反證法(一)概要課件

1、第三節(jié)反證法 (第一講)第三節(jié)反證法 (第一講)多, 是無(wú)理數(shù)等等)都是用反證法證明的. 數(shù)學(xué)證明有直接證明與間接證明兩種,反證法是間接證法的一種. 反證法是數(shù)學(xué)證明的大法,一個(gè)命題,在無(wú)法直接正面證明或不易證明時(shí),可應(yīng)用反證法進(jìn)行嘗試 歷史上許多證明的命題(如:質(zhì)數(shù)有無(wú)限 多, 是無(wú)理數(shù)等等)都是用反證法證明的. 由此可見(jiàn),反證法的證題特點(diǎn)就是在題設(shè)中一、反證法的理論依據(jù)及證明過(guò)程、反證法的邏輯依據(jù)是 (C為任意命題) 增加否定結(jié)論的條件再進(jìn)行證題. 不相容的命題的合取式都構(gòu)成矛盾, 由于任一對(duì)所以條件 反證法獨(dú)到的優(yōu)點(diǎn).的增加以及對(duì)導(dǎo)出矛盾的寬松限制, 就形成了由此可見(jiàn),反證法的證題特點(diǎn)就

2、是在題設(shè)中一、反證法的理論依據(jù)及例1 設(shè)有長(zhǎng)度分別為 的5條線(xiàn)段, 其中任何3條都可以組成一個(gè)三角形. 試 證：其中必有銳角三角形. 分析 問(wèn)題的條件較平穩(wěn),組成的三角形較多. 想正面具體指出具有特殊性質(zhì)的三角形的存在性較困難,缺乏信息. 方法有反證、分類(lèi)、排序等手段. 增加信息的常用這里可考慮反證法 證明 設(shè)任意條給定線(xiàn)段組成的三角形是鈍 角或直角三角形. 增加了已知信息例1 設(shè)有長(zhǎng)度分別為 的5條線(xiàn)段, 其中任何3條都可以組成一證明 設(shè)任意條給定線(xiàn)段組成的三角形是鈍角或直角三角形. 不妨設(shè) 由角的特點(diǎn)及條線(xiàn)段的大小關(guān)系, 由余弦定理可得 三式相加得 即 這與 可組成三角形矛盾. 故給定線(xiàn)段

3、組成的三角形中必有銳角三角形. 證明 設(shè)任意條給定線(xiàn)段組成的三角形是鈍角或直角三角形. 不例2 雪爾維斯特(Syloester）問(wèn)題 平面上任給n個(gè)點(diǎn)(n3),已知過(guò)其中任意兩點(diǎn)的直線(xiàn)都經(jīng)過(guò)其中另一點(diǎn), 試證: 這n個(gè)點(diǎn)在同一直線(xiàn)上. 說(shuō)明: 本題由英國(guó)著名數(shù)學(xué)家Syloester提出, 歷經(jīng)50年無(wú)人解決. 后來(lái)被一無(wú)名小卒用反證法解決. 例2 雪爾維斯特(Syloester）問(wèn)題 平面上任給n證明 設(shè)點(diǎn) 對(duì)任一直線(xiàn) 至少有一個(gè) 不在 上, 記 到 的距離為 則在有限個(gè)實(shí)數(shù) 中,必有一個(gè)最小的數(shù)(設(shè)為 ). 依題意,此時(shí)直線(xiàn) 上還有至少一點(diǎn) 不妨設(shè) 在 之間之外時(shí),以 ( 在 或 代替 同理

4、可證), 的 距離分別為 則 不共線(xiàn).且 到 證明 設(shè)點(diǎn) 對(duì)任一直線(xiàn) 至少有一個(gè) 不在 上, 記 到 的距上述證明除用到反證法外,還用了極端故這n個(gè)點(diǎn)在同一直線(xiàn)上.矛盾.說(shuō)明： 性原則. 上述證明除用到反證法外,還用了極端故這n個(gè)點(diǎn)在同一直線(xiàn)上.矛2、反證法的證明過(guò)程關(guān)于反證法的證明過(guò)程 , 法國(guó)幾何學(xué)家J阿達(dá)馬有一段精彩的概括: “這個(gè)證法在于表明:若肯定定理的假設(shè)而否定結(jié)論,就會(huì)導(dǎo) 導(dǎo)出矛盾.”可見(jiàn)反證法的步驟可歸結(jié)為: (1)反設(shè)-設(shè)結(jié)論的反面成立;(2)歸謬- 從反設(shè)和題設(shè)條件出發(fā),推出矛盾;(3)存真-肯定結(jié)論成立. 由于反證法的關(guān)鍵是得出矛盾,因此,反證法又稱(chēng)為歸謬法. 2、反證法

5、的證明過(guò)程關(guān)于反證法的證明過(guò)程 , 法國(guó)幾何學(xué)家J二、反證法的種類(lèi)反設(shè)是反證法的出發(fā)點(diǎn), 如果反設(shè)只有一種情況,相應(yīng)的反證法稱(chēng)為簡(jiǎn)單歸謬法; 如果 反設(shè)不只一種情況, 則相應(yīng)的反證法就稱(chēng)為 窮舉歸謬法，此時(shí)需分別在各種情況下一一推出矛盾, 從而說(shuō)明原結(jié)論成立. 反證法 簡(jiǎn)單歸謬法 窮舉歸謬法二、反證法的種類(lèi)反設(shè)是反證法的出發(fā)點(diǎn), 如果反設(shè)只有一種情況例 設(shè)整數(shù)k不能被整除, 問(wèn) 能否 寫(xiě)成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積?證明 假設(shè)能.則有 或 若為前者, 則 是 的根, 即 這與題設(shè)矛盾. 例 設(shè)整數(shù)k不能被整除, 問(wèn) 能否 寫(xiě)成兩個(gè)次數(shù)較低的整若為后者,即 比較系數(shù)知 代入第四式得 代入第

6、五式得 由前式得 若為后者,即 比較系數(shù)知 代入第四式得 代入第五式得 由而 故 這也與題設(shè)矛盾. 綜上,得證. 而 故 這也與題設(shè)矛盾. 綜上,得證. 三、反證法的應(yīng)用范圍 對(duì)于什么樣的命題宜用反證法, 雖然沒(méi)有明確的劃分標(biāo)準(zhǔn),證題的實(shí)踐告訴我們,對(duì)于具有以下特點(diǎn)的命題,不妨用反證法嘗試. 1、判斷性命題及起始性命題 2、否定性命題 3、唯一性命題 4、存在性命題 5、無(wú)限命題及正面處理情況較多的命題 6、無(wú)法正面證明的全稱(chēng)命題及其它命題三、反證法的應(yīng)用范圍 對(duì)于什么樣的命題宜用反證法1、判斷性命題及起始性命題 在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支,最初建立的是極少數(shù) 的定義、公理, 因此某些起始性質(zhì)或定理的證

7、明難以找到依據(jù),此時(shí)常用反證法嘗試.如無(wú)理數(shù)的 發(fā)現(xiàn). 判斷性命題同樣是先假設(shè)滿(mǎn)足條件的研究對(duì)象存在, 再由導(dǎo)出矛盾或找到事例而作出正確判斷(前者是反證法,后者屬于構(gòu)造法).1、判斷性命題及起始性命題 在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支,最初建立例4 能否將1,1,2,2,1986,1986排成一行,使 得兩個(gè)1間夾著1個(gè)數(shù),兩個(gè)2間夾著2個(gè)數(shù), 兩個(gè)1986間夾著1986個(gè)數(shù)?(1986年CMO) 證一 若能,設(shè)數(shù)i占有的兩個(gè)位置分別為 由題設(shè)知 一方面, 于是,為奇數(shù)另一方面 為偶數(shù)矛盾 故假設(shè)不成立 例4 能否將1,1,2,2,1986,1986排成一行,證二 若能,設(shè)數(shù)i占有的兩個(gè)位置分別為 由題設(shè)知

8、(1)若i為奇數(shù), 則i+1為偶數(shù), 同奇同偶. 說(shuō)明奇號(hào)位上奇數(shù)必有偶數(shù)個(gè), 位上奇數(shù)也有偶數(shù)個(gè)) 設(shè)為2m個(gè)(偶號(hào)(2)若i為偶數(shù),則i+1為奇數(shù), 一奇一偶. 說(shuō)明所有偶數(shù)(共9932=1986個(gè))有一半在奇 號(hào)位上, 另有一半在偶號(hào)位上. 綜上,1986個(gè)奇號(hào)位,一半被993個(gè)偶數(shù)占有, 2m個(gè)被奇數(shù)占有,1986=993+2m. 故假設(shè)不成立矛盾.證二 若能,設(shè)數(shù)i占有的兩個(gè)位置分別為 由題設(shè)知 (1)若i注： 證一采用了算兩次的手法,先整體處理,再奇偶性分析 ；證二先奇偶性分析 , 再整體處理.反映了反證法證明需一定的技巧. 兩種證法顯示了反證法導(dǎo)出矛盾的寬松要求.注：例 位數(shù)字分

9、別為 試證關(guān)于x的二次方程 2、否定性命題設(shè)p是一個(gè)三位質(zhì)數(shù),其百位、十位、個(gè)無(wú)整數(shù)解. 證明 設(shè)有整數(shù) 使 () 由 為三位質(zhì)數(shù)知 0a, c9, 0b9. 若 則由()式知c=0,矛盾; 若 則 由()式知,矛盾. 例 位數(shù)字分別為 試證關(guān)于x的若 則由()式知 故 于是 這表明p有兩個(gè)大于的因式: 和這與p為質(zhì)數(shù)矛盾 綜上,得證. 若 則由()式知 故 于是 這表明p有兩個(gè)大于的因式: 例 結(jié)論以“只有一個(gè)”、“唯一”、“共點(diǎn)”、“共線(xiàn)”3、唯一性命題等形式表明研究對(duì)象的唯一性的命題, 證明時(shí)可考慮反證法. 凸六邊形ABCDEF中, 對(duì)角線(xiàn)AD、BE、分,求證：這三條對(duì)角線(xiàn)相交于一點(diǎn).

10、證明 設(shè)這三條對(duì)角線(xiàn)不相交于一點(diǎn)們兩兩相交于X、Y、Z). (如圖,它CF中每一條都把六邊形分成面積相等的兩部 設(shè)凸六邊形面積為 得 依題意, 例 結(jié)論以“只有一個(gè)”、“唯一”、“共點(diǎn)”、“共線(xiàn)”3、唯同理, 于是, 三式相乘并整理得 左邊= 右邊= 同理, 于是, 三式相乘并整理得 左邊= 右邊= 右邊= 左邊= 由于X、Y、Z不重合, 有AYAY+YX等成立, 比較左右兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)知, 左邊右邊. 故原命題成立. 矛盾.右邊= 左邊= 由于X、Y、Z不重合, 有AYAY+YX等例 設(shè)a、b、c是滿(mǎn)足 的正數(shù). 試證方程組 有唯一實(shí)數(shù)解. 分析 先說(shuō)明有解,再說(shuō)明唯一性.例 設(shè)a、b、c是滿(mǎn)足

11、 的正數(shù). 試證方程組 有唯一實(shí)數(shù)解例 設(shè)a、b、c是滿(mǎn)足 的正數(shù). 試證方程組 有唯一實(shí)數(shù)解. 證明 在邊長(zhǎng)為的正ABC內(nèi)必存在一點(diǎn)P, 它到三邊的距離分別為 于是 取 則它們就是方程組的一組解. 先說(shuō)明有解例 設(shè)a、b、c是滿(mǎn)足 的正數(shù). 試證方程組 有唯一實(shí)數(shù)解若方程組有另外一組不同的解 則它與 中至少有一個(gè)對(duì)應(yīng)數(shù)不等,不妨設(shè) 故則 由(3)及 (4)(4)式可推出(5)由(1)及(5)式知 再由(2)及(6)式知 (6)(7)與矛盾. 同理可證另兩分量相等,得證.若方程組有另外一組不同的解 則它與 中至少有一個(gè)對(duì)應(yīng)數(shù)不等,4、存在性命題存在性命題，指的是結(jié)論中出現(xiàn)如“至少”、“至多”、

12、“必有”等形式的命題. 證明可用反證法. 例 設(shè)有非零實(shí)數(shù) 滿(mǎn)足關(guān)系式 求證： 與 中至少有一個(gè)具有不等的 實(shí)數(shù)根. (1993年北京市初二) 證明 若兩方程都沒(méi)有不等的實(shí)數(shù)根, 則 且 相加得 4、存在性命題存在性命題，指的是結(jié)論中出現(xiàn)如“至少”、“至多又,由條件知 另一方面,因 不為零,有 與矛盾.故原結(jié)論成立.注意：全稱(chēng)的否定為特稱(chēng) 又,由條件知 另一方面,因 不為零,有 與矛盾.故原結(jié)論例 如果整系數(shù)二次方程 有理數(shù)根, 則a、b、c中至少有一個(gè)為偶數(shù).證明 若a、b、c都是奇數(shù), 則由條件知,判別式有為奇數(shù)且是完全平方數(shù). 為此可 設(shè) 則 將 代入得 奇偶性分析知,ac為偶數(shù), 矛盾

13、. 故a、b、c中至少有一個(gè)為偶數(shù). 例 如果整系數(shù)二次方程 有理數(shù)根, 則a、b、c中至少有一例10 5、無(wú)限命題及正面處理情況較多的命題無(wú)限命題及正面處理情況較多的命題,反證法可以簡(jiǎn)捷地給予證明. 利用求證：質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè). 證明 設(shè)質(zhì)數(shù)只有 這有限個(gè). 令 顯然 不是 中任何一個(gè), 故 是合數(shù). 于是存在質(zhì)數(shù) 另一方面, 被 中任何一個(gè) 除時(shí)余數(shù)都是1, 故 是不同于 的另一個(gè)質(zhì)數(shù). 矛盾. 故質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè).例10 5、無(wú)限命題及正面處理情況較多的命題無(wú)限命題及正面處例11 如果在小數(shù)點(diǎn)后接連寫(xiě)出一切自然數(shù), 得無(wú)限小數(shù)為 0.123456789101112, 試證它是一個(gè)無(wú)理數(shù). 證

14、明 設(shè)這個(gè)數(shù)是有理數(shù),即為循環(huán)小數(shù),并且循環(huán)節(jié)由n位數(shù)碼組成. 由于自然數(shù)1000(共有2n個(gè)0)必在小數(shù)中出現(xiàn), 故它至少有一個(gè)循環(huán)節(jié). 這說(shuō)明循環(huán)節(jié)的各位數(shù)碼全是0. 顯然,這是不可能的. 故它是一個(gè)無(wú)理數(shù). 例11 如果在小數(shù)點(diǎn)后接連寫(xiě)出一切自然數(shù), 得無(wú)限小數(shù)為 0例12 6、無(wú)法正面證明的全稱(chēng)命題及其它命題已知在20個(gè)城市之間有172條航線(xiàn),試證: 利用這些航線(xiàn)可以從其中的任何一個(gè)城市 飛抵其余任何一個(gè)城市(包括中轉(zhuǎn)后抵達(dá)). 證明 設(shè)有城市,由只能飛抵其余n(n19) 個(gè)城市. 將所有城市分為兩類(lèi)： 一類(lèi)是及由可飛抵的城市,記為; 另一類(lèi)的由不能飛抵的城市,記為.則 例12 6、無(wú)法正面證明的全稱(chēng)命題及其它命題已知在20個(gè)城市且、之間無(wú)航線(xiàn)相連. 航線(xiàn)總數(shù)不超過(guò) 于是, 注意 由二次函數(shù)的性質(zhì)知, 171. 與航線(xiàn)有172條矛盾. 故原命題成立.且、之間無(wú)航線(xiàn)相連. 航線(xiàn)總數(shù)不超過(guò) 于是, 注意 不太容易. 正面處理時(shí)要證一串角相等, 備用題例13 設(shè)凸五邊形ABCDE各邊相等, , 且正五邊形. 試證該五邊形是分析 改用反證