6第六章 抽樣分布及總體平均數(shù)的推斷

1、第六章 抽樣分布及總體平均數(shù)的推斷抽樣分布；總體平均均數(shù)的參參數(shù)估計計假設檢驗驗總體平均均數(shù)顯著著性檢驗驗6.1抽樣分布布6.1.1抽樣分布布的含義義總體分布布：總體體內(nèi)個體體數(shù)值的的頻率分分布；樣本分布布：樣本本內(nèi)個體體數(shù)值的的頻數(shù)分分布；抽樣分布布：某一一種統(tǒng)計計量的頻頻率分布布。1351341291331311311311341251281351271271331301321321291241321221241271311371321331341241281351331311231151321341381241321281361271201251311361271241291291321

2、38125131120121144128133128127130120121122127121125130140121126130122128127125127131師大附小小二年級級80個個學生的的身高師大附小小二年級級80個個學生的的身高總體分布布：總體體內(nèi)個體體數(shù)值的的頻率分分布135134129133131131131134124132122124127131137132134138124132128136127120131120121144128133128127126130122128127125127131135127127133130132132129師大附小小二年級級中48個

3、學生生的身高高容量=48平平均均數(shù)=129.5625標標準差=4.8942師大附小小二年級級中48個學生生的身高高樣本分布布：樣本本內(nèi)個體體數(shù)值的的頻數(shù)分分布所抽取的的各樣本本的平均均數(shù)如下下：129.825126.55128.575129.5128.52130.72129.55129.45 129.68129.385129.95130.27128.57128.9125.65容量=50平平均均數(shù)=129.00標標準差=1.34容量=50平平均均數(shù)=129.00標標準差=1.34根據(jù)抽樣樣平均數(shù)數(shù)頻率分分布表制制作的多多邊圖上海市初初中一年年級末數(shù)數(shù)學水平平的調(diào)查查研究，在該研研究中假假定上海海

4、市共有有初中一一年級學學生為150000人人(N 人)，如果果對上海海所有初初中一年年級學生生進行統(tǒng)統(tǒng)一的標標準化的的數(shù)學成成就測驗驗，其測測驗的平平均成績績?yōu)?0分()，測驗驗的標準準差為9分()。例1例2某一調(diào)查查研究者者甲為了了節(jié)省調(diào)調(diào)查研究究的成本本，現(xiàn)從從上海市市初中一一年級學學生中隨隨機抽取取500人(n人)進進行統(tǒng)一一的標準準化的數(shù)數(shù)學成就就測驗，試圖通通過這500人人的測驗驗結果來來推斷全全上海初初中一年年級學生生的數(shù)學學水平，其測驗驗的平均均成績?yōu)闉?2分分()，測測驗的標標準差為為8分(x)。1分析上述述實例區(qū)分總體體和樣本本區(qū)分參數(shù)數(shù)與統(tǒng)計計量及不不同的表表達方式式如果我

5、們們用上海海初一年年級150000個學生的的成績做做圖，則則構成一一個總體體分布圖圖：概率密度度或百分分比成績?nèi)绻覀儌冎挥闷淦渲谐槿∪〉?00個個學生生的成績績做圖，則構成成一個樣樣本分布布圖：概率密度度或百分分比成績2、抽樣分析 假定該研究者第一次抽取500人做完調(diào)查研究后，又重新從上海初中一年級學生中(150000人)抽取500人(n2)進行調(diào)查研究，其平均數(shù)為： 標準差為：x2 (抽取學生的過程中，前面抽到的學生在后面抽取中也可能抽到，但不重復測驗) 。 如果上述過程不斷重復操作，則可以得到更多的樣本平均數(shù)和標準差，如下表：如果我們們用k(k趨趨近于無無窮大)個樣本本平均數(shù)數(shù)做頻數(shù)數(shù)分

6、布圖圖，則構構成一個個由樣本本平均數(shù)數(shù)組成的的抽樣分分布(平平均數(shù)抽抽樣分布布)圖：概率密度度或百分分比抽樣的平平均成績績由這些抽樣的平均數(shù)構成的平均數(shù) 由這些抽樣平均數(shù)組成分布的標準差稱為平均數(shù)的標準誤用 來表示。標準誤(STANDARDERRORS)：某某種統(tǒng)計計量的標標準差稱稱為該統(tǒng)統(tǒng)計量的的標準誤誤。抽樣分布布是某一一種統(tǒng)計計量的概概率分布布。6.1.2平均數(shù)抽抽樣分布布的幾個個定理3、正態(tài)總體體中，平平均數(shù)的的抽樣分分布呈正正態(tài)1、2、4、偏態(tài)總體體中，當當抽樣容容量較大大時，平平均數(shù)的的抽樣分分布也呈呈正態(tài)6.1.3樣本平均均數(shù)與總總體平均均數(shù)的離離差統(tǒng)計計量平均數(shù)為：標準差為：離

7、差統(tǒng)計計量是以以標準差差為單位位來來度度量某一一個個案案值與平平均數(shù)間間的差異異。Z分分數(shù)就是是一種離離差統(tǒng)計計量當總體標準準差已知知時，平均均數(shù)的離離差統(tǒng)計計量的計計算：當總體標準準差未知知時，平均均數(shù)的離離差統(tǒng)計計量的計計算：首先根據(jù)據(jù)樣本標標準差( x )來來估計總總體標準準差()其估計值值用S來來表示。因此，平均數(shù)的標準誤為：離差統(tǒng)計計量的表表達形式式為：練習1：某校二年年級學生生的英語語平均成成績?yōu)?8，從從中隨機機抽取50人，其平均均成績?yōu)闉?2，標準差差為12。試估估計該校校二年級級學生英英語成績績的標準準差，并并計算50人平平均成績績的離差差統(tǒng)計量量。關于T分布：關于Z分分布與

8、T分布的的區(qū)別：當總體方方差已知知時，Z只隨樣樣本平均均數(shù)而變變化；當總體方方差未知知時，T不僅隨隨樣本平平均數(shù)而而變化，而且還還隨S而而變化。T分布的的特點：T分布的的形態(tài)隨隨自由度度的變化化呈一簇簇分布形形態(tài)（即即自由度度不同的的T分布布形態(tài)也也不同）；T分布的的峰狹窄窄尖峭，尾長而而翹得高高；自由度越越小，分分布范圍圍越廣；自由度度趨于無無限大，T分布布接近正正態(tài)分布布；自由度df：指指總體參參數(shù)估計計量中變變量值自自由變化化的個數(shù)數(shù)。6.2總總體體平均數(shù)數(shù)的參數(shù)數(shù)估計根據(jù)樣本本統(tǒng)計量量對相應應總體參參數(shù)所作作的估計計叫總體體參數(shù)估估計?？偪傮w參數(shù)數(shù)估計分分為點估估計和區(qū)區(qū)間估計計。6.

9、2.1點點估計計（1）點估計的的定義用某一樣樣本統(tǒng)計計量的值值來估計計相應總總體參數(shù)數(shù)的值叫叫總體參參數(shù)的點點估計。6.2總總體體平均數(shù)數(shù)的參數(shù)數(shù)估計（2）點估計的的評價標標準：無偏性：用統(tǒng)計計量估計計總體參參數(shù)一定定會有誤誤差，不不可能恰恰恰相同同。因此此，好的的估計量量應該是是一個無無偏估計計量，即即用多個個樣本的的統(tǒng)計量量作為總總體參數(shù)數(shù)的估計計值，其其偏差的的的平均均值為0。有效性：當總體體參數(shù)的的無偏估估計不止止一個統(tǒng)統(tǒng)計量時，無偏估估計變異異性小者者有效性性高，變變異大者者有效性性低。6.2總總體體平均數(shù)數(shù)的參數(shù)數(shù)估計（2）點估計的的評價標標準：一致性：當樣本本容量無無限增大大時，

10、估估計量的的值能越越來越接接近它所所估計的的總體參參數(shù)值，估計值值越來越越精確，逐漸趨趨近于真真值。充分性：一個容容量為的的樣本統(tǒng)統(tǒng)計量，是否充充分地反反映了全全部個數(shù)數(shù)據(jù)所反反映總體體的信息息。6.2.2區(qū)區(qū)間估估計（1）區(qū)間估計計的定義義區(qū)間估計計是指以以樣本統(tǒng)統(tǒng)計量的的樣本分分布為理理論依據(jù)據(jù)，按一一定的概概率要求求，由樣樣本統(tǒng)計計量的值值估計總總體參數(shù)數(shù)值的所所在范圍圍。6.2.2區(qū)區(qū)間估估計（2）置信區(qū)間間與顯著著性水平平置信區(qū)間間是指在在某一置置信度時時，總體體參數(shù)所所在的區(qū)區(qū)域距離離或區(qū)域域長度。顯著性水水平是指指估計總總體參數(shù)數(shù)落在某某一區(qū)間間時，可可能犯錯錯誤的概概率，用用表

11、示示。1為置置信度或或置信水水平。6.2.2區(qū)區(qū)間估估計（2）區(qū)間估計計的原理理區(qū)間估計計的原理理是樣本本分布理理論。在在計算區(qū)區(qū)間估計計值、解解釋估計計的正確確概率時時，依據(jù)據(jù)是該樣樣本統(tǒng)計計量的分分布規(guī)律律及樣本本分布的的標準誤誤（SE）。下面以平平均數(shù)的的區(qū)間估估計為例例，說明明如何根根據(jù)平均均數(shù)的樣樣本分布布及平均均數(shù)分布布的標準準誤（SE），計算置置信區(qū)間間和解釋釋成功估估計的概概率。6.2.2區(qū)區(qū)間估估計（2）區(qū)間估計計的原理理當總體方方差2為已知知時，樣樣本平均均數(shù)的分分布為正正態(tài)分布布或漸近近正態(tài)分分布，此此時樣本本平均數(shù)數(shù)分布的的平均數(shù)數(shù)，標準準誤。根據(jù)正正態(tài)分布布，可以以說

12、：有有95% 的落落在之間，之間，或或者說：之間包含含所有的的的的95% ，即即6.2.2區(qū)區(qū)間估估計（2）區(qū)間估計計的原理理但是，在在實際研研究中，只能得得到一個個樣本平平均數(shù)，我們可可以將這這個樣本本平均數(shù)數(shù)看做是是無限多多個樣本本平均數(shù)數(shù)之中的的一個。于是將將上式經(jīng)經(jīng)過移項項寫成這意味著著有95%的落在之間，或者說，估計落在在之間的正正確的概率為為95% 。6.2.2區(qū)區(qū)間估估計練習2某一個正正態(tài)總體體，其平平均數(shù)為為130，標準準差為10。以平均數(shù)數(shù)為中心心，95%學生生的成績績的分布布范圍；其成績在在128到132間的的人數(shù)的的比例；排名在班班級前5%的學生成績績的分布布范圍。從總體

13、中中抽取25人，計算其其平均成成績，該該平均成成績在128到到132間的概概率有多多大；從總體中中抽取25人，計算其其平均成成績，該該平均成成績以總總體平均均數(shù)為中中心，95%概概率下的的分布范范圍從總體中中抽取25人，計算其其平均成成績，該該平均成成績由高高到低95%概概率下的的分布范范圍；從總體中中抽取25人，計算其其平均成成績，最最高5%的平均均成績的的范圍。從總體中中抽取25人，計算其其平均成成績，該該平均成成績大于于135的概率率是多少少。練習3某小學10歲兒兒童身高高的標準準差為6.25厘米，現(xiàn)從該該校隨機機抽出27名10歲兒兒童，其其平均身身高為134.2厘米米，試估估計該校校1

14、0歲歲兒童身身高的95%和和99%置信區(qū)區(qū)間。6.2.3總體平均均數(shù)的估計（1）估計總體體平均數(shù)數(shù)的步驟驟1根據(jù)實得得樣本的的數(shù)據(jù)，計算樣樣本平均均數(shù)與標標準差。2計算標準準誤。（已已知）或（未未知）3確定置信信區(qū)間或或顯著性性水平。6.2.3總體平均均數(shù)的估計4根據(jù)樣本本平均數(shù)數(shù)的抽樣樣分布，確定查查何種統(tǒng)統(tǒng)計表。5計算置信信區(qū)間。（正態(tài)分分布）或（分布布）6解釋總體體平均數(shù)數(shù)的置信信區(qū)間。6.2.3總體平均均數(shù)的估計（2）總體方差差2已知時1當總體分分布為正態(tài)時當總體分分布為正正態(tài)，總總體方差差（）已已知時，樣本平平均數(shù)的的分布為為正態(tài)分分布，這這時可用用下式計計算其置置信區(qū)間間： （其中

15、）6.2.3總體平均均數(shù)的估計（2）總體方差差2已知時2當總體分分布為非正態(tài)時總體分布布非正態(tài)態(tài)，總體體方差（）已知知，這時時只有當當樣本容容量時時，其其樣本平平均數(shù)的的分布為為漸近正正態(tài)分布布，這時時可用下下式計算算其置信信區(qū)間： （ 其中中）6.2.3總體平均均數(shù)的估計（2）總體方差差2未知時1當總體分分布為正態(tài)時當總體分分布為正正態(tài)，總總體方差差（）未未知時，樣本平平均數(shù)的的分布為為分布布，這時時可用下下式計算算其置信信區(qū)間：（其中）6.2.3總體平均均數(shù)的估計（2）總體方差差2未知時2當總體分分布為非正態(tài)時總體分布布非正態(tài)態(tài)，總體體方差（）未知知，這時時只有當當樣本容容量時時，其其樣本

16、平平均數(shù)的的分布為為漸近分布，這時可可用下式式計算其其置信區(qū)區(qū)間：（其中）練習5從某次考考試中隨隨機抽取取102名學生生的成績績，其平平均成績績?yōu)?6，標準準差為1.5。試估計計總體平平均成績績95%和99%的置置信區(qū)間間。練習4從某小學學三年級級學生中中隨機抽抽取12名學生生，其平平均成績績?yōu)?9.917，標標準差為為3.926。試估計計該校三三年級學學生總體體平均成成績95%和99%的的置信區(qū)區(qū)間。6.3假設檢驗驗6.3.1假假設檢驗驗的原理理假設是根根據(jù)已知知理論與與事實對對研究對對象所做做的假定定性說明明，統(tǒng)計計學中的的假設一一般專指指用統(tǒng)計計學術語語對總體體參數(shù)所所做的假假定性說說明

17、。在進行任任何一項項研究時時，都需需要根據(jù)據(jù)已有的的理論和和經(jīng)驗對對研究結結果作出出一種預預想的希希望證實實的假設設，這種種假設叫叫科學假假設，用用統(tǒng)計術術語表示示時叫研研究假設設（備擇擇假設），記作作H1。6.3假設檢驗驗6.3.1假假設檢驗驗的原理理在統(tǒng)計學學中不能能對H1 的真真實性直直接檢驗驗，需要要建立與與之對立立的假設設，稱做做虛無假假設（零零假設，無差假假設，原原假設），記作作H0。假設檢驗驗的問題題，就是是要判斷斷虛無假假設H0是否正正確，決決定接受受還是拒拒絕虛無無假設H0，若拒絕絕虛無假假設H0 ，則則接受備備擇假設設H1。6.3假設檢驗驗6.3.1假假設檢驗驗的原理理假設

18、檢驗驗是從零零假設出出發(fā)，視視其被拒拒絕的機機會，如如果根據(jù)據(jù)樣本信信息，不不得不否否定零假假設的真真實性時時，就不不得不承承認備擇擇假設的的真實性性，這時時，就要要拒絕零零假設而而接受備備擇假設設；如果果根據(jù)樣樣本的信信息不能能否定零零假設的的真實性性時，就就要保留留零假設設而拒絕絕備擇假假設。6.3假設檢驗驗6.3.1假假設檢驗驗的原理理假設檢驗驗的基本本思想是是概率性性質(zhì)的反反證法。為了檢檢驗虛無無假設，首先假假定虛無無假設為為真。在在虛無假假設為真真的前提提下，如如果導致致違反邏邏輯或違違反人們們常識和和經(jīng)驗的的不合理理現(xiàn)象出出現(xiàn)，則則表明“虛無假假設為真真”的假假定是不不正確的的，也

19、就就不難接接受虛無無假設。若沒有有導致不不合理的的現(xiàn)象出出現(xiàn)，那那就認為為“虛無無假設為為真”的的假定是是正確的的，也就就是接受受了虛無無假設。6.3假設檢驗驗6.3.1假假設檢驗驗的原理理這種“反證法法”思想想不同于于數(shù)學中中的反證證法，后后者是在在假設某某一條件件下導致致邏輯上上的矛盾盾從而否否定原來來的假設設。假設設檢驗中中“不合合理現(xiàn)象象”是指指小概率率事件在在一次試試驗中發(fā)發(fā)生了，它是基基于人們們在實踐踐中廣泛泛采用的的小概率率事件原原理。（小概率率事件原原理是指指“小概概率事件件在一次次試驗中中幾乎不不可能發(fā)發(fā)生”。通常情情況下，將概率率不超過過0.05或0.01的事件件當做“小概

20、率率事件”。）6.3假設檢驗驗6.3假設檢驗驗6.3.2單單側檢驗驗與雙側側檢驗只強調(diào)差差異而不不強調(diào)方方向性的的檢驗叫叫雙側檢檢驗；強強調(diào)某一一方向的的檢驗叫叫單側檢檢驗。6.3假設檢驗驗6.3.2單單側檢驗驗與雙側側檢驗某市全體體7歲男男童體重重平均數(shù)數(shù)為21.61千克，標準差差為2.21千千克，某某小學70個7歲男童童體重的的平均數(shù)數(shù)為22.9，問該校校7歲男男童體重重與該市市是否一一樣。某區(qū)某年年高考化化學平均均分數(shù)為為72.4，標標準差為為12.6，該該區(qū)實驗驗學校28名學學生此次次考試平平均分數(shù)數(shù)為74.7，問實驗驗學校此此次考試試成績是是否高于于全區(qū)平平均水平平？6.3假設檢驗驗

21、6.3.2單單側檢驗驗與雙側側檢驗雙側檢驗驗單側檢驗驗6.3假設檢驗驗6.3.3假假設檢驗驗的步驟驟1根據(jù)問題題要求，提出虛虛無假設設和備擇擇假設。2選擇適當當?shù)臋z驗驗統(tǒng)計量量并計算算其值。3規(guī)定顯著著性水平平。4選擇檢驗驗的方式式（單側側還是雙雙側）。5做出統(tǒng)計計決策。假設檢驗驗這種反反證法與與一般的的數(shù)學反反證法有有什么不不同？思考題（1）數(shù)數(shù)學反證證法最終終推翻假假設的依依據(jù)一定定是出現(xiàn)現(xiàn)了百分分之百的的謬誤，因此推推翻假設設的決策策無論是是決策邏邏輯還是是從決策策內(nèi)容看看都是百百分之百百正確的的。而假假設檢驗驗的反證證法最終終推翻零零假設的的依據(jù)是是一個小小概率事事件，從從決策邏邏輯角

22、度度看是百百分之百百正確的的，但其其決策的的內(nèi)容卻卻是有可可能出錯錯的。（2）數(shù)數(shù)學中使使用反證證法，其其最終結結果一定定是推翻翻原假設設，而假假設檢驗驗這種反反證法的的最終結結果卻有有可能無無充分理理由推翻翻零假設設。答:6.3假設檢驗驗6.3.4假假設檢驗驗中的兩兩類錯誤誤統(tǒng)計學中中將這類類拒絕H0時所所犯的錯錯誤稱做做 錯錯誤，即假設是真真而被拒拒絕所犯的錯錯誤，其大小小與假設設檢驗的的顯著性性水平相相等。接受H0時所犯犯的錯誤誤為錯錯誤，即假設設是偽而而被接受受。例A韋氏智力力測驗的的總體平平均數(shù)為為100，標準準差為15。現(xiàn)現(xiàn)從某實實驗學校校抽取64人，其平均均智商為為103，問該該

23、校的智智力水平平與總體體水平是是否有顯顯著差異異(=.05)。=1001.961.60=103例A假設設檢驗的的示意圖圖 /2=.025 /2=.025例B從現(xiàn)從某某實驗學學校抽取取64人人，其平平均智商商為103。問問該校學學生的智智力水平平是否是是來自于于平均智智商為105，標準差差為15的總體體(=.05)。=105-1.96-1.06=103例B假設設檢驗的的示意圖圖 /2=.025 /2=.0251 =1050 =1001.60=103例A假設設檢驗中中所犯錯錯誤1.96/2=.025/2=.025=.240 =1001 =105-1.06=103例B假設設檢驗中中所犯錯錯誤/2=.

24、025/2=.025-1.96=.246.3假設檢驗驗6.3.4假假設檢驗驗中的兩兩類錯誤誤兩類錯誤誤的關系系：（1） 不一一定等于于1；（2）與與不不可能同同時減小小或增大大；（3）1 -反反映著著正確辨辨認真實實差異的的能力。6.3假設檢驗驗6.3.4假假設檢驗驗中的兩兩類錯誤誤6.3假設檢驗驗6.3.4假假設檢驗驗中的兩兩類錯誤誤控制錯錯誤：可以由由研究者者通過選選擇適當當?shù)娘@著著性水平平加以主主動控制制?？刂棋e錯誤的概概率有以以下兩種種方法：利利用已知知的實際際總體參參數(shù)值與與假設參參數(shù)值之之間大小小關系，合理安安排拒絕絕區(qū)域的的位置；增增大樣本本的容量量。樣本容量量的擴大大引起的的變

25、化是是什么？檢驗功效效 (POWER)1、什么么是檢驗驗功效Power=1-功效：正正確拒絕絕虛無假設設的概率2、影響響功效的的因素Power=1- 檢驗的形形式樣本的容容量鑒別力(EFFECT SIZE，d值)d3、依據(jù)據(jù)功效的的要求，確定樣樣本的大大小例A中，如果要要求功效效為.80，其其樣本應應為多少少？1 =1050 =1001.96/2=.025/2=.025N=71.916.4總體平均均數(shù)顯著著性檢驗驗6.4.1平平均數(shù)顯顯著性檢檢驗的概概念平均數(shù)的的顯著性性檢驗是是指根據(jù)據(jù)樣本平平均數(shù)與與假設總總體平均均數(shù)的差差異檢驗驗樣本所所在總體體的平均均數(shù)與假假設總體體的平均均數(shù)的差差異。

26、6.4總體平均均數(shù)顯著著性檢驗驗6.4.1平平均數(shù)顯顯著性檢檢驗的概概念例3全區(qū)統(tǒng)一一考試物物理平均均分為50分，標準差差為10分。某某校一個個班41人的平平均成績績?yōu)?2.5，問該班班成績與與全區(qū)成成績差異異是否顯顯著？6.4總體平均均數(shù)顯著著性檢驗驗6.4.1平平均數(shù)顯顯著性檢檢驗的方方法1總體正態(tài)分布、總總體方差差已知的條件下下平均數(shù)數(shù)的顯著著性檢驗驗2總體正態(tài)分布、總總體方差差未知條件下平平均數(shù)的的顯著性性檢驗練習6有人從受受過良好好教育早早期兒童童中隨機機抽取70人是是行韋氏氏智力測測驗(該該測驗的的總體平平均數(shù)為為100，標準準差為15)，其結果果為103.3。能否否認為受受過良好好早期教教育的兒兒童智力力高于一一般水平平？練習7某一種食食品的標標準重量量為1000克克，但在在包裝過過程中有有誤差，其標準準差為50克。工商部部門為檢檢驗其重重量是否否合格，從該產(chǎn)產(chǎn)品中抽抽出50袋樣品品，平均均重量為為986克。問問該產(chǎn)品品在重量量上是否否合格？練習8某心理學學家變認認為一般般汽車司司機的視視反應平平均時間間是175毫秒秒，有人人隨機抽抽取36名汽車車司機作作為研究究樣本進進行了測測定，結結果平均均值