九年級同步第12講：解直角三角形-教師版

1、解直角三角形解直角三角形解直角三角形解直角三角形內(nèi)容分析內(nèi)容分析內(nèi)容分析內(nèi)容分析解直角三角形是九年級上學(xué)期第二章第二節(jié)的內(nèi)容，通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，需要掌握直角三角形中，除直角外其余五個元素之間的關(guān)系，并熟練運(yùn)用銳角三角比的意義解直角三角形難點(diǎn)在于，若一個三角形不是直角三角形，要有意識把它化歸為解直角三角形的問題知識結(jié)構(gòu)知識結(jié)構(gòu)知識結(jié)構(gòu)知識結(jié)構(gòu)模塊模塊一：解直角三角形的基本類型模塊模塊一：解直角三角形的基本類型知識精講知識精講知識精講知識精講解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形在中，如果，那么它的三條邊和兩個銳角之間有以下的關(guān)系：（1）三邊之間的關(guān)系：（2）

2、銳角之間的關(guān)系：（3）邊角之間的關(guān)系：，例題解析例題解析例題解析例題解析在中，已知，c = 8，求這個直角三角形的其他邊和角（，） 【難度】【答案】，【解析】解：；在中，則，解得：；在中，則，解得：【總結(jié)】已知斜邊和一銳角度數(shù)時，求直角邊時，用銳角的正弦或余弦在中， ，b = 9，解這個直角三角形（，） 【難度】【答案】，【解析】解：；在中，則，解得：；在中，則，解得：【總結(jié)】已知直角邊和一銳角度數(shù)時，求直角邊時用銳角的正切或余切，求斜邊時用銳角的正弦或余弦在中，已知，c = 8，a = 6，求這個直角三角形的其他邊和角（利用計算器計算） 【難度】【答案】，【解析】解：在中，則利用計算器解得：

3、，【總結(jié)】已知直角三角形的兩條邊，利用勾股定理求另一條邊，利用銳角三角比確定銳角的度數(shù)在中，已知，a = 7，b = 9，解這個直角三角形（利用計算器計算） 【難度】【答案】，【解析】解：，在中，則，利用計算器可得：，【總結(jié)】已知直角三角形的兩條邊，利用勾股定理求另一條邊，利用銳角三角比確定銳角的度數(shù)師生總結(jié)師生總結(jié)解直角三角形的基本類型有哪些？并簡述解法中，AB = 4，AC = ，BC = _，= _【難度】【答案】，【解析】解：在中，則，【總結(jié)】已知直角三角形的兩條邊，利用勾股定理求另一條邊，利用銳角三角比確定銳角的度數(shù)在中，則= _【難度】【答案】60【解析】解：設(shè)，為直角三角形在中，

4、則，【總結(jié)】當(dāng)已知直角三角形的三邊比為時，則這個直角三角形中的最小角為30中，AC + BC = 2，則AB的長是_【難度】【答案】【解析】解：在中，又，則設(shè)，則，AC + BC = 2，解得：，【總結(jié)】當(dāng)直角三角形中含有30的銳角時，則三邊比為在直角三角形中，a b =2，a、b、c是、所對的邊，解這個直角三角形【難度】【答案】，【解析】在中，；又，；在中，則，即；a b =2，【總結(jié)】當(dāng)直角三角形中含有30的銳角時，則三邊比為如圖，中，BC = 3，AC = 4，以B為圓心，4為半徑作圓弧交AC邊于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，連接CE，求的正切值【難度】【答案】【解析】解：過點(diǎn)E作EGAC，交AC

5、于點(diǎn)G，在中，【總結(jié)】當(dāng)所求銳角三角比的銳角不在直角三角形中時，要構(gòu)造包含該銳角的直角三角形求銳角三角比ABCDE如圖，在中，D是BC中點(diǎn)，DEAB，垂足為E，tan B = ，AE = 7，求DE的長ABCDE【難度】【答案】【解析】解：在中，設(shè)，則，D是BC中點(diǎn)，在中，則，解得：在中，則，解得：即DE的長為【總結(jié)】當(dāng)同一個銳角在不同的直角三角形中時，可多次運(yùn)用此銳角的三角比，得到不同的線段的比值模塊二：解直角三角形的運(yùn)用模塊二：解直角三角形的運(yùn)用模塊二：解直角三角形的運(yùn)用模塊二：解直角三角形的運(yùn)用例題解析例題解析例題解析例題解析在中，a、b、c分別是、的對邊，解下列直角三角形：（1），；（

6、2），；【難度】【答案】（1），；（2），【解析】解：（1）在中，設(shè)，則；，（2），解得：；在中，則，【總結(jié)】利用特殊角30以及60的特殊角的銳角三角比的值解直角三角形如圖，在菱形ABCD中，AEBC于點(diǎn)E，EC = 1，cos B =，則這個菱形的面積是_AABCDE【難度】【答案】【解析】解：在中，cos B =，設(shè)，則，EC = 1，解得：【總結(jié)】本題主要考查銳角三角比的直接運(yùn)用如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，如果將線段BD繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)D落在CB的延長線上的處，則等于（ ）ABCDA1BCDABCD【難度】【答案】B【解析】解：線段BD繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)D落在CB的延長線上的處

7、在中，【總結(jié)】本題一方面考查銳角三角比的意義，另一方面考查圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)如圖，在中，AD是BC邊上的中線（1）求證：；（2）若，求AD的長【難度】【答案】（1）證明略；（2）【解析】（1）證明：在中，；在中，AD是BC邊上的中線，（2），AD是BC邊上的中線，在中，則，解得：在中，【總結(jié)】本題一方面考查銳角三角比的意義，一方面考查特殊角的銳角三角比的值A(chǔ)BCD中，角平分線，解這個直角三角形ABCD【難度】【答案】，【解析】解：在中，平分，在中，則，【總結(jié)】通過直角三角形中邊之間的關(guān)系得到角度如圖，四邊形ABCD中，AB = 2a，求BC的長【難度】【答案】【解析】解：過作，垂足為，在中，；在中

8、，在中，【總結(jié)】將題目中的特殊角構(gòu)造到直角三角形中如圖，在中，AC = 2，AB = 4，求【難度】【答案】【解析】解：過點(diǎn)作，交BC邊于點(diǎn)E在中，即，即，在中，【總結(jié)】當(dāng)所求銳角三角比的銳角不在直角三角形中時，要構(gòu)造包含該銳角的直角三角形求銳角三角比如圖，在中，AB = AC，BDAC，D為垂足，且，求的值【難度】【答案】【解析】解：過點(diǎn)作，交BC邊于點(diǎn)E，在中，【總結(jié)】善于發(fā)現(xiàn)題目中的條件得到相等的角，然后運(yùn)用角度相等的銳角三角比值也相等的思路去解題在中，已知D為AB中點(diǎn)，ACCD，求sin A的值【難度】【答案】【解析】解：過點(diǎn)作，交BC邊于點(diǎn)E，ACCD，D為AB中點(diǎn)，設(shè)，則，在中，【

9、總結(jié)】1、本題還有一種輔助線的方法，如圖2、添輔助線的原則是：將特殊角構(gòu)造到直角三角形中；添加輔助線之后要能包含基本圖形在中，AC = BC，AD是BC上的中線，求與的值【難度】【答案】，【解析】解：過點(diǎn)作，交AB于點(diǎn)E設(shè)，則，在中，在中，在中，在中，在中，【總結(jié)】當(dāng)所求銳角三角比的銳角不在直角三角形中時，要構(gòu)造包含該銳角的直角三角形求銳角三角比若等腰三角形兩腰上的高的和等于底邊上的高，求底角的余切值【難度】【答案】【解析】已知：如圖，等腰中，且滿足，求的值解：，設(shè)，則，在中，【總結(jié)】本題是一道文字題，要根據(jù)題意先畫出圖形，然后再根據(jù)條件進(jìn)行求解在中，BC = 6，求AB的長【難度】【答案】6

10、或12【解析】解：過點(diǎn)作，交AB于點(diǎn)D在中，在中，【總結(jié)】本題主要考查對題意的理解，要注意兩種情況的討論在四邊形ABCD中，AB = 8，BC = 1，四邊形ABCD的面積為，求AD的長【難度】【答案】【解析】解：延長和相交于點(diǎn)，在中，；，四邊形ABCD的面積為，【總結(jié)】當(dāng)看到30和60這些特殊角時，要想辦法把它們構(gòu)造到一個直角三角形中如圖，在四邊形ABCD中，AD = 2，求CD的長度【難度】【答案】2【解析】解：延長和交于點(diǎn)，在中，在中，【總結(jié)】若題目中含有120或者150這些角時，要想到它們的鄰補(bǔ)角也是特殊角如圖，在等腰中底邊BC的中點(diǎn)是點(diǎn)D，底角的正切值是，將該等腰三角形繞其腰AC上的

11、中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，得到，如果旋轉(zhuǎn)后的底邊與BC交于點(diǎn)N，求的正切值【難度】【答案】【解析】解：設(shè)，在中，M為AC的中點(diǎn)，又，M為的中點(diǎn)，在中，在中，【總結(jié)】圖形旋轉(zhuǎn)后大小和形狀都不變在中，D是AC邊上的一點(diǎn)，且， AD = 2CD求證：（提示：）【難度】【答案】略【解析】證明：分別過點(diǎn)A、點(diǎn)D作AFBD于點(diǎn)F，DEBC于點(diǎn)EAD = 2CD，設(shè)，則在中，且，又，在中，在中，DEBC，在中，又，【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，通過添加輔助線將特殊角放入直角三角形中，并多次運(yùn)用特殊角的銳角三角比的值，從而得到邊長，最終得到相似在中，三角形一邊上的高是3，求BC的長 【難度】【答案】或或

12、【解析】如圖1，當(dāng)邊上的高時，在中，設(shè)，則，過點(diǎn)作，交AB于點(diǎn)D在中，設(shè)，則；在中，則，如圖2所示，當(dāng)邊上的高時， 如圖3，當(dāng)邊上的高時在中，過點(diǎn)作，交AB于點(diǎn)H在中，設(shè)，則；在中，則，【總結(jié)】由于本題沒有說明是哪條邊上的高，因此要注意分類討論在正方形ABCD中，N是DC的中點(diǎn)，M是AD上異于D的點(diǎn)，且，求的值【難度】【答案】【解析】解：延長交于點(diǎn)，過作，設(shè)正方形的邊長為1，則，N是DC的中點(diǎn)，在中，解得在中，【總結(jié)】本題主要是根據(jù)題目條件，構(gòu)造等腰三角形和直角三角形如圖，在中， D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，AC = 7，AE = BC，求【難度】【答案】【解析】解：過點(diǎn)E作EFAC，交AC

13、于點(diǎn)F設(shè)在中，在中，即，【總結(jié)】本題的綜合性比較強(qiáng)，當(dāng)題目中已知銳角的三角比，但是并沒有直角三角形時，要通過添加輔助線構(gòu)造包含該銳角的直角三角形，另外本題還考查了相似的性質(zhì)，將面積問題轉(zhuǎn)化成了相似比的平方的問題如圖，在中，sin B = ，點(diǎn)D在BC邊上，且，DC = 6，求的正切值【難度】【答案】【解析】解：過點(diǎn)作，交AB于點(diǎn)E，在中，在中，在中，【總結(jié)】已知三角形的三條邊長，求任意一邊上的高時，可采用勾股定理進(jìn)行計算，也可采用面積法隨堂檢測隨堂檢測隨堂檢測隨堂檢測在中，下列條件中不能解直角三角形的是（ ）A已知c和bB已知a和C已知和D已知a和b【難度】 【答案】C【解析】兩角只能確定三角

14、形的形狀，不能確定三角形的大小等腰三角形底邊長為10厘米，周長為36厘米，則底角的余弦等于（ ）ABCD【難度】 【答案】A【解析】等腰ABC中，ABC的周長為36，求，ABC的周長為36，過作，則，在中，【總結(jié)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角比的意義ABCH如圖，在中，高CH是邊AB的一半，且，求的度數(shù)（）ABCH【難度】【答案】30【解析】在中，設(shè)，則高CH是邊AB的一半，在中，【總結(jié)】本題主要考查特殊角的銳角三角比的值等腰三角形ABC的周長為，AB = AC，求三角形的三邊長【難度】【答案】，【解析】過點(diǎn)作，交BC邊于點(diǎn)D設(shè)，則，等腰三角形ABC的周長為，解得：，【總結(jié)】本題主要

15、考查等腰三角形的性質(zhì)和特殊角的銳角三角比的值A(chǔ)BCDFG如圖，AC = 6，點(diǎn)G是的重心，GF / BC，求ABCDFG【難度】【答案】【解析】在中，AC = 6，點(diǎn)G是的重心，GF / BC，【總結(jié)】本題一方面考查了重心定理，一方面考查了特殊角的銳角三角比的值如圖，在中，求AC、BC的長【難度】【答案】2，【解析】解：過點(diǎn)作，交BC邊于點(diǎn)D在中，在中，【總結(jié)】本題主要是考查通過做高，將特殊角放到直角三角形中，再利用特殊角的銳角三角比進(jìn)行求值A(chǔ)BCDE如圖，在中，tan A =，DE是ABABCDEBC = 2，求：（1）的值；（2）CE的長【難度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，（

16、2）D為AB的中點(diǎn)，在中，【總結(jié)】當(dāng)兩個銳角相等時，它們的銳角三角比的值也相等在中，BC = 15，AB : AC=7 : 8，求BC邊上的高【難度】【答案】【解析】過點(diǎn)作，交BC邊于點(diǎn)D設(shè)，則在中，解得：，（舍去）【總結(jié)】本題通過添高將已知的銳角放入直角三角形中，利用銳角三角比的值求解在等腰梯形ABCD中，AD / BC，翻折梯形ABCD，使點(diǎn)B重合于點(diǎn)D，折痕分別交邊AB、BC于點(diǎn)F、E若AD = 2，BC = 8，求：（1）BE的長；（2）的正切值【難度】【答案】（1）5；（2）【解析】（1）過點(diǎn)A作AGBC，交BC邊于點(diǎn)GEF垂直平分BD，由等腰梯形的性質(zhì)可得： （2），在中，【總結(jié)】

17、本題主要考查了翻折的特性，對應(yīng)點(diǎn)的連線被折線垂直平分ABCDE如圖，在中，AB = AC，AB的垂直平分線交BC于D，交AB于E且ACABCDE（1）求的度數(shù)；（2）求證：點(diǎn)D是BC的黃金分割點(diǎn)；（3）利用這個圖求cos 36的值【難度】【答案】（1）108；（2）證明略；（3）【解析】（1）設(shè)AB = AC，DE垂直平分AB，AC = DC，（2）由（1）可得：，則可得：，點(diǎn)D是BC的黃金分割點(diǎn)（3）由（2）可設(shè)：，E為AB的中點(diǎn)，在中，【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，所考查的知識點(diǎn)也比較多，包含了黃金分割、線段垂直平分線等，在運(yùn)用時要注意對條件的準(zhǔn)確理解和運(yùn)用課后作業(yè)課后作業(yè)課后作業(yè)課后作業(yè)已知等

18、邊三角形一邊上的中線長為a，則此三角形的邊長為_【難度】【答案】【解析】解：ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，AD=a，求AB的長AB=AC，ADBC，在中，【總結(jié)】本題是一道基礎(chǔ)題，主要考查60角的正弦在中，a、b、c分別是、的對邊，解下列直角三角形：（1），；（2）a = 5，；（3）斜邊上中線，AC = 6【難度】 【答案】（1），；（2），；（3），【解析】解：（1），在中，（2）在中，（3）斜邊上中線，在中，【總結(jié)】本題主要考查特殊角的銳角三角比的值以及運(yùn)用在中，AB = AC，BC邊上的高為8，三角形的周長為32，則sin C的值是_【難度】【答案】【解析】過A作ADBC，

19、則AD=8AB = AC，三角形的周長為32，AB = AC，ADBC，在中，在中，【總結(jié)】本題比較基礎(chǔ)，解題時注意運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)在中，若BC = a，求AB的長【難度】【答案】【解析】過點(diǎn)C作CDAB，在中，在中，【總結(jié)】當(dāng)已知的特殊角不在直角三角形中時，要構(gòu)造包含該特殊角的直角三角形已知在梯形ABCD中，AD / BC，AB = 15，CD = 13，AD = 8，是銳角，求BC的長【難度】【答案】12或22【解析】過點(diǎn)A、點(diǎn)D分別作AEBC，DFBC，垂足分別為E、F在中，四邊形ADFE是矩形，在中，或【總結(jié)】本題有兩種情況，要注意分類討論已知在中，AB =，AC = 2，BC邊上的高為，求BC的長【難度】【答案】4或2【解析】解：如圖，過A作ADBC，則，在中，在中，或【總結(jié)】當(dāng)已知三角形兩條邊的長和第三邊的高時，通常都有兩種情況，銳角三角形和鈍角三角形如圖，在中