管理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記

1、文檔編碼 : CY9L8Q3L1Z4 HX1A9D9J7F2 ZI3N4G4N8A5治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記199 概念篇 整數(shù)1. 0 是自然數(shù),最小的自然數(shù)是 0； 1 既不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù)；2. 偶數(shù)： 2n；奇數(shù) 21 或 21,其中 n 屬于整數(shù)；3. 奇數(shù)與偶數(shù)：相鄰兩整數(shù)必有一奇一偶,在一個加（減）算式中,判定其結(jié)果的奇偶性,只取決于奇數(shù)的個數(shù)（奇數(shù)個奇數(shù)為奇,其余均為偶）4.奇數(shù)的正整數(shù)次冪是奇數(shù),偶數(shù)的正整數(shù)次冪是偶數(shù)；5. 最小的質(zhì)數(shù)是2,（ 20 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19）；6. 最小的合數(shù)是4,（ 20 以內(nèi)的合數(shù)有：4、6、8、9、10、1

2、2、14、15、16、18、20）；7.公倍數(shù)和公約數(shù)：對于兩個整數(shù),兩數(shù)之積等于最小公倍數(shù)乘以最大公約數(shù)8. 因式定理： 假如多項式 fa=0 ,那么多項式 fx 必定含有因式； 反過來,多項式 fx 含有因式, 就馬上推 fa=0 ；可以進一步懂得,當(dāng)因式為 0 時,原表達式也為 0；9. 10. 整除的特點：能被 2 整除的數(shù)：個位為 0、2、4、6、8 能被 3 整除的數(shù)：各數(shù)位數(shù)字之和必能被 3 整除；能被 5 整除的數(shù)：個位為 0 或 5 能被 9 整除的數(shù)：各數(shù)位數(shù)字之和必能被 9 整除199 習(xí)題篇 20220227 答案1. 已知 3a 2+25 是一個偶數(shù),那么整數(shù) a 確

3、定是（）A. 奇數(shù) B.偶數(shù) C.任意數(shù) D.0 E.質(zhì)數(shù)【解析】由于 2a 是偶數(shù),所以 3a2+5 也是偶數(shù),所以 3a2 是奇數(shù), a 確定是奇數(shù)；【考點】奇數(shù)和偶數(shù)的概念和運算2. 2,5,7,11 都是質(zhì)數(shù),假如把其中的三個數(shù)相乘,再減去第四個數(shù),這樣得到的數(shù)中,是質(zhì)數(shù)的個數(shù)為（ ）1 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記A.1 B.2 C.3 D.4 E.0 【解析】列舉法進行依次運算即可；257-11592711-51492511-71035711-2383所得結(jié)果均為質(zhì)數(shù)【考點】質(zhì)數(shù)的概念3. 已知兩個自然數(shù)的和是 50,它們的最大公約數(shù)是 5,這兩個自然數(shù)的乘積確定是（）A.9

4、的倍數(shù) B.7 的倍數(shù) C.45 的倍數(shù) D.75 的倍數(shù) E.18 的倍數(shù)【解析】設(shè)兩個自然數(shù)分別為 且 a4. 【解析】條件（1）：把 4 代入,有 26-34,即 236| 4.有64m264或-2m264或m23 mm23 mm23 mm2解之得 2,故條件（ 1）、（ 2）都充分 . 【考點】確定值不等式9 增大 2 倍. （1）2 的分母增大 2,要保持分數(shù)值不變 . （2）2 的分母變?yōu)樵鹊?2 倍,要保持分數(shù)值不變 . 【解析】條件（1）、（ 2）其實分母都變成了 4,即分母變?yōu)樵鹊?2 倍了,所以要保持值不變,就分子也應(yīng)變?yōu)?2m,即增大 1 倍,均不充分 . 【考點】分

5、數(shù)的性質(zhì)10 .ab1271a,5b2 ab07 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記【解析】條件（1）和（ 2）單獨都不充分,聯(lián)合起來,有a,5 b7或a-5 ,b7,就ab12,所以條件（ 1）和條件（ 2）聯(lián)合起來充分；【考點】確定值的三角不等式及其性質(zhì)；199 概念篇 整式與分式1.-乘法公式：ab2a22abb2ab3a33 a2 b3ab2b3a2b2ababa3b3aba2-abb2a3b3aba2abb2abc2a2b2c22ab2bc2ac2.單項式是有限個數(shù)字與字母的乘積；多項式是有限個單項式組成的；二者統(tǒng)一稱為整式；3.如單項式所含字母相同,并且相同字母的次數(shù)也相同,就稱為同

6、類項；4.兩個多項式相等,就其對應(yīng)次數(shù)項的系數(shù)相等,兩個多項式任意取值時,多項式的值都相等；5.因式分解方法：（1）提公因式法（2）公式法（利用上述公式）（3）求根法：如某一元二次方程的根是1x ,就x1x就是這個一元二次方程的一個因式；（4）十字相乘法6.F余式定理fx 得到商式gx,余式是R x,就Fxfxg xR x,其中Rx的次數(shù)小于fx的如x除以次數(shù),就（1）如有xa使fa0,就FaR a 8 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記fa（2）Fx除以xa的余式為Fa,Fx除以axFb的余式為Fbxa是Fx的一個因式,就a（3）對于Fx ,如xa時,Fa=0,就xa是x的一個因式；如0,也將

7、此結(jié)論稱為是因式定理；7.分式中分母不為0,就分式有意義；8.最簡分式（既約分式）：分子和分母沒有正次數(shù)的公因式的分式叫作最簡分式（或既約分式）習(xí)題：1.老師在黑板上寫一道數(shù)學(xué)題：已知兩多項式A,B,如 B 為 2x2 3x3,求,其中A 的多項式被擦掉了,而甲誤將看成 AB,結(jié)果求得答案為 4x25,就此題正確的答案為 . A.8x 27x1 B.10 x257 C.4x25 D.10 x 27 E.8x27 【解析】 A 4x25, 4x 25+2x 23x 3=6x2 42, 6x 242+2x 23x3=8x27x1.選 A 【考點】多項式的運算到2.如ABC 的三邊長為a、b、c中意

8、a2b2c2abacbc,就ABC 為（ ）-ab-ac-bc）0得A. 等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形E.以上結(jié)論均不正確【解析】a2b2c2abacbc變形a2b2c2-ab-ac-bc0,就（a2b2c2ab2ac2bc20abc,ABC 為等邊三角形,選C 【考點】完全平方公式的運用及常用的結(jié)論ab2ac2bc20abc3.如多項式fx3 xa2x2x3 a能被x1整除,就實數(shù)a = A.0 B.1 C.0 或 1 D.2 或-1 E.2 或 1 【解析】整除,就直接令x1即可,運算得a2或 1,選 E 【考點】余式定理4.將x36x7因式分解為（）9 / 4

9、4 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記A.x1x2x7x3-1B.x1x2-x77C.x1x2x-7D.x1x2-x7E.x1x2x-3 x6x76x6【解析】（x1） x2x1 6x1 （x1） x2x7選 A 【考點】因式分解和乘法公式199 概念篇 函數(shù)（一）一元二次函數(shù)的定義一元二次函數(shù)是指只有一個未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)；一元二次函數(shù)可以表示為：一般式：y2 axbxxcxa0；a0；頂點式：yaxb24acb22 a4a兩點式：yaxx 12a0（二）一元二次函數(shù)的圖像和性質(zhì) 一元二次函數(shù)的圖像是一條拋物線,圖像的頂點坐標(biāo)為-b,4 acab2,對稱軸是直線xb. y2a4

10、2a 當(dāng)a0,函數(shù)圖像開口向上,y 有最小值ymin4acab2但無最大值；當(dāng)a0,函數(shù)圖像開口向下,4有最大值y max4acab2但無最小值 . -b,上是增函數(shù)；4 當(dāng)a0,函數(shù)在區(qū)間-,b上是減函數(shù),在2a2 a10 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記當(dāng)a0,函數(shù)在區(qū)間-,b上是增函數(shù),在-b,上是減函數(shù) . 2 a2 a（三）一元二次函數(shù)的圖像與x 軸的交點當(dāng)b24ac0時,函數(shù)圖像與x 軸有兩個交點；當(dāng)b24ac0時,函數(shù)圖像與x 軸有一個交點；當(dāng)b24 ac0時,函數(shù)圖像與x 軸沒有交點 . 習(xí)題：1. 設(shè)實數(shù) x 中意x2y3,就x22 y2y的最小值為 . 【解析】由x3-2y

11、代入得2 xy22y5y210y9,可以看成關(guān)于y 的二次函數(shù),利用一元二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),得到最小值為4. 【總結(jié)】此題第一將已知等式代入所求的表達式中,化為只含有一個未知數(shù)的函數(shù),從而借助于拋物線來求解最值；2. 已知拋物線yx2bxc的對稱軸為x1, 且過點（ -1, 1）,那么bc. 【解析】依據(jù)一元二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)及點的坐標(biāo),得到-bb1c1b221c2【總結(jié)】依據(jù)拋物線的特點來列方程,從而得到系數(shù)；3. 設(shè) 1,a,b 成等差數(shù)列且a,b 是兩個不相等的實數(shù),就函數(shù)fxx22 axb的最小值與0 的關(guān)系；【解析】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得2 ab11ba2 a1,依據(jù)一元二次函數(shù)

12、的圖像可知fxmin4b4 a2ba22 a2a12,411 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記同時 a,b 是兩個不相等的實數(shù)可知a1,綜上所述fxmin0. 【總結(jié)】此題考查了等差中項的性質(zhì)應(yīng)用,以及二次函數(shù)最值的基本問題；199 概念篇 方程1. 含有未知數(shù)的等式叫做方程,使得方程（組）成立的未知數(shù)叫做方程（組）的解；2. 一元一次方程：方程中,只含一個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)為 1；二元一次方程：方程中,只含有兩個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)都為 1. 3. 一元一次方程的解：ax b（1）當(dāng) a 0 時,x 有唯獨解 b；a（2）當(dāng) a 0,b 0 時,x 有無窮多解；（3）當(dāng) a 0,b 0 時

13、,x 無解；4. 二元一次方程組及其解：a 1 x b 1 y c 1,a 2 x b 2 y c 2（1）如 a 1 b 1方程組有唯獨解；a 2 b 2（2）如 a 1 b 1 c 1,方程組有無窮多解；a 2 b 2 c 2（3）如 a 1 b 1 c 1,方程組無解；a 2 b 2 c 225. 一元二次方程：ax bx c 0 a 0 求根 x 1, x 2 的方式（1）配方法（2）求根公式： 方程的根xbb24acb24ac0,其中 b24 ac）稱為一元二次方程的根的判別2a12 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記式；0時,方程無實根；實根；當(dāng)當(dāng)0 時,方程有兩個相等的當(dāng)實根；0

14、時,方程有兩個不等的（3）韋達定理：描述一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：兩根分別為x 1,x2,就有x 1x2b,x 1x2c. aa習(xí)題篇1、如方程 x 2 px 37 0 恰好有兩個正整數(shù)的解 x 1, x 2 就 x 1 1 x 2 1 的值是 . p解：總結(jié)：依據(jù)韋達定理,可知 x 1x 2 37,x 1 x 2 p；靈敏地應(yīng)用韋達定理；又 x 1,x 2 為正整數(shù)解,且兩根的積 37 為質(zhì)數(shù),所以得x 1 ,1 x 2 37,p 38,帶入 x 1 1 x 2 1,得 -2. p2 22、已知關(guān)于 x 的一元二次方程 k x 2 k 1 x 1 0 有兩個相異實根,就求 k 的取值范疇；

15、解：總結(jié)：2由題意知,k2 ,0k 1 2-4 k 20 解得 k 14 且 k 0 . 考查點為判別式與一元二次方程的實根個數(shù)的關(guān)系；2 2 2 21、x 1, x 2 是方程 x k 2 x k 3 k 5 0 的兩實根,就 x 1 x 2 的最大值 . 13 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記解：x 2kk5222k23 k50總結(jié)：2 x 1x2x 1x 222x 1靈敏應(yīng)用韋達定理和判別式2k210 k6k219k23 k5與一元二次方程的實根個數(shù)224由于方程有兩個實數(shù)根就解得-4k4；的關(guān)系；3依據(jù)拋物線的圖像可知,當(dāng)k4時,2 x 12 x 2取到最大值18 . 199 概念篇

16、不等式1. 不等式的解集對于含有未知數(shù)的不等式,能使其成立的未知數(shù)的值的集合,叫做這個不等式的解集；2 一元二次不等式（1）方法一：可通過一元圖象進行求解；依據(jù)二次項系數(shù)的正負,開口方向,頂點坐標(biāo),對稱軸等,接受數(shù)形結(jié)合的思想,進行初步判定解集情形；再利用求根公式求出方程的兩個實數(shù)根,寫出解集；（2）方法二：可利用用解一元二次不等式；3. 含確定值的不等式 解含確定值不等式一般有兩種思路：（1）利用確定值的性質(zhì)去掉確定值符號（2）利用平方進行等價變換4. 高次不等式先不等式變形,使不等式兩邊,一邊為0,然后再解相對應(yīng)的高次等式的根,最終利用穿根法求解：（1）最高次項的系數(shù)確定為正,才可以從數(shù)軸

17、右上角開頭；（2）穿線法就是奇穿偶不穿,即含 5. 分式不等式x 的因式,偶數(shù)次冪和奇數(shù)次冪；先轉(zhuǎn)化成整式不等式再進行求解,留意分母必需有意義；14 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記習(xí)題篇1、設(shè)0 x1 ,就不等式3x221的解是 . x21解：3x2總結(jié)：0 x1 ,就x210. 對于分式不等式通常2x210先轉(zhuǎn)化成整式不等式3x2213x22-10再進行求解, 同時留意x21x212 2. 1x21分母必需有意義；即2 x2102x2又0 x1 ,解集為0 x2.0有兩個相異實根,且兩根均在區(qū)間0, 上,就實數(shù) a 的取值范疇 . 1x22、關(guān)于 x 的方程x2a解：3a1. 總結(jié)：區(qū)間根

18、問題,依據(jù)題意,知區(qū)間根問題使用“ 兩點式” 解題方a1240法,即看頂點（橫坐標(biāo)相當(dāng)于對稱0a212解得 :軸,縱坐標(biāo)相當(dāng)于）,再看端點2（根所分布區(qū)間的端點）；f00f20對于一元二次方程的不等式問題,要有數(shù)形結(jié)合的思想,即先畫出圖象的草圖再進行求解；3、已知不等式ax22x20的解集是1,1,就a. 3215 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記解：11,x21,總結(jié)：依據(jù)題意知x 1留意一元二次不等式、一元二次方32程之間的關(guān)系；由韋達定理可知1x 1x221a326即a12199 概念篇 數(shù)列一數(shù)列：數(shù)列的定義：依確定次序排列的一組數(shù)；數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項；數(shù)列的一般表達式為

19、a a a 3 , , a n , 或簡記為 a n；項數(shù)有限的數(shù)列稱為有窮數(shù)列,項數(shù)無限的數(shù)列稱為無窮數(shù)列；數(shù)列通項 : 其中 a 叫做數(shù)列 a n 的通項, 自然數(shù) n 叫做 a 的序號； 假如通項 a 與 n 之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個關(guān)于 n 的解析式 f n 表達,就稱 a n f n 為數(shù)列 a n 的通項公式；數(shù)列的前 n 項和（記作 ns ）對于數(shù)列 a n 明顯有 S n a 1 a 2 a ；二等差數(shù)列：a n是等差數(shù)列等價于a n1a nd d為常數(shù)）；a2c；等差數(shù)列的通項公式：a n= a 1+n -1d ,a n=a m+n- m d ；等差中項：如a b c 成等差

20、數(shù)列,就b 是 , a c的等差中項,且b等差數(shù)列的前n 項和S nn a 1an,S nna 1n n21d2（三）等比數(shù)列a n是等比數(shù)列等價于a n1q q 為常數(shù)）；b2ac ；a n等比數(shù)列的通項公式：a n= a qn1,a n=a qn m；等比中項：如a b c 成等比數(shù)列,就b 是 , a c的等比中項,且16 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記等比數(shù)列的前n 項和S na 11qnq1；1q習(xí)題解：1、數(shù)列a n的前 n 項和S nn4 n2n2,就它的通項a n總結(jié)：當(dāng)n1時,a 1S 1.34-12n-12 8 n.3要留意分情形爭辯；當(dāng)n2時,a nS nS n142

21、nn2an,33 ,n1從而8 nn2S n3an3,就它的通項a n2、數(shù)列a n的前 n 項和2解：1時,a 1S 13a 13 ,得a162 x總結(jié)：當(dāng)n要留意分情形爭辯,此題先得到2an與an-1的關(guān)系式,再求出通項當(dāng)n2時,anS nS n13an33an13整理得a n3 an1,即a n13a ；22an因此a n是首項為a 16,公比q3的等比數(shù)列,即a n23n；y23、設(shè)a b c 三數(shù)成等差數(shù)列,如,x y分別是a b 和b c 的等比中項,求解：2 bac所以x2y2bac2b2總結(jié)：考查了等差、等比數(shù)列的中項；由題意得x2aby2bc17 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

22、筆記習(xí)題1、一元二次函數(shù)yx1x的最大值為 . 總結(jié) : 解：方法一：用二次函數(shù)求最值1,ymax1此題考點二次函數(shù)的最值、平y(tǒng)xx2x12均值不等式244方法二：用平均值定理求最值x1xa,x1x21,是方程ax2bxc0的兩個根,且, 就3-3242、已知b ,c三數(shù)成等差數(shù)列, 又成等比數(shù)列, 設(shè)解：abc0,原方程可化為總結(jié) : 由于a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列,又成等比數(shù)列,故考查了數(shù)列與方程根x2x10,2-41-2依據(jù)韋達定理得3-3-511就 m 的值為 . 3、設(shè)方程3 x2mx50的兩個實數(shù)根1x 和x 中意x 1x218 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記解：xm1m2050a

23、20,就對于中意ax20總結(jié) : 依據(jù)韋達定理,有借助韋達定理求出兩根的導(dǎo)數(shù)11x 1x 2和；3 5x 1x 2x 1x 24、設(shè)yxa3xa,其中的 x 值, y 的最小值是20解：ax20,yxa20 xa20 x40 x,總結(jié) : 由于依據(jù)取值范疇進行確定值的化當(dāng)x簡,然后依據(jù)x 的取值范疇討20時, y 取得最小值是y20論 y 的變換范疇；充分條件判定題1、設(shè) a,b 是兩個不相等的實數(shù),就函數(shù)fxx22axb的最小值小于零；（1）1,a,b 成等差數(shù)列；（2）1,a,b 成等比數(shù)列；解：總結(jié) : 題干欲證最小值4 b4a20ba20；拋物線的最小值4條件（ 1）依據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可

24、得2 a1bb2 a1,2a10；ba22a1a2a2當(dāng)a1時,有a22a10；又因 a,b 是兩個不相等的實數(shù)是兩個不相等的實數(shù),所以a1,故a22a10,即ba2充分；19 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記條件（ 2）,依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得a2b,就ba2a2a20,故不充分；2、log x1（1）x2, 4 ,1a1.2x4,6 , 1a2.logaxxloga11故充分；總結(jié) : 2解：題干欲證 logax1logax1 或logax1；考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；a條件（ 1） ,1 21 且x1,就對數(shù)單調(diào)減小,有aa條件（ 2）, 1a2 且xa,就對數(shù)單調(diào)減大,有l(wèi)ogaloga

25、a1故也充分；平面幾何 1. 三角形相關(guān)結(jié)論（1）三角形外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角之和；（2）兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊；（3）三角形的“ 四心”內(nèi)心：內(nèi)切圓圓心,角平分線的交點；內(nèi)心到三邊的距離相等；外心：外接圓圓心,三邊的垂直平分線的交點；重心：三條中線的交點,重心將中線分成 2：1 兩段；垂心：三條高的交點；（4）直角三角形的勾股定理 勾股定理,常用的勾股數(shù)要記住（3,4,5）,（ 6,8, 10）,（ 5,12,13）；直角三角形與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系：設(shè)直角三角形三邊分別為 a,b,c（ c 為斜邊）,內(nèi)切圓半徑為 r,就 r（a b c）/ 2 20 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)

26、復(fù)習(xí)筆記（5）相像三角形面積的比等于相像比的平方（6）三角形面積公式通用的公式：S1 2ah1ppba pbpc 其中,pac,是三角形的周長的一半；（半周長）2等腰三角形的面積：S1ab2a2,（a 為底邊,b 為腰長）24等邊三角形的面積：S3 a 422. 四邊形（1）梯形：設(shè)上底為a,下底為 b,高為 h,就中位線（）/2,面積（） 2 （2）平行四邊形：設(shè)兩邊為 a,b,以 b 為底邊的高為 h,就面積（3）菱形：設(shè)四邊邊長均為 a,以 a 為底邊的高為 h,就面積 1l 2/2,其中 l 1,l2 分別為對角線的長3. 圓和扇形（1）扇形：設(shè) 為扇形角的弧度數(shù), 為扇形角的角度,r

27、 為扇形半徑,就弧長 : l3602r扇形面積：S360r21lr2（2）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦（3）等弧對等角,同一段弧所對的圓心角是圓周角的2 倍,直徑所對的圓周角為直角. 習(xí)題：1、三角形的兩邊長分別為2 和 9,周長為偶數(shù),就第三邊的長為. 總結(jié) : 解：設(shè)第三邊長為x,就 7x11,由于周長為偶數(shù),考查了三角形邊的關(guān)系：三角形任所以第三邊長為奇數(shù),故x 等于 9. 意兩邊之和大于第三邊,兩邊只差小于第三邊；21 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記2、梯形的上底與下底分別為 5,7,E 為與的交點,過點 E 且平行于,就解：總結(jié) : 依據(jù)梯形的性質(zhì),相像三角形的性質(zhì)；P2 是

28、以 P1 的四邊中點為頂點的正方形,是以總結(jié) : 可知AED相像于CEB,AE5EC7MEAE5ME5BCBCAC1212NECE7ME7ADADCA1212MNMENE3563、P 是以 a 為邊長的正方形,P1 是以 P 的四邊中點為頂點的正方形,1 的四邊中點為頂點的正方形,就P6 的面積是 . 解：后一個正方形的面積是前一個正方形1 面積的12.；正方形 P 面積是a2.歸納遞推關(guān)系；正方形 P1面積是a22.正方形 P2 面積是a222.遞推知：正方形 P6面積是a226即a2；64立體幾何一、長方體設(shè)長方體三條相鄰的棱長分別為 a b c ,22 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記（

29、1）體積VSabc；ca（2）全面積2abbc（3）體對角線da2b22 c（4）當(dāng) abc 時,為正方體二、圓柱體設(shè)圓柱體的高為 h ,底半徑為 r ,軸截面為矩形,其中一邊長為底面圓的直徑,另一邊為圓柱的高（母線長）；側(cè)面開放圖為矩形,其中一邊長為底面圓的周長,另一邊為圓柱的高（母線長）；（1）體積VS 側(cè)2 r h2r2（2）側(cè)面積2rh（3）全面積2rhS三、球 設(shè)球半徑為 R ,（1）體積V43 R3（2）面積S4R2四、長方體、正方體、圓柱與球的關(guān)系設(shè)圓柱底面半徑為r ,球半徑為 R,圓柱的高為 h ；外接球2R3 內(nèi)切球長方體無體對角線l正方體棱長a2R體對角線l2 2R只有軸截

30、面是正方形的圓柱才有,h22 22R圓柱此時有 2 rh2R習(xí)題：1、一個長方體,有共同頂點的三條對角線長分別為2bb2a,b ,c,它的體對角線長是（）；a2b2c2c2（C）1 4（A）a2b2c2（B）1a2（D）a2b2c2（E）a22c22323 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記解析：x,y ,z,體對角線為 lc2考點：設(shè)長方體長、寬、高分別為考查了對角線與體對角線的關(guān)系；就有x2y2a2,y2z2b2,z2x2c2,所以體對角線長是lx2y2z2a2b22答案選擇 D. 2、現(xiàn)在一個半徑為 R 的球體,擬用刨床將其加工成正方體,就能加工成的最大正方體的體積是（）；解析：A8 R

31、33B893R3C4 R 33D1 R 33E）3 R 93總結(jié)：正方體內(nèi)接于球體時體積最大,設(shè)正方體長為a,就此題考查了正方體的內(nèi)切球；2R3aa2R,所以正方體體積3Va3893R3答案選擇 B. 3、一圓柱體的高與正方體的高相等,且它們的側(cè)面積也相等,就圓柱體的體積與正方體體積比值是（）；A4B3r. 2a4a3C3D4E）解析：總結(jié)：設(shè)正方體棱長為a,圓柱體底面半徑為此題考查了圓柱體的體積與正方體由于S 正方體側(cè)面S 圓柱體側(cè)面,2a體積；所以4a22rar2a.因此V 正方體a3,V 圓柱體r2a圓柱體的體積與正方體體積比值是424 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記 答案選擇 A ；

32、解析幾何（上）一、平面直角坐標(biāo)系1、定義平面直角坐標(biāo)系中的點與有序?qū)崝?shù)對 ,y 一一對應(yīng)yOx2、有向線段的定比分點設(shè)點A x 1,y 1,B x2,y2,點P x ,y 是直線 AB 上不同于點B 的一點,如AP,就稱為點 P 分有PB向線段 AB 所成的比；分點 P 的坐標(biāo)為xx 1x 2,yy 1y 2；xx 12x2,yy 12y2；11特別地,當(dāng)1時,點 P 為線段 AB 的中點,就二、平面直線 1、直線方程（1）點斜式：過點P 0 x 0,y0,斜率為 k 的直線方程為x0（2）斜截式：斜率為yy0k xk ,在 y 軸上的截距為 b 的直線方程為25 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

33、筆記ykxb）（3）兩點式：過兩個不同的點P x 1,y 1,P 2x 2,y2的直線方程為yy 1xx 1（x 1x 2且y 1y2y 2y 1x2x 1（4）截距式：在x 軸上的截距為a ,在 y 軸上的截距為 b 的直線方程為xy1 a0且b0ab（5）一般式：AxByC0（A B 不全為零）2、兩條直線的位置關(guān)系設(shè)兩條直線l1:yk xb , l2:yk xb 或l1:A xB yC 10,l2:A xB yC20兩條直線的位置關(guān)系有四種：（1）重合k12k2,b 1b2A 1B 10C 1A 2B2C2（2）平行k1k2,b 1b 2A 1B 1C 1A 2B 2C2（3）相交k 1

34、k21A 1B 1A 2B 2（4）垂直k kA A 2B B 2習(xí)題：1、如k,1 ,b三個數(shù)成等差數(shù)列,就直線ykxb必經(jīng)過點（）；1,2E.2,1B.1,D.A.1,21,C.26 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記解析：b成等差數(shù)列知kb12,即b2k,直線化為總結(jié)：由k,1此題考查了定點如何求；ykxk2即y2kx,過定點,12答案選擇 A. 2、已知直線l1:a2x1ay30和直線l2:a1x2 a3y20相互垂直,就a 等于（）；A. -1 1a2 aB. 1 a1a1C.1D.3E. 0 2解析：總結(jié)：3,0兩直線垂直 ,就此題考查了兩直線的位置關(guān)系；a2a1可得a1；答案選擇

35、C. 3、已知平行四邊形的三個頂點 A（-1,-2）, B（3, 4）, C（0,3）,就頂點 D 的坐標(biāo)為（）A.（4,3）B.（ 4,3）C.（ 4, 3）D.（ 4, 4）E.（ 3, 4）解析：總結(jié)：設(shè)平行四邊形的對角線,的交點為 E（） ,可知 E為的中點,利用平行四邊形的性質(zhì)求點所以 坐標(biāo)；1 0 1 3 2 1x , y2 2 2 2E也是的中點,所以3x Dx D1,4yD12222解得,4y D3答案選擇 C. 1 解析幾何（中）平面直線27 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記 3、直線夾角（1）傾斜角直線斜率 k 的運算公式：設(shè)為直線 l 的傾斜角,0, ,就ktan,2；x

36、2；tank 2k 1；設(shè)P x y 1,P 2x 2,y2是直線 l 上的兩個不同的點,就ky2y 1,x 1x2x 1直線AxByC0的斜率為0；kA,BB0,（2）到角：直線1l 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到直線2l 時所轉(zhuǎn)的角,記作設(shè)直線l1、l2的斜率分別為k k ,且k k21,就tank 2k 1；,有1k k2（3）夾角：直線1l 到2l 的角和直線2l 到1l 的角中較小的角,記作0,21k k 24、兩條平行直線的距離設(shè)直線l l 的方程分別為為AxByC 10,AxByC20,就兩條直線的距離為dC 1C 2A2B25、兩種對稱（1）兩點關(guān)于直線對稱：垂直、平分點 , a b 關(guān)于

37、 x 軸的對稱點為 ,b 點 , a b 關(guān)于 y 軸的對稱點為a b , 28 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記點 , a b 關(guān)于原點的對稱點為a ,ba點 , a b 關(guān)于 yx的對稱點為 , 點 , a b 關(guān)于 yx的對稱點為b,（2）直線和直線關(guān)于直線對稱：交于一點,到角相等直線 ykxb 關(guān)于 x 軸的對稱直線為ykxbbb直線 ykxb 關(guān)于 y 軸的對稱直線為ykxb直線 ykxkyb 關(guān)于直線 yx的對稱直線為x直線 ykxxkyb 關(guān)于直線 yx 的對稱直線為習(xí)題1、設(shè)點A7 ,4,B,56,就線段的垂直平分線的方程為（）C.6x5y10A.51B.6x5y10 x4y0

38、總結(jié)：D.7x5y20E.2x5y70解析：設(shè)點 P為的垂直平分線上任意一點,就此題神奇地利用了線段垂直平PA7PB可得20 x52y62分線的性質(zhì)；x2y4解得6x5y1答案選擇 C.2、條件充分判定直線 L 的方程為4x3y79y0.和x3y40的交點；（1）L 經(jīng)過兩條直線2x310（2）L 與直線3x4y0垂直；29 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記 解析：總結(jié)：條件（ 1）和（ 2）明顯單獨不充分,聯(lián)合起來,有：考查了兩直線的位置關(guān)系,點斜兩條直線2x3y10和x3y4x5,直線 L 的斜率是式確定直線的方程；30的交點為y7k4,所以直線L 的方程為4x3y990.33、點P,27

39、關(guān)于直線xy30的對稱點是（）；解析：a,bA.5 ,4 PP 垂直平分得b27B.4,5 0a4C-4,-5 D.-5 ,-4 E.7,2 總結(jié)：1點關(guān)于直線對稱,解題要點： 兩設(shè)點P, 由對稱軸將a2點連線垂直平分對稱軸；a2b273b5答案選擇 B.2 解析幾何（下）三、圓在一個平面內(nèi),線段OA繞它固定的一個端點旋轉(zhuǎn)一周,另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓（第確定義）；平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合（其次定義）；1、圓的方程（1）標(biāo)準方程：圓心為 , a b ,半徑為 r 的圓的方程為b 2r20 xa2y（2）一般方程：x2y2DxEyF0D2E24 F30 / 44 治理類

40、聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記一般方程可通過配方化為標(biāo)準方程：xD2yE2D2E24F2242、點與圓的關(guān)系設(shè)點P xp,yp到圓xx 02yy 02r2的圓心的距離為d ,x 02r2（1）點在圓內(nèi)dr ,x p2 ypy 0（2）點在圓上dr ,2x px 02 ypy 0r2（3）點在圓外dr ,x px 02 ypy 02r23、直線與圓的關(guān)系直線l:ykxb ,圓O: xx02yy 02r2, d 為圓心x0,y 0到直線 l 的距離；直線與圓的交點坐標(biāo)即是方程組ykxbyy 02 r2的解；xx 02（1）相交dr ；（2）相切dr ；（3）相離dr ；4、圓的切線方程2 2（1）已知圓方程：x

41、 y Dx Ey F 0；如已知切點 x 0 , y 0 在圓上,就切線只有一條,其方程是：D x 0 x E y 0 y x x y y F 0；2 2當(dāng) x 0 , y 0 在圓外時 , x x y y D x 0 x E y 0 y F 0 表示過兩個切點的切點弦方程；2 2過圓外一點的切線方程可設(shè)為 y y 0 k x x 0 ,再利用相切條件求 k ,這時必有兩條切線,留意不要漏掉平行于 y 軸的切線；斜率為 k 的切線方程可設(shè)為 y kx b ,再利用相切條件求 b ,必有兩條切線；2 2 2（2）已知圓方程：x y r；2過圓上的 P x 0 , y 0 點的切線方程為 x x

42、y y r；斜率為 k 的圓的切線方程為 y kx r 1 k 2；5、圓與圓的關(guān)系31 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記設(shè)兩圓方程分別為O 1: xx 12ya 1y 12y2 r ,O 2xx 22yy222 r ,圓心距為 d ；x2b 122 r 1圓與圓的交點坐標(biāo)即是方程組的解；r 2xa 22yb 22r2 2（1）內(nèi)含dr 1r 2（2）內(nèi)切dr 1r 2（3）相交r 1r 2dr 1（4）外切dr 1r2（5）外離dr 1r2習(xí)題篇1.曲線x22xy220上點到直線3x4y120的最短距離是（）；E. 2A.3 5B.4C.1D.4 35解析：y1,圓心1, 到直線3x4y12

43、0的距離總結(jié)：圓的方程為x-12先確定直線與圓的關(guān)系,這d31291里最短距離等于為圓心到已r知直線的距離減圓的半徑；9165所以最短距離為dr45答案選擇 B. 2.已知直線axby30a,0b0過圓x24xy22y10的圓心,就ab的最大值為（）；aD.93 2時,達到E.9 4A.9 16B.11C.316482解析：總結(jié)：y-1222,圓心-2, 到以解析幾何為背景,利用二圓的方程為x23 b 4次函數(shù)或者基本不等式求最0a直線axby3,0b0得2ab3值；2ab22 ab,就ab9,當(dāng)且僅當(dāng)利用均值不等式得38最大值；答案選擇 D. 32 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記3.設(shè) P

44、 是圓x2y22上的一點,該圓在點P 的切線平行于直線xy20,就點 P的坐標(biāo)為（）；D.2,0E.1,A.-1,1B.1,-1C.0,2總結(jié)：解析：設(shè)Pa , b,依據(jù)題意可知OP直線xy20,可得方程畫草圖可以判定出圓x2y22與平行于直線a2b22E. b11,可以解出ab1xy20的切線相切, 切a點在第一象限或第三象限；答案選擇 E. 方法二：利用排除法；由于切點在第一象限或第三象限,所以答案選擇習(xí)題1. 已知兩點Pa ,bc,Qb ,ca,就直線 PQ 的傾斜角為 . D.135E.60A. 45B.90C.120解析：,tancabcab,1總結(jié)：設(shè)直線 PQ 的傾斜角為直線的傾

45、斜角取值范疇baba且0, 180,所以0, 180,要記清；135答案選擇 D 2. 直線l1:y3 x1到直線2l：y2的角是（）；A.120B.90C.0D.135E.033 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記解析：13,k203總結(jié)：由題意,知k求到角時,確定要明確哪條依據(jù)到角公式tank2kk 1直線到哪條直線；11 k2直線1l 到直線2l的角為 120答案選擇 A 3. 等腰三角形兩邊長4 和 6,就它的面積是（）；D.82 或37E.15A.82B.82 或 15C. 37解析：總結(jié)：由三角形的性質(zhì)知,等腰三角形的邊長為4,4,6 或 4,6,6 三角形有兩種情形, 要分情形所以

46、S16737或S144282求；22答案選擇 D4. 如 P（2, -1）為圓x12y225的弦的中點,就直線的方程為（）；C.2xy30A.xy30B.2xy-30D.xy10E.2xy50總結(jié)：此題考查了圓的弦中點的解：依據(jù)題意知圓心O,10,所以kpo01111性質(zhì)、兩條直線垂直時,其斜率21關(guān)系；由于POAB,所以kAB1y30那么直線的方y(tǒng)1x2,即x答案選擇 A.充分條件判定題1.正方形的面積為1. xx1；（1）的直線方程為y2（2）的直線方程為y1；34 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記解：,0得x2,所以 A 點的坐標(biāo)為2 ,02總結(jié)：條件（ 1）：令y對于解析幾何中的面積問

47、題,求2正方形面積時,通過交點求出邊AO2,AD1,正方形的面積為1, 條件（ 1）充分；長即可；2條件（ 2）：令y,0得x1,所以 A 點的坐標(biāo)為1,0AO,1 AD2,正方形的面積為2, 條件（ 2）不充分；答案選擇 A.2.已知圓 C:xa2y224a0及直線l:xy30,就直線被圓C 截得的弦長為23；（1）a2;1l:xy30總結(jié)：（2）a2;1解：此題考查了直線與圓相交的情圓 C 的圓坐標(biāo)為a ,2,半徑為r2,就圓心到直線的距離da23.那么2324-a212a22a10況,要留意弦長與圓半徑的關(guān)系；2解得a12所以條件（ 1）充分,條件（2）不充分；答案選 A 加法與乘法計數(shù)

48、原理一、加法原理和乘法原理加法原理 ：做一件事,完成它有 n 類方法,在第一類方法中有 m 種不同的方法,在其次類方法中有 m 種不同的方法 在第 n 類方法中有 m 種不同的方法,那么完成這件事共有：N m 1 m 2 m 種不同的方法；乘法原理 ：做一件事,完成它需要分成 n 個步驟,做第一步有 m 種不同的方法,做其次步有 m 種不同的方法 做第 n 步有 m 種不同的方法,那么完成這件事共有：N m 1 m 2 m 種不同的方法；二、加法原理和乘法原理的異同35 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記 相同點：分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理,回答的都是關(guān)于做一件事的不同方法種數(shù)的問題；不同點：加

49、法原理是完成這件事的分類計數(shù)方法（每一類都可以獨立完成這件事）,乘法原理是完成這這件事 的分步計數(shù)方法（每個步驟都不能獨立完成這件事）；習(xí)題 1.3 個女生和 5 個男生排成一排,假如女生必需在一起,就共有（）種不同排法；A. 4220B. 4320C.4300D.22206 個元E.286解析：5 個男生合住在一起共有總結(jié)：將三個女生捆綁在一起,把她們看成一個整體,同此題考查了排隊問題中,對素,所以共有3 p 36 p 64320于相鄰問題要接受捆綁法；答案選 B2. 七個人排成一排,甲、乙、丙三個互不相鄰的排法共有（）種；A.840B.1020C.1100D.1340E.1440解析：總結(jié)

50、：先將除甲、乙、丙之外的4 個人全排列,有4 p 種排法；此題考查了排隊問題中,對再將甲、乙、丙插入四個人形成的5 個空中,有5 5p 種排法于 不 相 鄰 問 題 要 采 用 插 空法；所以共有4 p 43 p 51440答案選 E3.5 個數(shù)的算術(shù)平均值為25,現(xiàn)在去掉一個數(shù),剩余數(shù)的算術(shù)平均值為31,就去掉的數(shù)為（）；A.1 B.6124；C.11D.124E.2解析：總結(jié)：5 個數(shù)的和為： 25 5125 ；此題較為簡潔,考察了算術(shù)剩余數(shù) 4 個數(shù)的和為 : 31 4平均值的定義；就去掉的數(shù)為1. 答案選 A36 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記排列組合二、排列與排列數(shù)公式1、排列從

51、n 個不同元素中,任取m mn 個元素,依據(jù)確定的次序排成的一列,叫做從n 個不同元素中任取m 個元素的一個排列；【注】兩個排列相同的條件：含有相同元素；元素排列次序完全相同；2、排列數(shù)從 n 個不同元素中任取 m m n 個元素的全部排列的種數(shù),叫做從 n 個不同元素中任取 m 個元素的排列數(shù),m m用符號 p n（或 A n）表示；當(dāng) m n 時,即從 n 個不同元素中取出 n 個元素的排列,叫做 n 個元素的全排列,也叫n 的階乘,用符號 n ！表示；m【注】排列與排列數(shù)的不同：排列不是數(shù),而排列數(shù)是一個數(shù),所以,符號 p n 只表示排列數(shù),而不表示具體的排列；3、排列數(shù)公式排列數(shù)公式如

52、下：pmn n1n2nm10 P n1,0.1；npmnn.nn,規(guī)定mpmn.n留意：n.1 2 3pmk p pm knn k4、元素可重復(fù)的排列二、從 n 個不同元素中,每次取出m 個元素,其中答應(yīng)元素重復(fù)顯現(xiàn),再依據(jù)確定的次序排成一列,那么第一、第、第 m 位上選取的方法都是n 個,所以從 n 個不同元素中,取出m 個可重復(fù)元素的排列種數(shù)是m n 個；三、組合與組合數(shù)公式1、組合從 n 個不同元素中,任取m mn 個元素并成的一組,叫做從n 個不同元素中任取m 個元素的一個組合；【注】不同元素；37 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記 “ 只取不排” 無序性；相同的組合：元素相同；2、組

53、合從 n 個不同元素中任取m mn 個元素的全部組合的總數(shù),叫做從n 個不同元素中任取m 個元素的組合數(shù),用符號Cm表示；n規(guī)定C01,明顯n C =1 n3、組合數(shù)公式Cmpm.nmm1；nnpmmCmn n1n2nmCmm.n.m .nnm P nCm P m排列是先組合再排列：n4、組合數(shù)的兩個性質(zhì)CmCn mmn時,運算Cm可變?yōu)檫\算Cn m,能夠使運算簡化；nn【注】此性質(zhì)作用：當(dāng)nn2Cm1CmCm1nnn【注】此性質(zhì)作用：恒等變形,簡化運算；四、常用組合恒等式（1）C0C1 n2 C nn C n12n；n（2）C0C2 nC4 n2n；n（3）C1C3 n5 C nn 21；n

54、概率1.隨機試驗和隨機大事（1）隨機試驗38 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記 如試驗中意條件：試驗可在相同條件下重復(fù)進行；試驗的結(jié)果具有許多可能性；試驗前不能精確知道會顯現(xiàn)何種結(jié)果,只知道全部可能顯現(xiàn)的結(jié)果；這樣的試驗叫作隨機試驗,簡稱試驗,常記為 E；（2）樣本空間、樣本點隨機試驗 E 的全部可能結(jié)果組成的集合稱為E 的樣本空間,記為 ；樣本空間的元素,即E 的每個結(jié)果,稱為樣本點,記為. （3）隨機大事 隨機大事是在確定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的大事,常記為 ,（4）基本事件、必定大事、不行能大事 由一個樣本點組成的單點集,稱為基本事件,基本事件也叫樣本點,樣本點一般不行再分；樣本空間

55、包含全部 樣本點,在每次試驗中總是要發(fā)生的,稱為必定大事,常記為 ；每次試驗中確定不發(fā)生的大事,稱為不行能大事,記為 .；2.大事的關(guān)系及運算（1）假如大事 A的發(fā)生必定導(dǎo)致大事B 的發(fā)生,就稱大事B 包含大事 A,或稱大事 A 包含于大事 B ,記作BA 或AB. （2）假如大事 B 包含大事 A,且大事 A包含大事 B ,即BA 且AB；A與 B 相等,記作也就是說,二大事A 與 B 中任一大事發(fā)生必定導(dǎo)致另一大事的發(fā)生,就稱大事AB. （3）“ 二大事A與B中至少有一大事發(fā)生” 這一大事叫做大事AB. A 與 B 的并,記作“n 個大事A 1,A 2,A n中至少有一大事發(fā)生” 這一大事

56、叫做大事A 1,A 2,A n的并,記作A 1A 2A n 簡記為inA i. 1（4）“ 二大事 A與 B 都發(fā)生” 這一大事叫做大事A 與大事 B 的交,記作39 / 44 治理類聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)筆記AB或AB；,A n都發(fā)生” 這一大事叫做A 1,A 2,A n的交,記作“n 個大事A 1,A 2A 1A 2A n或A 1A 2A n 簡記為inA i.1（5）假如二大事A 與 B 不行能同時發(fā)生,即AB,就稱二大事 A 與 B 是互不相容的 或互斥的 . 通常把兩個互不相容大事 A與 B 的并記作A B . 假如 n 個大事 A 1 , A 2 , , A n 中任意兩個大事不行能同時發(fā)生,即A i A j 1 i j n ,就稱這 n 個大事是互不相容的 或互斥的 . 通常把 n 個互不相容大事 A 1 , A 2 , , A n 的并記作nA 1 A 2 A n 簡記為 A i .i 1即（6）假如二大事 A與 B 是互不相容的, 并且它們中必有一大事發(fā)生,即二大事 A 與 B 中有且僅有一大事發(fā)生,AB 且 A B ,就稱大事 A 與大事 B 是對立的 或互逆的 ,稱大事 B 是大事 A的對立大事 或逆大事 ,同樣大事 A 也