專題基本不等式常見(jiàn)題型歸納(學(xué)生版)文檔

1、專題：基本不等式基本不等式求最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等號(hào)三個(gè)不等式關(guān)系：（1）a，bR，a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)（2）a，bR，ab2（3）a，bR，a2b2ab)2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)(22上述三個(gè)不等關(guān)系揭穿了a2b2，ab，ab三者間的不等關(guān)系ab其中，基本不等式及其變形：a，bR，ab2ab(或ab(2)2)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)和為定值時(shí)，可求積的最值；當(dāng)積為定值是，可求和的最值【題型一】利用湊合法構(gòu)造不等關(guān)系【典例1】已知ab1且2logab3logba7，則a1的最小值為.21b練習(xí)：1若實(shí)數(shù)x,y滿足xy0，且lo

2、g2xlog2y1，則x2y2x的最小值為y2.若實(shí)數(shù)x,y滿足xy3x3(0 x1)，則31的最小值為xy233.已知a0,b0,c2，且ab2，則accc5的最小值為.bab2c2【典例2】已知x，y為正實(shí)數(shù)，則4xy的最大值為4xyxy【典例3】若正數(shù)a、b滿足abab3,則ab的最小值為_(kāi).變式：1.若a,bR,且滿足a2b2ab,則ab的最大值為_(kāi).2.設(shè)x0,y0，x2y2xy8，則x2y的最小值為_(kāi)3.設(shè)x,yR，4x2y2xy1，則2xy的最大值為_(kāi)194.已知正數(shù)a，b滿足ab5，則ab的最小值為ab第1頁(yè)共9頁(yè)【題型二】含條件的最值求法【典例4】已知正數(shù)x,y滿足x41y1

3、，則的最小值為x2y1練習(xí)1已知正數(shù)x,y滿足111，則4x9y的最小值為.xyx1y12.已知正數(shù)x,y滿足x2y2，則x8y的最小值為xy3已知函數(shù)yaxb(b0)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,3)，以以下圖所示，則41的最小值為.a1b4己知a，b為正數(shù)，且直線axby60與直線2x(b3)y50互相平行，則2a+3b的最小值為_(kāi)5.常數(shù)a，b和正變量a2b1.若x2y的最小值為bx，y滿足ab16，64，則a_.xy26.a,b121，則ab的最大值為滿足已知正實(shí)數(shù)2baa2abb第2頁(yè)共9頁(yè)【題型三】代入消元法【典例5】（蘇州市2016屆高三調(diào)研測(cè)試14）已知ab1，a,b(0,1)，則12的

4、41a1b最小值為練習(xí)1設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足x22xy10，則x2y2的最小值是第3頁(yè)共9頁(yè)2已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則x+y的最小值為3已知正實(shí)數(shù)x,y滿足(x1)(y1)16，則xy的最小值為4.若a0,b2，且ab41獲取最小值的實(shí)數(shù)a=。3，則使得b2a5.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x22xy10，則xy的取值范圍是_6.已知x,y,zR，且xyz1，x2y2z23，求xyz的最大值為_(kāi)第4頁(yè)共9頁(yè)【題型四】換元法【典例6】已知函數(shù)f(x)ax2xb(a，b均為正數(shù))，不等式f(x)0的解集記為P，會(huì)集Q11x|2tx2t若對(duì)于任意正數(shù)t，PQ，則ab的最大值是2已知正數(shù)a，b，c滿足b+ca，則+的

5、最小值為練習(xí)1若實(shí)數(shù)x，y滿足2x2xyy21，則x2y的最大值為5x22xy2y2x2y22設(shè)x,y是正實(shí)數(shù),且xy1,則的最小值是_.x2y13.若實(shí)數(shù)x，y滿足2x2xyy21，則2x2y2的最大值為25x2xy2y44若實(shí)數(shù)滿足第5頁(yè)共9頁(yè)，當(dāng)獲取最大值時(shí)，的值為.第6頁(yè)共9頁(yè)【題型五】鑒識(shí)式法【典例7】已知正實(shí)數(shù)24x，y滿足x3y10，則xy的取值范圍為xy練習(xí)1.若正實(shí)數(shù)滿足第7頁(yè)共9頁(yè)，則的最大值為2.設(shè)x,yR，3x2y2xy1，則2xy的最大值為_(kāi)變式1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)A(1，0)，B(0，1)，C(a，b)，D(c，d)，若不等式uuur2uuuruuuru

6、uuruuuruuuruurCD(m2)OCODm(OCOB)(ODOA)對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，d都成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有鑒識(shí)式法、分別參數(shù)法、換主元法鑒識(shí)式法：將所求問(wèn)題可轉(zhuǎn)變成二次不等式，則可考慮應(yīng)用鑒識(shí)式法解題。一般地，對(duì)于二次函數(shù)第8頁(yè)共9頁(yè)f(x)ax2bxc(a0,xR),有1）f(x)0對(duì)xa02）f(x)0對(duì)xa0R恒成立R恒成立.00分別變量法：若所給的不等式能經(jīng)過(guò)恒等變形使參數(shù)與主元分別于不等式兩端，進(jìn)而問(wèn)題轉(zhuǎn)變成求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法實(shí)質(zhì)也還是求最值。一般地有：1）2）f(x)g(a)(a為參數(shù)）恒成立g(a)f(x)maxf(x)g(a)(a為參數(shù)）恒成立g(a)f(x)max確定主元法：若是把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數(shù)，則可簡(jiǎn)化解題過(guò)程。2設(shè)二次函數(shù)fxax2bxc（a,b,c為常數(shù)）的導(dǎo)函數(shù)為fx對(duì)任意xR，不等式fxfx恒成立，則a2b2c2的最大值為【題型六】分別參數(shù)法【典例8】已知x0，y0，若不等式x3+y3kxy（x+y）恒成立，則實(shí)