高中數(shù)學人教A版高中選修 圓錐曲線與方程雙曲線及其標準方程教學設計

1、雙曲線及其標準方程(第一課時)教學設計三臺縣蘆溪中學 劉建紅教學目標:1.掌握雙曲線的定義，能說出其焦點、焦距的意義;2.能根據(jù)定義，按照求曲線方程的步驟推導出雙曲線的標準方程；3.培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納和邏輯推理能力。教學重點:雙曲線的定義和標準方程。教學難點:雙曲線標準方程的推導過程。教學過程:一、創(chuàng)設情景，引入新課:師:我們來復習一下前面學過的橢圓的定義。(教師展示PPT):平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a（2a|F1F2|）的點的軌跡是橢圓。師：同學們，仔細想一想，如果將上面定義中的“和”字改為“差”，即：平面內與兩定點F1、F2的距離的差等于常數(shù)的點的軌跡是什么？二、

2、新課講解:1、定義探討下面，我們來看一個小實驗。播放用拉鏈畫雙曲線的短視頻。（短視頻來源于網絡，因版權原因，無法直接下載，我用了360瀏覽器的錄制功能得到了該短視頻，中間稍微有點兒卡，但不影響整體效果）。師:今天我們來學習雙曲線。同學們能否結合剛才的視頻給雙曲線下個一般定義?生:雙曲線是到平面上兩個定點F1、F2 的距離的差的絕對值等于常數(shù)的點的軌跡。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距。師:由橢圓的定義，一般情況下，我們設該常數(shù)為2a。那么什么情況下表示的是雙曲線的右支，什么情況下表示的是雙曲線的左支?生:當|MF1| -|MF2|=2a時，表示的是雙曲線的右支，當|MF

3、1| -|MF2|=-2a時，表示的是雙曲線的左支。2、定義探究(教師引導學生分情況討論):師:這個常數(shù)2a有沒有限制條件?生:有。這個常數(shù)2a要比焦距|F1F2|小。師:很好。為什么要有這個限制條件呢?其他情況會是怎樣的呢?我們一起來分析一下:(1) 若2a=|F1F2|,則有|MF1|-|MF2| =|F1F2|,此時軌跡為直線F1F2上除去線段F1F2中間部分，以F1、F2為端點的兩條射線; (2) 若2a|F1F2|,則根據(jù)三角形的性質，軌跡不存在。(3) 若a=0，則有|MF1|-|MF2| =0即|MF1| =|MF2|，此時軌跡為線段F1F2的中垂線;3、雙曲線標準方程的推導過程

4、:師:我們學過求曲線的方程的一般步驟， 現(xiàn)在我們一起根據(jù)定義求雙曲線的標準方程。(師生互動，展示PPT，共同推導)第一步:建立直角坐標系;第二步:設點:設動M(x，y)，焦點分別為F1(-c,0)和F2，M到焦點的距離差的絕對值等于2a; 第三步:啟發(fā)學生根據(jù)定義寫出M點的軌跡構成的點集:P= M|MF1|-MF2|=+2a; .第四步:建立方程:第五步:化簡，得到方程。教師強調:我們得到了焦點在x軸上，且焦點是F1(-c,0)和F2(C,0) 的雙曲線標準方程為師:那么如果焦點在y軸上呢? (學生練習)生(練習后):此時的標準方程應該是. 4.雙曲線標準方程的探討:師:剛才我們共同推導了雙曲

5、線的標準方程。請同學想一下，雙曲線標準方程中字母a、b、c的關系如何?是不是ab?生: a、b、c滿足等式c2=a2 +b2，所以有a2=c2-b2，可以得到a,bb。師:很好。我們在求雙曲線標準方程過程中還發(fā)現(xiàn)，確定焦點對求雙曲線方程很重要。那么如何根據(jù)方程判定焦點在哪個坐標軸上呢?生:由于焦點在x軸和y軸上標準方程分別為和，我們發(fā)現(xiàn)焦點所在軸相關的未知數(shù)的分母總是a，所以可以由a來判定。師:很好。因為a所在的這項未知數(shù)的系數(shù)是正的，所以只要找正的系數(shù)就可以了。師:請同學總結一下。生:化標準，找正號。簡單比較雙曲線與橢圓的區(qū)別與聯(lián)系（以列表的形式進行比較，內容詳見PPT）5.運用新知:練習1

6、、雙曲線4x2-y2+64=0上一點P到它的一個焦點的距離等于1，那么點P到另一個焦點的距離等于_.2、已知方程ax2-ay2=b(ab0),則它表示的曲線是_. 3、已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，在左支上過F1的弦的長AB為5，若2a=8，那么ABF2的周長是_. 4、如果方程表示雙曲線，則m的取值范圍為_。變式若將-改成+，則m的取值范圍是_例1已知雙曲線兩個焦點的坐標為F1(-5,0)、F2， 雙曲線上一點P到F1、F2 的距離的差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程。解:因為雙曲線的焦點再x軸上，所以設它的標準方程為因為2a=6，2c=10， 所以a=3, c=5。所以b2 =52 -32 =16,所以所求雙曲線的標準方程為 變式己知兩個定點的坐標為F1(-5,0)、F2(5,0)， 動點P到F1、F2 的距離的差等于6，求P點的軌跡方程。練習：寫出適合下列條件的雙曲線的標準方程=4,b=3,焦點在x軸上;2.焦點為(0,-6),(0,6),過點(2, 5)=4,過點(1, )課堂小結：雙曲線的定義。雙曲線的標準方程與橢圓的標準方程的區(qū)別。作業(yè): 1.課本P61習題組第2題2.求與橢圓的公共焦點，且過點的雙曲線的標準方程。教學后記：可將小實驗（視頻演示拉鏈畫雙曲線）改為學生小組動手協(xié)作做實驗（老師可給學生