3-6-線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析解析課件

1、第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法項 目內 容教 學 目 的理解穩(wěn)態(tài)及穩(wěn)態(tài)誤差的概念，掌握其計算方法和計算結果，進而熟悉減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施。 教 學 重 點穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)定義和典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，即表35 ；減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施。教 學 難 點廣義（動態(tài)）誤差的概念和廣義（動態(tài)）誤差系數(shù)的計算方法，各種補償措施。 講授技巧及注意事項表達式推導、圖形顯示和表格總結相輔相成。3-6 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析10/10/2022第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法項 目內 容教 學 目 的理解穩(wěn) 穩(wěn)定性、過渡過程性能(動態(tài)性能)和穩(wěn)態(tài)性能是我們分析系統(tǒng)、評價系統(tǒng)、改善系統(tǒng)時所用的三類重要衡量標準。

2、10/10/2022 穩(wěn)定性、過渡過程性能(動態(tài)性能)和穩(wěn)態(tài)性能是3-6 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 系統(tǒng)響應的穩(wěn)態(tài)分量(例如tts的輸出分量）反映了系統(tǒng)跟蹤給定控制信號或希望輸出信號的準確度或抑制擾動信號的恢復能力。通常用穩(wěn)態(tài)誤差來衡量。它與系統(tǒng)本身的結構、參數(shù)及外作用的形式有關，也與元件的不靈敏、零點漂移、老化及各種傳動機械的間隙、摩擦等因素有關。本書只討論由于系統(tǒng)結構、參數(shù)及外作用等因素所引起的穩(wěn)態(tài)誤差，即原理性誤差。 給定穩(wěn)態(tài)誤差（由給定輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差） 擾動穩(wěn)態(tài)誤差（由擾動輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差） 給定輸入量變化時，要求系統(tǒng)輸出量以一定的精度跟隨輸入量的變化，因而用給定穩(wěn)態(tài)誤差來衡量系統(tǒng)的穩(wěn)

3、態(tài)性能。給定輸入量不變時，需要分析輸出量在擾動作用下所受到的影響，因而用擾動穩(wěn)態(tài)誤差來衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。原理性誤差、給定穩(wěn)態(tài)誤差、擾動穩(wěn)態(tài)誤差。10/10/20223-6 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差原理性誤差、給定穩(wěn)態(tài)誤差、擾動穩(wěn)R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s) step(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,1,1.67,1),1),0:.01:35) step(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),1),0:.01:35) step(feedback(tf(1*0.0,1,conv(1,1,1.67,1),1),0:.01:35

4、)從圖形中體會誤差和穩(wěn)態(tài)誤差理想值10/10/2022R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s) step(輸入（理想值）K=5K=1K=0.3階躍響應階躍響應：穩(wěn)態(tài)誤差為零斜坡響應：穩(wěn)態(tài)誤差為常數(shù)t=0:.01:20;u=t;lsim(feedback(tf(5*0,1,conv(1,0,1.67,1),1),u,t)誤差從圖形中體會誤差和穩(wěn)態(tài)誤差10/10/2022輸入（理想值）K=5K=1K=0.3階躍響應階躍響應：穩(wěn)態(tài)誤 一、穩(wěn)態(tài)誤差的定義和基本概念 系統(tǒng)的誤差 e(t)的基本定義為輸出量的希望值與實際值之差。典型系統(tǒng)結構如圖所示，其誤差定義有兩種形式：（1）輸出端定義法：式中： 為

5、系統(tǒng)輸出量的希望值； C(t)為輸出量的實際值。（2）輸入端定義法： 式中： r(t)為給定輸入； b(t)為系統(tǒng)主反饋信號。 H（s）是測量裝置的傳遞函數(shù)（通常我們認為是理想的），故此時誤差就是給定輸入與測量裝置的輸出量之差。R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)圖 典型反饋系統(tǒng)結構圖1/H(s)-e(t)C(t)r(t)b(t)e(t)誤差的定義10/10/2022 一、穩(wěn)態(tài)誤差的定義和基本概念R(t)-B(s)E(s希望情況下偏差信號E(S)0， 則系統(tǒng)在輸入信號作用下的希望輸出為：對于擾動信號N(s)而言,希望的情況就是擾動信號引起的輸出為0（R=0，E=0）,即系統(tǒng)的希望輸出C

6、n(t)一點都不受擾動的影響?！跋Ｍ怠钡幕靖拍睿合Ｍ臓顟B(tài)總之：一10/10/2022希望情況下偏差信號E(S)0， 從系統(tǒng)輸出端定義的穩(wěn)態(tài)誤差，概念清晰，物理意義明確，也符合基本定義，但在實際系統(tǒng)中 無法測量，因而，一般只有數(shù)學意義。而從系統(tǒng)輸入端定義的穩(wěn)態(tài)誤差，它在系統(tǒng)中是可以測量的，因而具有實用性。對于單位反饋系統(tǒng)，要求輸出量C(t)的變化規(guī)律與給定輸入r(t)的變化規(guī)律一致，所以給定輸入r(t)也就是輸出量的希望值 ，即 。 此時，上述兩種定義統(tǒng)一為 e(t)= r(t) - c(t)說明一10/10/2022 從系統(tǒng)輸出端定義的穩(wěn)態(tài)誤差，概念清晰，物理意義對于非單位反饋系統(tǒng)，若設

7、定義1的誤差為 E(s),定義2的誤差為E(s)，則E(s)與E(s)的關系如下： 可見，兩種定義對非單位反饋系統(tǒng)是存在差異的，但兩種定義下的誤差之間具有確定的關系，即誤差E(s)可以直接或間接地由 E(s)來確定。從本質上看，它們都能反映控制系統(tǒng)的控制精度。在本書以后的討論中，將采用第二種誤差定義。 E(t)通常也稱為系統(tǒng)的誤差響應，它反映了系統(tǒng)在輸入信號和擾動信號作用下整個工作過程中的精度。誤差響應中也包含有瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量兩個部分，如果所研究的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么當時間t趨于無窮大時，瞬態(tài)分量趨近于零，剩下的只是穩(wěn)態(tài)分量。說明一10/10/2022對于非單位反饋系統(tǒng)，若設定義1的誤差為

8、E(s),定義2的穩(wěn)態(tài)誤差的定義：對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，以 表示?；竟阶⒁猓赫`差、誤差響應、穩(wěn)態(tài)分量、瞬態(tài)分量、穩(wěn)態(tài)誤差等概念注意：兩種誤差定義的統(tǒng)一性其關鍵在于反饋傳遞函數(shù)H(s)的確定性、可靠性、準確性。穩(wěn)態(tài)誤差的定義一10/10/2022穩(wěn)態(tài)誤差的定義：對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量稱為系統(tǒng)的R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s) step(feedback(tf(50*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),1),0:.01:35)C(t)=b(t)H(s)=1注意：誤差、誤差響應、穩(wěn)態(tài)分量、瞬態(tài)分量、動態(tài)誤差、穩(wěn)態(tài)誤差等概念單位反饋

9、情況：從圖形和公式中體會誤差和穩(wěn)態(tài)誤差一10/10/2022R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s) step(R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s) step(feedback(tf(50*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),2),0:.01:35)C(t)r(t)=1(t)H(s)=2非單位反饋情況：注意：誤差、誤差響應、穩(wěn)態(tài)分量、瞬態(tài)分量、動態(tài)誤差、穩(wěn)態(tài)誤差等概念從圖形和公式中體會誤差和穩(wěn)態(tài)誤差一10/10/2022R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s) step(注意：誤差、誤差響應、穩(wěn)態(tài)分量、瞬態(tài)分量、動態(tài)誤差、穩(wěn)態(tài)誤差等概念1.誤差： 或 一般意義；2.誤

10、差響應：包括輸入誤差和干擾誤差，也有具體誤差響應曲線的意思；3.穩(wěn)態(tài)分量：tts 的 全稱：誤差響應的穩(wěn)態(tài)分量；4.瞬態(tài)分量：tts后誤差響應的變化關系；6.穩(wěn)態(tài)誤差：7.心中一定要有開始給出的語言定義。一10/10/2022注意：誤差、誤差響應、穩(wěn)態(tài)分量、瞬態(tài)分量、動態(tài)誤差、穩(wěn)態(tài)誤差C(t)=b(t)R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)H(s)=1 step(feedback(tf(8*0.0,1,conv(1,1,conv(1.67,1,3,1),1),0:.01:135)從圖形和公式中體會誤差和穩(wěn)態(tài)誤差一10/10/2022C(t)=b(t)R(t)-B(s)E(s)N(s)+C

11、(s輸入K=5K=1K=0.3階躍響應階躍響應：零穩(wěn)態(tài)誤差斜坡響應：穩(wěn)態(tài)誤差為常數(shù)指令：t=0:.01:20;u=t;lsim(feedback(tf(5*0,1,conv(1,0,1.67,1),1),u,t)從圖形和公式中體會誤差和穩(wěn)態(tài)誤差一10/10/2022輸入K=5K=1K=0.3階躍響應階躍響應：零穩(wěn)態(tài)誤差斜坡響-1N(s)E(s)圖e 擾動單獨作用的誤差結構圖+C(s)B(s)E(s)R(s)-圖d 輸入單獨作用的誤差結構圖C(s)B(s)R(s)-B(s)C(s)圖b 輸入單獨作用的系統(tǒng)結構圖E(s)R(s)-B(s)+N(s)圖a 具有擾動輸入作用的系統(tǒng)結構圖C(s)E(s)

12、N(s)C(s)圖c 擾動單獨作用的系統(tǒng)結構圖+B(s)-1E(s)研究穩(wěn)態(tài)誤差的不同問題所使用的不同結構圖。一般形式特殊形式1特殊形式2特殊形式3特殊形式4注意：這種形式好用梅孫公式。一10/10/2022-1N(s)E(s)圖e 擾動單獨作用的誤差結構圖+C(二、輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 如果不計擾動輸入的影響，只求系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差。此時，系統(tǒng)的結構圖簡化為。E(s)R(s)B(s)G(s)H(s)C(s)給定輸入作用下系統(tǒng)結構圖-注意分析的方法和思路準備10/10/2022二、輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差E(s)R(s)B(s)G(s)H(由圖可知由誤差的定義可知式中稱為給定輸入作用下系統(tǒng)的誤差傳

13、遞函數(shù)。 應用拉氏變換的終值定理可以方便地求出計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差的基本公式。 想著梅遜公式基本公式E(s)R(s)-C(s)B(s)特殊形式3注意這里采用的是輸入側定義的方法。準備10/10/2022由圖可知想著梅遜公式基本公式E(s)R(s)-C(s)B(s 在給定輸入作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的結構、參數(shù)和輸入信號的形式有關，對于一個給定的系統(tǒng)，當給定輸入的形式確定后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差將取決于開環(huán)傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)結構。 分析穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結構的關系，關鍵是根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)個數(shù)所規(guī)定的控制系統(tǒng)類型。設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般形式為 準備10/10/2022 在

14、給定輸入作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的結構、參數(shù)和式中稱為系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)或開環(huán)增益（第二章中已經給出該公式）。開環(huán)傳遞函數(shù)的分類：以分母中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié) 個數(shù) 來定義開環(huán)傳遞函數(shù)的型。當 時，分別稱系統(tǒng)為0型、1型、2型系統(tǒng)。而G(s)H(s)中其它零、極點對分類沒有影響。 下面分析系統(tǒng)在不同典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。 開環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式：準備10/10/2022式中開環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式：準備10/9/2022基本公式小結：緊緊圍繞公式來研究。（1）（2）（3）（4）（5）準備10/10/2022基本公式小結：緊緊圍繞公式來研究。（1）（2）（3）（4）（令 稱 為穩(wěn)態(tài)位置誤差系

15、數(shù)。穩(wěn)態(tài)誤差可表示為 因此，在單位階躍輸入下，給定穩(wěn)態(tài)誤差決定于系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差。對于0型系統(tǒng)， 1、 單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 對于單位階躍輸入，R(s)=1/s,由式（5）求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為討論：注意方法和思路再用討論法定義式基本公式 基本公式 開始10/10/2022令 1、 單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差討論 對于1型系統(tǒng)（或高于1型的系統(tǒng)）， 可見，由于0型系統(tǒng)中沒有積分環(huán)節(jié)，它對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，誤差的大小與系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K成反比，K越大， 越小，只要K不是無窮大，系統(tǒng)總有誤差存在。 對實際系統(tǒng)來說，通常是允許存在穩(wěn)態(tài)誤差的，但不允許超過規(guī)定的指標（如5）。為了降低穩(wěn)態(tài)

16、誤差，可在穩(wěn)定條件允許的前提下，增大系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，若要求系統(tǒng)對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則必須選用1型或高于1型的系統(tǒng)。說明：10/10/2022 對于1型系統(tǒng)（或高于1型的系統(tǒng)），說明：10/9/2R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s) step(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,1,1.67,1),1),0:.01:35) step(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),1),0:.01:35) step(feedback(tf(1*0.0,1,conv(1,1,1.67,1),1),0:.01:35)從圖形中體會誤差和

17、穩(wěn)態(tài)誤差10/10/2022R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s) step(2、 單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 對于單位斜坡輸入 ，此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 令 稱為穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)。 于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為 因此，在單位斜坡輸入下，給定穩(wěn)態(tài)誤差決定于速度誤差系數(shù)。定義式基本公式 基本公式 10/10/20222、 單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差定義式基本公式 基本公式 10對于0型系統(tǒng)， 對于1型系統(tǒng)， 再用討論法10/10/2022對于0型系統(tǒng)， 再用討論法10/9/2022 對于2型系統(tǒng)（或高于2型的系統(tǒng)）， 上面的計算表明，在單位斜坡輸入作用下，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 ，而1型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一

18、定值，且誤差與開環(huán)放大系數(shù)成反比。為了使穩(wěn)態(tài)誤差不超過規(guī)定值，可以增大系統(tǒng)的K值。2型或高于2型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差總為零。因此，對于單位斜坡輸入，要使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值或為零，必需 ，也即系統(tǒng)必須有足夠積分環(huán)節(jié)。說明：10/10/2022 對于2型系統(tǒng)（或高于2型的系統(tǒng)），說明：10/9/2022輸入K=5K=1K=0.3階躍響應階躍響應：零穩(wěn)態(tài)誤差斜坡響應：穩(wěn)態(tài)誤差為常數(shù)指令：t=0:.01:20;u=t;lsim(feedback(tf(5*0,1,conv(1,0,1.67,1),1),u,t)10/10/2022輸入K=5K=1K=0.3階躍響應階躍響應：零穩(wěn)態(tài)誤差斜坡響3、單位拋物線

19、輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 對于單位拋物線輸入 ，此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 令 稱 為穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)。于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為 對于0型系統(tǒng)，于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為定義式基本公式 基本公式 10/10/20223、單位拋物線輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差定義式基本公式 基本公式 10對于1型系統(tǒng)，對于2型系統(tǒng)， 10/10/2022對于1型系統(tǒng)，10/9/2022對于3型系統(tǒng)（或高于3型的系統(tǒng)）， 以上計算表明，在單位拋物線輸入作用下，0型和1型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 ，2型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，且誤差與開環(huán)放大系數(shù)成反比。對3型或高于3型的系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差為零。但是，此時要使系統(tǒng)穩(wěn)定則比較困難。 說明：10/10/2022對

20、于3型系統(tǒng)（或高于3型的系統(tǒng)），說明：10/9/2022 t=0:.01:300; u=1/2*t.2;lsim(feedback(tf(0.001*conv(10,1,25,1),conv(1,0,conv(1,0,15,1),1),u,t) K=0.001,0.0005,0.0002誤差10/10/2022 t=0:.01:300;誤差10/9/2022 t=0:.01:100; u=1/2*t.2;lsim(feedback(tf(0.14*conv(8,1,4,1),conv(1,0,conv(1,0,6,1),1),u,t)K=0.14,0.04,0.0094誤差10/10/2022

21、 t=0:.01:100;誤差10/9/2022 在各種典型輸入信號作用下，不同類型系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差如表3-1所示。III系統(tǒng)類別靜態(tài)誤差系數(shù)階躍輸入斜坡輸入r(t)=R t加速度輸入III表3-1 輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差小結：10/10/2022 在各種典型輸入信號作用下，不同類型系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差 1.注意使用線性疊加原理。即給定輸入信號增加多少倍，則穩(wěn)態(tài)誤差也增加相同的倍數(shù)；若給定輸入信號是上述典型信號的線性組合，則系統(tǒng)相應的穩(wěn)態(tài)誤差就由疊加原理求出。例如，若輸入信號為則系統(tǒng)的總穩(wěn)態(tài)誤差為 2.穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù) 、 、和 描述了系統(tǒng)對減小和消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力，因此，它們是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性的一

22、種表示方法，可以理解為穩(wěn)態(tài)性能指標。提高開環(huán)放大系數(shù) K或增加開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)數(shù)，都可以達到減小或消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的目的。但是，這兩種方法都受到系統(tǒng)穩(wěn)定性的限制。因此，對于系統(tǒng)的準確性和穩(wěn)定性必須統(tǒng)籌兼顧、全面衡量。說明：可以作為基本公式。10/10/2022 1.注意使用線性疊加原理。即給定輸入信號增加多3.由以上討論可知，當 時，系統(tǒng)相對 的穩(wěn)態(tài)誤差為零，當 時，系統(tǒng)相對的穩(wěn)態(tài)誤差為零；當 時，系統(tǒng)相對的穩(wěn)態(tài)誤差為零。因此，當開環(huán)系統(tǒng)含有 個串聯(lián)積分環(huán)節(jié)時，稱系統(tǒng)對給定輸入 r(t)是 階無差系統(tǒng)，而 稱為系統(tǒng)的無差度。例1 設圖示系統(tǒng)的輸入信號r(t)=10+5t， 試分析系統(tǒng)的

23、穩(wěn)定性并求出其穩(wěn)態(tài)誤差。 解 由圖求得系統(tǒng)的特征方程為R(s)-C(s)例1圖 系統(tǒng)結構圖1.先判穩(wěn)10/10/20223.由以上討論可知，當 時，系統(tǒng)相對 由特征方程列勞斯表 2 1+0.5K 3 K要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須 K 0 , 1+0.5K 0 , 3(1+0.5K)2K 0解得 K 0，K-2，K 6所以，當0 K6時，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。（2）求穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)（3）求穩(wěn)態(tài)誤差3.說明：10/10/2022（2）求穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)（3）求穩(wěn)態(tài)誤差3.說明：10/9/20 rt,info=routhtf(tf(6*0.5,1,conv(1,0,conv(1,1,2,1)rt =2 4 3 6 6 0

24、 6 0info =All elements in row 3 are zeros; syms t r=10+t; kpva,es=ess(tf(6*0.5,1,conv(1,0,conv(1,1,2,1),r)kpva = inf, 6, 0 es =5/6解法2：MATLAB輔助法10/10/2022 rt,info=routhtf(tf(6*0.5t=0:.01:50;r=10+t;lsim(feedback(tf(2*0.5,1,conv(1,0,conv(1,1,2,1),1),r,t);k=6,2,0.5,0.2,0.1,0.051;可視化誤差10/10/2022t=0:.01:5

25、0;可視化誤差10/9/2022三、擾動穩(wěn)態(tài)誤差 控制系統(tǒng)除了受到給定輸入的作用外，通常還受到擾動輸入的作用。系統(tǒng)在擾動輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差的大小，反映了系統(tǒng)的抗干擾能力。 N(s)C(s)圖c 擾動單獨作用的系統(tǒng)結構圖+B(s)-1E(s)-1N(s)E(s)圖e 擾動單獨作用的誤差結構圖+C(s)B(s)R(s)-B(s)+N(s)圖a 擾動輸入作用下系統(tǒng)結構圖C(s)化成便于觀察的形式R(s)=010/10/2022三、擾動穩(wěn)態(tài)誤差 N(s)C(s)圖c 擾動單獨作用的系統(tǒng) 擾動輸入可以作用在系統(tǒng)的不同位置，因此，即使系統(tǒng)對于某種形式的給定輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，但對同一形式的擾動輸入其穩(wěn)態(tài)

26、誤差則不一定為零。下面根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，以圖3-25所示系統(tǒng)來討論由擾動輸入所產生的穩(wěn)態(tài)誤差。按照前面給出的誤差信號的定義可得擾動輸入引起的誤差為而此時系統(tǒng)的輸出為想著梅孫公式N(s)C(s)圖c 擾動單獨作用的系統(tǒng)結構圖+B(s)-1E(s)10/10/2022 擾動輸入可以作用在系統(tǒng)的不同位置，因此，即使系統(tǒng)對于式中稱為擾動輸入作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。此時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為所以可以比照著給定輸入情況的討論對擾動輸入進行同樣的討論。-1N(s)E(s)+C(s)B(s)10/10/2022式中所以可以比照著給定輸入情況的討論對擾動輸入進行同樣的討論例2 設控制系統(tǒng)如圖3-26所示，其

27、中給定輸入 ，擾動輸入（ 和 均為常數(shù) ），試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。10/10/2022例2 設控制系統(tǒng)如圖3-26所示，其中10/9/2022解 當系統(tǒng)同時受到給定輸入和擾動輸入的作用 時，其穩(wěn)定誤差為給定穩(wěn)態(tài)誤差和擾動穩(wěn)態(tài)誤差的疊加。令n(t)=0時，求得給定輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為所以給定穩(wěn)態(tài)誤差為R(s)-+N(s)圖3-26 例2系統(tǒng)結構圖C(s)10/10/2022解 當系統(tǒng)同時受到給定輸入和擾動輸入的作用 令r(t)=0時，求得擾動輸入作用下的誤差傳遞 函數(shù)為 所以擾動穩(wěn)態(tài)誤差為 由上式計算可以看出，r(t)和n(t)同是階躍信號，由于在系統(tǒng)中的作用點不同，故它們產生的穩(wěn)態(tài)誤差也不

28、相同。此外，由擾動穩(wěn)態(tài)誤差的表達式可見，提高系統(tǒng)前向通道中擾動信號作用點之前的環(huán)節(jié)G1(s)的放大系數(shù)（即 ），可以減小系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差。該系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為10/10/2022 令r(t)=0時，求得擾動輸入作用下的誤差傳遞 函為了分析系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)對穩(wěn)態(tài)誤差的影響，我們假設圖3-26中 給定輸入和擾動輸入保持不變。這時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可按上述相同的方法求出，即 10/10/2022為了分析系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)對穩(wěn)態(tài)誤差的影響，我們假設圖3- 系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為 比較以上兩次計算的結果可以看出，若要消除系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差，則系統(tǒng)前向通道中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)都起作用。若要消除系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)

29、誤差，則在系統(tǒng)前向通道中只有擾動輸入作用點之前G1(s)的積分環(huán)節(jié)才起作用。因此，若要消除由給定輸入和擾動輸入同時作用于系統(tǒng)所產生的穩(wěn)態(tài)誤差，則串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)應集中在前向通道中擾動輸入作用點之前(即G1(s)中） 。 10/10/2022 系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為10/9/2022誤差分析1 誤差定義G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)B(s)輸入端定義：E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)H(s)1R(s)輸出端定義：E(s)=C希-C實= -C(s)R(s)H(s)G(s)R(s)E(s)C(s)C(s)E(s)=R(s)-C(s)

30、G1(s)H(s)R(s)C(s)G2(s)N(s)En(s)=C希-C實= Cn(s)總誤差怎么求？10/10/2022誤差分析1 誤差定義G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)2 例題求圖示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess 。 2R(s)C(s)N(s)0.2s+11s(s+1)2其中 r(t)=t, n(t)= -1(t)解：令n(t)=0,Er(s)= -C(s)R(s)H(s)=s(s+1)(0.2s+1)+40.5s(s+1)(0.2s+1)s2.1因為系統(tǒng)穩(wěn)定，所以essr=limsEr(s)=s0令r(t)=0,En(s)= -Cn(s) =s(s+1)(0.2s+1)+4 2(0.2s

31、+1)s.1essn=limsEn(s)=21s0總誤差ess=essr+ essness=8121+85=8110/10/20222 例題求圖示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess 。 2R(s)C(s)設開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)=k (is+1)i =1 ms (Tjs+1) j=1n -G0H03 系統(tǒng)型別注意：s 0時，G0H0一定1此時的k為開環(huán)增益s表示開環(huán)有個極點在坐標原點=0稱為0型系統(tǒng)稱為型系統(tǒng)稱為型系統(tǒng)稱為型系統(tǒng)=1=2=310/10/2022設開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)=k (is+1)i = 對于非單位反饋系統(tǒng)，當H（s）為常數(shù)時，以上分析的有關結論同樣適用。前面定義了相對于給定

32、輸入的無差度，同樣也可以定義相對于擾動輸入的無差度。當系統(tǒng)的 中含有 個串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)時稱系統(tǒng)相對于擾動輸入是 階無差系統(tǒng)，而 稱為系統(tǒng)相對于擾動輸入的無差度。對本例中的前一種情況，系統(tǒng)對擾動輸入的無差度為0，而后一種情況，系統(tǒng)對擾動的無差度是1。顯然，當談及一個系統(tǒng)的無差度時應指明系統(tǒng)對哪一種輸入作用而言，否則，可能會得出錯誤的結論。10/10/2022 對于非單位反饋系統(tǒng)，當H（s）為常數(shù)時，以上分析的有四、減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的方法 前面的討論表明，為了減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，可以增加開環(huán)傳遞函數(shù)中的串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目或提高系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。但是，串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)一般不超過2，而開環(huán)放大系數(shù)也

33、不能任意增大，否則系統(tǒng)將可能不穩(wěn)定。為了進一步減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，還可以采用加前饋控制的復合控制方法，即從給定輸入或擾動輸入處引出一個前饋控制量（擾動必須是可以測量的），加到系統(tǒng)中去，通過適當選擇補償裝置和作用點，就可以達到減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的目的。10/10/2022四、減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的方法 前面的討論表明，為了減小在下圖所示系統(tǒng)中，為了消除由r(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可在原反饋控制的基礎上，從給定輸入處引出前饋量經補償裝置 加到系統(tǒng)控制量中。此時系統(tǒng)誤差信號的拉氏變換式為經整理得 顯然，如果選擇補償裝置的傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差為零。 R(s)E(s)C(s)-+ 按給定輸入補償?shù)膹?/p>

34、合控制注意：用梅遜公式可以直接寫出傳遞函數(shù)10/10/2022在下圖所示系統(tǒng)中，為了消除由r(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可在原反 在下圖所示系統(tǒng)中，為了消除由n(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可在原反饋控制的基礎上，從擾動輸入引出前饋量經補償裝置 加到系統(tǒng)中，若設r(t)=0，則系統(tǒng)的輸出-C(s)就是系統(tǒng)的誤差信號。系統(tǒng)輸出的拉氏變換式為經整理得 顯然，如果選擇補償裝置的傳遞函數(shù)為 R(s)N(s)E(s)-+C(s)A圖3-28 按擾動輸入補償?shù)膹秃峡刂铺釂枺篍(s)應該放在a還是b處？為什么？a b要用好直接使用梅遜公式得到傳遞函數(shù)和輸出表達式的基本功。10/10/2022 在下圖所示系統(tǒng)中，為了消除由

35、n(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差，則可使輸出不受擾動n(t)的影響，故系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差為零。 從直觀上看，當滿足 時，擾動信號經兩條通道到達A點，兩個分支信號正好大小相等，符號相反，因而實現(xiàn)了對擾動的全補償。由于物理上可實現(xiàn)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)總是滿足分母的階次大于或等于其分子的階次，要求構造出分子的階次大于或等于其分母階次的補償裝置，這通常是不可能的。此外，由于傳遞函數(shù)的元件參數(shù)隨著時間的推移也會發(fā)生變化，這就使得全補償條件不可能成立。所以，實際上只能實現(xiàn)近似補償?？梢宰C明（有條件），前饋控制加入前后，系統(tǒng)的特征方程保持不變（前邊的傳遞函數(shù)可直接看出），因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性將不會發(fā)生變化。10/10/202

36、2則可使輸出不受擾動n(t)的影響，故系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差為零。五、動態(tài)誤差及動態(tài)誤差系數(shù)方法 前面研究的穩(wěn)態(tài)誤差主要討論的是典型輸入信號下的穩(wěn)態(tài)誤差，對于部分非典型信號（如正弦信號）下，求穩(wěn)態(tài)誤差的極限計算方法可能不能用。另外，我們可能還需要了解輸出響應在進入穩(wěn)態(tài)（tts)后變化的規(guī)律如何。這些問題用前面介紹的方法都不方便。因此，下面再介紹一種適應范圍更廣泛的方法：動態(tài)誤差系數(shù)法（又稱廣義誤差系數(shù)法）。（以給定穩(wěn)態(tài)誤差為例）根據(jù)定義誤差信號的拉氏變換式為：將誤差傳遞函數(shù)e（s）在s=0的鄰域內展開成泰勒級數(shù)，得10/10/2022五、動態(tài)誤差及動態(tài)誤差系數(shù)方法 前面研究的穩(wěn)態(tài)誤差得誤差信號拉氏

37、變換的一般表達式為：在零初始條件下，對上述級數(shù)求拉氏反變換，得穩(wěn)態(tài)誤差隨時間變化得函數(shù)關系如下：定義為動態(tài)誤差系數(shù)。10/10/2022得誤差信號拉氏變換的一般表達式為：在零初始條件下，對上述級數(shù) 特別稱C0為動態(tài)位置誤差系數(shù)； C1為動態(tài)速度誤差系數(shù)； C2為動態(tài)加速度誤差系數(shù)。說明：“動態(tài)”二字的含意是指這種方法可以完整描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差ess(t)隨時間變化的規(guī)律，而不是指誤差信號中的瞬態(tài)分量變化的情況。因為上邊的誤差計算式只是在時間趨于無窮時才成立。如果輸入信號r(t)中包含有隨時間增長而趨于零的分量，則這一輸入分量不應包含在誤差級數(shù)中的輸入信號及其各階導數(shù)之內。10/10/2022 特

38、別稱C0為動態(tài)位置誤差系數(shù)；說明：10/9/2022動態(tài)誤差系數(shù)的計算方法：1.多項式除法：1）將分子多項式和分母多項式分別按升冪排列；2）用多項式除法逐項求出C0,C1,C2,2.泰勒公式直接求取法：利用定義式逐個計算。3.MATLAB輔助計算法：使用函數(shù)：taylor,taylortool.cof,fn,E=trerror(tfge,r,n),(動態(tài)誤差及動態(tài)誤差系數(shù)計算）kpva,Ess=ess(tf,r)。（典型信號及其組合的穩(wěn)態(tài)誤差）10/10/2022動態(tài)誤差系數(shù)的計算方法：10/9/2022例：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)一：系統(tǒng)二：求動態(tài)誤差系數(shù)。解：根據(jù)公式得：10

39、/10/2022例：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)一：系統(tǒng)二：求動態(tài)用長除法系統(tǒng)一：系統(tǒng)一動態(tài)誤差系數(shù)：C10=0C11=0.1C12=0.09C13=-0.01910/10/2022用長除法系統(tǒng)一：系統(tǒng)一動態(tài)誤差系數(shù)：C10=010/9/20用長除法系統(tǒng)二：系統(tǒng)二動態(tài)誤差系數(shù)：C20=0C21=0.1C22=0. 19C23=-0.03910/10/2022用長除法系統(tǒng)二：系統(tǒng)二動態(tài)誤差系數(shù)：C20=010/9/20tfge=tf(1,1,0,1,1,10)r=1cof,fn,E=trerror(tfge,r,5)用MATLAB法:10/10/2022tfge=tf(1,1,0,1,

40、1,10)用MATLTransfer function: s2 + s-s2 + s + 10 r = 1cof = 0 0.1000 0.0900 -0.0190 -0.0071fn =1/10*s+9/100*s2-19/1000*s3-71/10000*s4 E =1/10*Dirac(t)+9/100*Dirac(1,t)-19/1000*Dirac(2,t)-71/10000*Dirac(3,t) 結果：10/10/2022Transfer function:結果：10/9/2022穩(wěn)態(tài)誤差小結：1.公式小結（1）（2）（3）（4）（5）（1）基本公式給定輸入單獨作用時10/10/2

41、022穩(wěn)態(tài)誤差小結：（1）（2）（3）（4）（5）（1）基本公式給擾動單獨作用時給定輸入和擾動共同作用時（6）（7）（8）（9）（10）（11）10/10/2022擾動單獨作用時給定輸入和擾動共同作用時（6）（7）（8）（9III系統(tǒng)類別靜態(tài)誤差系數(shù)階躍輸入斜坡輸入r(t)=R t加速度輸入III表3-1 輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差（2）導出公式10/10/2022III系統(tǒng)類別靜態(tài)誤差系數(shù)階躍輸入斜坡輸入r(t)=R t加2.方法小結：根據(jù)基本公式和各種典型輸入型號進行討論。3.消除穩(wěn)態(tài)誤差的方法小結：（1）重點集中在前向通路最前端的傳遞函數(shù)中（如G1(s)中）。措施：a.增加穩(wěn)態(tài)增益；b.增

42、加積分環(huán)節(jié)的個數(shù)；（2）使用給定前饋補償和擾動前饋補償近似消除部分已知和可測信號造成的穩(wěn)態(tài)誤差。10/10/20222.方法小結：根據(jù)基本公式和各種典型輸入型號進行討論。3.消4.穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法(1).拉氏變換的終值定理 當輸入信號為 時,可用終值定理計算靜態(tài)誤差,諧波(正弦,余弦)輸入時不能應用此定理。(2).根據(jù)誤差定義求穩(wěn)態(tài)誤差的方法 a.求誤差響應傳遞函數(shù)10/10/20224.穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法10/9/2022b.誤差響應的象函數(shù)c.誤差響應的原函數(shù)d.求極值 即為穩(wěn)態(tài)誤差。 如系統(tǒng)同時存在輸入信號和擾動信號,則系統(tǒng)誤差的求法如下：R(s)N(s)E(s)+10/10/2022

43、b.誤差響應的象函數(shù)R(s)N(s)E(s)+10/9/2 為系統(tǒng)對輸入信號的誤差傳遞函數(shù), 為系統(tǒng)對擾動信號的誤差傳遞函數(shù)。 則: 10/10/2022 為系統(tǒng)對輸入信號的誤差傳遞函數(shù),10/作業(yè)：3-15，3-1610/10/2022作業(yè)：3-15，3-1610/9/2022例:已知系統(tǒng)的結構圖如下,試求系統(tǒng)在輸入信號r(t)=t和擾動信號n(t)=-1(t)同時作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess舉例：2n(t)=-1(t)r(t)=tE(s)-C(s)10/10/2022例:已知系統(tǒng)的結構圖如下,試求系統(tǒng)在輸入信號r(t)=t和擾解:理想情況偏差信號E(S)0， 則系統(tǒng)在輸入信號作用下的希望輸出

44、為：2n(t)=-1(t)r(t)=tE(s)-C(s)注意：這里又是一種有意義的推導方法，即按輸出定義的誤差進行推導的方法10/10/2022解:理想情況偏差信號E(S)0， 對于擾動信號N(s)而言,理想的情況就是擾動信號引起的輸出為0,即希望系統(tǒng)的輸出一點都不受擾動的影響。 系統(tǒng)在輸入信號和擾動信號作用下的實際輸出為:G1(s)N(s)R(s)E(s)-C(s)H(s)G2(s)10/10/2022 對于擾動信號N(s)而言,理想的情況就是擾動信號引起則R(s)和N(s)引起的系統(tǒng)誤差為:用梅遜公式理解10/10/2022則R(s)和N(s)引起的系統(tǒng)誤差為:用梅遜公式理解10/9 在本題中,首先要判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,如果系統(tǒng)不穩(wěn)定,不可能存在穩(wěn)態(tài)誤差。特征方程為:10/10/2022 在本題中,首先要判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,如果系統(tǒng)不穩(wěn)定,不即:所以系統(tǒng)穩(wěn)定。根據(jù)推導出的公式:根據(jù)胡爾維茨判據(jù)10/10/2022即:根據(jù)胡爾維茨判據(jù)10/9/2022 系統(tǒng)的誤差與系統(tǒng)的結構有關,還與外作用(輸入信號,