BCD的底面BCD上的高,CE= CC1,-13-考點1考點2考點3考點4空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1(1)(多選)下列結(jié)論正確的是()A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C.棱錐的各側(cè)棱相交于一點,但不一定相等D.圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線(2)(2019湖南師大附中模擬)給出下列幾個命題:

5、在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓柱的母線;底面為正多邊形,且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱;棱臺的上、下底面可以不相似,但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3CDB-14-考點1考點2考點3考點4解析:(1)A錯誤,如圖1是由兩個相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體,它的各個面都是三角形,但它不是三棱錐;B錯誤,如圖2,若ABC不是直角三角形,或ABC是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊,所得的幾何體都不是圓錐;C正確,因為棱錐是一個面為多邊形,其余各面是有一個公共頂點的三角形,所以棱錐的各側(cè)棱相交于一點;由母線的概念知,選項D正確.故選CD.

6、(2)錯誤,只有這兩點的連線平行于軸時才是母線;正確;錯誤,棱臺的上、下底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形,各側(cè)棱延長線交于一點,但是側(cè)棱長不一定相等.故正確命題的個數(shù)是1.故選B.-15-考點1考點2考點3考點4思考辨別空間幾何體的方法有哪些?解題心得辨別空間幾何體的兩種方法-16-考點1考點2考點3考點4對點訓(xùn)練1(1)(2019北京四中模擬)下列命題正確的是()A.兩個面平行,其余各面都是梯形的多面體是棱臺B.兩個面平行且相似,其余各面都是梯形的多面體是棱臺C.直角梯形以一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺D.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形(2)設(shè)有四

7、個命題,其中真命題的個數(shù)是()有兩個平面互相平行,其余各面都是四邊形的多面體一定是棱柱;有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的多面體一定是棱錐;用一個面去截棱錐,底面與截面之間的部分叫棱臺;側(cè)面都是長方形的棱柱叫長方體.A.0B.1C.2D.3C A-17-考點1考點2考點3考點4解析:(1)如右圖所示,可排除A,B選項.對于D選項,只有截面與圓柱的母線平行或垂直時,截得的截面為矩形或圓,否則截面為橢圓或橢圓的一部分.故選C.(2)不滿足棱柱的定義,所以不正確;不滿足棱錐的定義,所以不正確;沒有說明兩個平面平行,不滿足棱臺的定義,所以不正確;沒有說明底面形狀,不滿足長方體的定義,所以不正確;正

8、確命題為0個,故選A.-18-考點1考點2考點3考點4空間幾何體的表面積例2(1)(2018全國1,5)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1,O2,過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為()(2)(2019山西運城康杰中學(xué)模擬)點A,B,C,D在同一球面上,AB=BC= ,ABC=90,若四面體ABCD體積最大值為3,則這個球的表面積為()A.2B.4C.8D.16B D-19-考點1考點2考點3考點4解析:(1)過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面為圓柱的軸截面,設(shè)底面半徑為r,母線長為l,因為軸截面是面積為8的正方形,所以 ,所以圓柱的表面積為2rl

9、+2r2=8+4=12.(2)由題意,知SABC=3,設(shè)ABC所在球的小圓的圓心為Q,則Q為AC的中點,當(dāng)DQ與面ABC垂直時,四面體ABCD的最大體積為 SABCDQ=3,DQ=3,如圖,設(shè)球心為O,半徑為R,則在RtAQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=( )2+(3-R)2,R=2,則這個球的表面積為S=422=16.故選D.-20-考點1考點2考點3考點4思考求幾何體的表面積的方法思路有哪些?解題心得求空間幾何體表面積的常見類型及思路-21-考點1考點2考點3考點4對點訓(xùn)練2(1)(2019貴州貴陽一中模擬)圓柱的底面積為S,側(cè)面展開圖是一個正方形,那么圓柱的側(cè)面積是 ()(2)(

10、2019廣東華南師大附中模擬)在梯形ABCD中,ABC= ,ADBC,BC=2AD=2AB=2.將梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為 ()AD-22-考點1考點2考點3考點4-23-考點1考點2考點3考點4空間幾何體的體積例3 (2019江西南康中學(xué)月考五)正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為()B 解析:如右圖所示,該幾何體為兩個全等的正四棱錐構(gòu)成,四棱錐底面四邊形面積為正方形面積的一半為2,高為正方體棱長的一半為1,-24-考點1考點2考點3考點4思考求解幾何體體積的常用方法有哪些?解題心得1.求幾何體的體積通常是直接利用公式求體積.

11、2.把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形,然后進(jìn)行體積計算;或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體,不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體,便于計算其體積.-25-考點1考點2考點3考點4對點訓(xùn)練3(2018天津,11)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則四棱錐A1-BB1D1D的體積為.-26-考點1考點2考點3考點4 與球有關(guān)的切、接問題(多考向)考向1棱柱的外接球問題例4(2019陜西寶雞中學(xué)模擬,15)已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面,各頂點都在同一球面上,若該棱柱的體積為 ,AB=2,AC=1,BAC=60,則此球的表面積等于.8-27-考點1考點2考點3考點4解題

12、心得求棱柱外接球的半徑,常利用球心到截面的距離d與球半徑R及截面的半徑r的關(guān)系式R2=r2+d2,這里棱柱的底面看作球的截面.-28-考點1考點2考點3考點4對點訓(xùn)練4一個六棱柱的底面是正六邊形,其側(cè)棱垂直于底面,已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上,且該六棱柱的體積為 ,底面周長為3,則這個球的體積為.-29-考點1考點2考點3考點4 考向2棱錐的外接球問題(多方法) 方法1補(bǔ)形法求球的半徑例5(2019全國1,理12)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,CEF=90,則球O的體積為()D-30-考點1考點2

13、考點3考點4-31-考點1考點2考點3考點4-32-考點1考點2考點3考點4思考若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,怎樣求其外接球的半徑?解題心得一般地,若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,且其長度分別為a,b,c,則就可以將這個三棱錐補(bǔ)成一個長方體,于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為R,則有-33-考點1考點2考點3考點4對點訓(xùn)練5(2019福建漳州質(zhì)檢二,15)已知正四面體A-BCD的外接球的體積為8 ,則這個四面體的表面積為.-34-考點1考點2考點3考點4 方法2體積法求球的半徑例6正四面體的棱長為a,則其內(nèi)切球和外接球的半徑是多少?解: 如圖所示,設(shè)點O是

14、內(nèi)切球的球心,正四面體棱長為a.由圖形的對稱性知,點O也是外接球的球心.設(shè)內(nèi)切球半徑為r,外接球半徑為R.-35-考點1考點2考點3考點4思考幾何體的內(nèi)切球和外接球的球心與幾何體有怎樣的關(guān)系?解題心得正四面體的內(nèi)切球及外接球的半徑及其求法1.內(nèi)切球的半徑是根據(jù)球心到各個面的距離相等把正四面體分解成四個正三棱錐,且正四面體的體積等于四個正三棱錐體積之和,從而求出球心到正四面體面的距離,即內(nèi)切球半徑.2.外接球的半徑是根據(jù)外接球的球心到正四面體的每一個頂點的距離是相等的,所以繼計算出內(nèi)切球半徑后,再將分解出來的小的四面體的棱長計算出來即可.3.內(nèi)切球與外接球半徑的聯(lián)系:內(nèi)切球半徑+外接球半徑=正四

15、面體的高.-36-考點1考點2考點3考點4對點訓(xùn)練6(2019山師附中考前模擬,14)在三棱錐P-ABC中,AB=5,BC=3,CA=4,三個側(cè)面與底面所成的角均為60,三棱錐的內(nèi)切球的表面積為.-37-考點1考點2考點3考點4 方法3確定球心位置例7(2019陜西咸陽一模,10)四面體ABCD的四個頂點都在球O的表面上,AB=2,BC=CD=1,BCD=90,AB平面BCD,則球O的表面積為()A.6B.5C.4D.3A-38-考點1考點2考點3考點4解析:由于AB平面BCD,故ABBD,ABCD,而CDBC,故CD平面ABC,所以CDAC,所以三角形ABD和三角形ACD為有公共斜邊的直角三

16、角形,設(shè)斜邊AD的中點為O,則有OA=OB=OC=OD,即O為外接球的球心,AD為球的直徑,AD2=BC2+CD2+AB2=6,所以球的表面積為AD2=6,故選A.-39-考點1考點2考點3考點4思考如何確定棱錐外接球的球心?解題心得球是中心對稱圖形和軸對稱圖形,球心與任意一個截面圓的圓心的連線垂直截面圓,經(jīng)常由此性質(zhì)來確實球的球心位置.-40-考點1考點2考點3考點4對點訓(xùn)練7(2019河北唐山一模,15)在四面體ABCD中,AB=BC=1,AC= ,且ADCD,該四面體外接球的表面積為.2 解析:如圖所示,由AB=BC=1,AC= ,得ABBC,所以ABC為直角三角形.AC的中點到點A,B

17、,C的距離相等且為AC長的一半,又ADCD,DAC也是直角三角形,AC的中點到點D的距離也是AC長的一半,所以AC的中點到四面體各頂點的距離都相等,所以其外接球的球心即為AC的中點.-41-考點1考點2考點3考點41.求柱體、錐體、臺體與球的表面積、體積的問題,要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點與平面幾何知識來解決.2.求三棱錐的體積時要注意三棱錐的每個面都可以作為底面.3.與球有關(guān)的組合體問題,一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時要認(rèn)真分析圖形,明確切點和接點的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并作出合適的截面圖.1.求組合體的表面積時,組合體的銜接部分的面積問題易出錯.2.易混側(cè)面積與表面積的概念.-42-例1(2019河北衡水中學(xué)四調(diào),10)如圖所示,某幾何體由底面半徑和高均為5的圓柱與半徑為5的半球面對接而成,該封閉幾何體內(nèi)部放入一個小圓柱體,且圓柱體的上下底面均與外層圓柱的底面平行,則小圓柱體積的最大值為()-43-答案:B小圓柱體積V=(5cos )2(5+5sin ),設(shè)sin =t,t(0,1),則V=125(-t3-t2+t+1),-44-例2(2019山東德州一模,12)在四面體ABCD中,若AD=DB=AC=CB=1,則四面體ABCD體積的最大值是 ()答案:A