2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(安徽卷)理

1、安徽理科本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分,第卷第1至第2頁,第卷第3至第4頁.全卷滿分150分,考試時間120分鐘.考生注意事項:1.答題前,務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、座位號,并認(rèn)真核對答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號與本人姓名、座位號是否一致.務(wù)必在答題卡背面規(guī)定的地方填寫姓名和座位號后兩位.2.答第卷時,每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號.3.答第卷時,必須使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫,要求字體工整、筆跡清晰.作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出,確認(rèn)后再用0.5

2、毫米的黑色墨水簽字筆描清楚.必須在題號所指示的答題區(qū)域作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效,在試題卷、草稿紙上答題無效.4.考試結(jié)束,務(wù)必將試題卷和答題卡一并上交.參考公式:如果事件A與B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A與B相互獨立,那么P(AB)=P(A)P(B)第卷(選擇題共50分)一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2013安徽,理1)設(shè)i是虛數(shù)單位,z是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù).若zzi+2=2z,則z=(). A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案:A解析:設(shè)z=a+bi(a,bR),則由zz

3、i+2=2z得(a+bi)(a-bi)i+2=2(a+bi),即(a2+b2)i+2=2a+2bi,所以2a=2,a2+b2=2b,所以a=1,b=1,即z=a+bi=1+i.2.(2013安徽,理2)如圖所示,程序框圖(算法流程圖)的輸出結(jié)果是().A.16B.2524C.34答案:D解析:開始28,s=0+12=12,n=2+返回,48,s=12+14=34,返回,68,s=34+16=1112,返回,80as6.(2013安徽,理6)已知一元二次不等式f(x)0的解集為xx12,則f(10A.x|x-lg 2B.x|-1x-lg 2D.x|x-lg 2答案:D解析:由題意知-110 x1

4、2所以xlg 12=-lg 2,故選D7.(2013安徽,理7)在極坐標(biāo)系中,圓=2cos 的垂直于極軸的兩條切線方程分別為().A.=0(R)和cos =2B.=2(R)和cos =C.=2(R)和cos =D.=0(R)和cos =1答案:B解析:由題意可知,圓=2cos 可化為普通方程為(x-1)2+y2=1.所以圓的垂直于x軸的兩條切線方程分別為x=0和x=2,再將兩條切線方程化為極坐標(biāo)方程分別為=2(R)和cos =2,故選B8.(2013安徽,理8)函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,在區(qū)間a,b上可找到n(n2)個不同的數(shù)x1,x2,xn,使得f(x1)x1=f(xA.3,4B.2,

5、3,4C.3,4,5D.2,3答案:B解析:f(x1)x1=f(x2)x2=f(xn)xn可化為如圖所示,由數(shù)形結(jié)合知識可得,為n=2,為n=3,為n=4.9.(2013安徽,理9)在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點,兩定點A,B滿足|OA|=|OB|=OAOB=2,則點集P|OP=OA+OB,|+|1,R所表示的區(qū)域的面積是(A.22B.23C.42D.43答案:D解析:以O(shè)A,OB為鄰邊作一個平行四邊形,將其放置在如圖平面直角坐標(biāo)系中,使A,B兩點關(guān)于x軸對稱,由已知|OA|=|OB|=OAOB=2,可得出AOB=60,點A(3,1),點B(3,-1),點D(23,0現(xiàn)設(shè)P(x,y),則由O

6、P=OA+OB得(x,y)=(3,1)+(3,-1),即3由于|+|1,R,可得-3x3,-1y1,畫出動點P(x,10.(2013安徽,理10)若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有極值點x1,x2,且f(x1)=x1,則關(guān)于x的方程3(f(x)2+2af(x)+b=0的不同實根個數(shù)是().A.3B.4C.5D.6答案:A解析:由f(x)=3x2+2ax+b=0得,x=x1或x=x2,即3(f(x)2+2af(x)+b=0的根為f(x)=x1或f(x)=x2的解.如圖所示,x1x2x2x1由圖象可知f(x)=x1有2個解,f(x)=x2有1個解,因此3(f(x)2+2af(x)+b=0的不

7、同實根個數(shù)為3.第卷(非選擇題共100分)考生注意事項:請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答,在試題卷上答題無效.二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.11.(2013安徽,理11)若x+a3x8的展開式中x4的系數(shù)為7答案:1解析:x+a3x8的通項為C8rx8=C8rarx8-rx-r8-r-r3=4,解得r=3C83a3=7,得a=12.(2013安徽,理12)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,則角C=.答案:23解析:3sin A=5sin B,3a=5b.又b+c=2a,由可得

8、,a=53b,c=73cos C=b2+a2-c2213.(2013安徽,理13)已知直線y=a交拋物線y=x2于A,B兩點.若該拋物線上存在點C,使得ACB為直角,則a的取值范圍為.答案:1,+)解析:如圖,設(shè)C(x0,x02)(x02a),A(-a,a),B(則CA=(-a-x0,a-x02),CB=(a-x0,a-xCACB,CACB=0,即-(a-x02)+(a-x02)2=0,(a-x02)(-1+a-x02)=0,x0214.(2013安徽,理14)如圖,互不相同的點A1,A2,An,和B1,B2,Bn,分別在角O的兩條邊上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1

9、的面積均相等.設(shè)OAn=an.若a1=1,a2=2,則數(shù)列an的通項公式是.答案:an=3解析:設(shè)SOa1=1,a2=2,OAn=an,OA1=1,OA2=2.又易知OA1B1OA2B2,SS梯形A1B1B所有梯形AnBnBn+1An+1的面積均相等,且OA1B1OAnBn,OA1OAn=SOA15.(2013安徽,理15)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,P為BC的中點,Q為線段CC1上的動點,過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是(寫出所有正確命題的編號).當(dāng)0CQ12時,S當(dāng)CQ=12時,S當(dāng)CQ=34時,S與C1D1的交點R滿足C1R=當(dāng)34

10、CQ1時,S當(dāng)CQ=1時,S的面積為6答案:解析:當(dāng)CQ=12時,D1Q2=D1C12+C1Q2=54,AP2=AB2+BP2=54,所以D1Q=AP,又因為AD12PQ,所以正確;當(dāng)0CQ12時,截面為APQM,且為四邊形,故也正確,圖(1)如圖(2),當(dāng)CQ=34時,由QCNQC1R得C1QCQ=C1RCN,即圖(2)如圖(3)所示,當(dāng)34CQ0)(1)求的值;(2)討論f(x)在區(qū)間0,解:(1)f(x)=4cos xsinx=22sin xcos x+22cos2x=2(sin 2x+cos 2x)+2=2sin2x因為f(x)的最小正周期為,且0,從而有22=,故(2)由(1)知,f

11、(x)=2sin2x若0 x2,則42x+當(dāng)42x+42,即0 x8時,當(dāng)22x+454,即8x2綜上可知,f(x)在區(qū)間0,8上單調(diào)遞增,在區(qū)間17.(2013安徽,理17)(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a0,區(qū)間I=x|f(x)0.(1)求I的長度(注:區(qū)間(,)的長度定義為-);(2)給定常數(shù)k(0,1),當(dāng)1-ka1+k時,求I長度的最小值.解:(1)因為方程ax-(1+a2)x2=0(a0)有兩個實根x1=0,x2=a1+故f(x)0的解集為x|x1xx2.因此區(qū)間I=0,a1+a2(2)設(shè)d(a)=a1+a2,則d(a)令d(a)=0,得a=1.由

12、于0k1,故當(dāng)1-ka0,d(a)單調(diào)遞增;當(dāng)1a1+k時,d(a)0,d(a)單調(diào)遞減.所以當(dāng)1-ka1+k時,d(a)的最小值必定在a=1-k或a=1+k處取得.而d(1-故d(1-k)d(1+k).因此當(dāng)a=1-k時,d(a)在區(qū)間1-k,1+k上取得最小值1-18.(2013安徽,理18)(本小題滿分12分)設(shè)橢圓E:x2a2+y2(1)若橢圓E的焦距為1,求橢圓E的方程;(2)設(shè)F1,F2分別是橢圓E的左、右焦點,P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點,直線F2P交y軸于點Q,并且F1PF1Q.證明:當(dāng)a變化時,點P在某定直線上.解:(1)因為焦距為1,所以2a2-1=14解得a2=58故橢圓E

13、的方程為8x25(2)設(shè)P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=2a由題設(shè)知x0c,則直線F1P的斜率kF直線F2P的斜率kF故直線F2P的方程為y=y0 x0-當(dāng)x=0時,y=cy即點Q坐標(biāo)為0,因此,直線F1Q的斜率為kF由于F1PF1Q,所以kF1PkF1化簡得y02=x02-(2a將代入橢圓E的方程,由于點P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即點P在定直線x+y=1上.19.(2013安徽,理19)(本小題滿分13分)如圖,圓錐頂點為P,底面圓心為O,其母線與底面所成的角為22.5,AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦,軸OP與平面PCD所成

14、的角為60.(1)證明:平面PAB與平面PCD的交線平行于底面;(2)求cosCOD.(1)證明:設(shè)面PAB與面PCD的交線為l.因為ABCD,AB不在面PCD內(nèi),所以AB面PCD.又因為AB面PAB,面PAB與面PCD的交線為l,所以ABl.由直線AB在底面上而l在底面外可知,l與底面平行.(2)解:設(shè)CD的中點為F.連接OF,PF.由圓的性質(zhì),COD=2COF,OFCD.因為OP底面,CD底面,所以O(shè)PCD.又OPOF=O,故CD面OPF.又CD面PCD,因此面OPF面PCD.從而直線OP在面PCD上的射影為直線PF,故OPF為OP與面PCD所成的角.由題設(shè),OPF=60.設(shè)OP=h,則O

15、F=OPtanOPF=htan 60=3h.根據(jù)題設(shè)有OCP=22.5,得OC=OPtan由1=tan 45=2tan22.51-tan222可解得tan 22.5=2-1,因此OC=h2-1=(2+在RtOCF中,cosCOF=OFOC故cosCOD=cos(2COF)=2cos2COF-1=2(6-3)2-1=17-1220.(2013安徽,理20)(本小題滿分13分)設(shè)函數(shù)fn(x)=-1+x+x222+x332+xnn2(x(1)對每個nN*,存在唯一的xn23,1,滿足fn(xn)(2)對任意pN*,由(1)中xn構(gòu)成的數(shù)列xn滿足0 xn-xn+p0時,fn(x)=1+x2+xn-

16、1n0,故fn(x)在(0,由于f1(1)=0,當(dāng)n2時,fn(1)=122+132+1n20,故fn(1)0.又fn23=-1+23+k=2所以存在唯一的xn23,1,滿足fn(xn)(2)當(dāng)x0時,fn+1(x)=fn(x)+xn+1(n+1)2fn(x),故fn+1(xn)fn(xn)=fn+1(由fn+1(x)在(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增知,xn+1xn,故xn為單調(diào)遞減數(shù)列,從而對任意n,pN*,xn+pxn.對任意pN*,由于fn(xn)=-1+xn+xn222+xfn+p(xn+p)=-1+xn+p+xn+p222+x式減去式并移項,利用0 xn+pxn1,得xn-xn+p=k因此,對

17、任意pN*,都有0 xn-xn+p1n21.(2013安徽,理21)(本小題滿分13分)某高校數(shù)學(xué)系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動,分別由李老師和張老師負(fù)責(zé).已知該系共有n位學(xué)生,每次活動均需該系k位學(xué)生參加(n和k都是固定的正整數(shù)).假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機(jī)地發(fā)給該系k位學(xué)生,且所發(fā)信息都能收到.記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學(xué)生人數(shù)為X.(1)求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率;(2)求使P(X=m)取得最大值的整數(shù)m.解:(1)因為事件A:“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件B:“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”是相互獨立的事件,所以A與B相互獨立.由于P(A)=P(B)=Cn-1k-1Cnk=kn,故P(A)=P(2)當(dāng)k=n時,m只能取n,有P(X=m)=P(X=n)=1.當(dāng)kn時,整數(shù)m滿足kmt,其中t是2k和n中的較小者.由于“李老師和張老師各自獨立、隨機(jī)地發(fā)活動通知信息給k位同學(xué)”所包含的基本事件總數(shù)為(Cnk)2.當(dāng)X=m時,同時收到李老師和張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)恰為2k-m.僅收到李老師或