非線性控制系統(tǒng)仿真與CAD課件

1、非線性控制系統(tǒng)仿真與CAD非線性控制系統(tǒng)仿真與CAD目 錄1. 概述2. 相軌跡分析及CAD3. Lyapunov穩(wěn)定性理論 4. 非線性系統(tǒng)反饋線性化方法5. 滑模變結構控制方法4.1 精確反饋線性化4.2 模型參考反饋線性化目 錄1. 概述2. 相軌跡分析及CAD3. Lyapun微分方程與系統(tǒng)分類非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)定常系統(tǒng)時變系統(tǒng)輸入輸出參數(shù)時間本質(zhì)非線性系統(tǒng)非本質(zhì)非線性系統(tǒng)控制系統(tǒng)微分方程一般表達式微分方程與系統(tǒng)分類非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)定常系統(tǒng)時變系統(tǒng)輸入輸出線性系統(tǒng)及其控制理論線性系統(tǒng)的定義線性系統(tǒng)的定義：用函數(shù)描述法表達被控對象時，能用線性常微分方程或方程組來描述的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。

2、線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)控制理論簡稱為線性系統(tǒng)理論(以下同)，歷史悠久，理論上較完善、技術上較成熟、應用也最廣泛。它可分為古典控制方法和現(xiàn)代控制方法兩大類。 古典控制方法：時域法、根軌跡法和*頻域法?，F(xiàn)代控制方法：狀態(tài)空間理論、多變量頻域法和其它幾何、代數(shù)方法。線性系統(tǒng)及其控制理論線性系統(tǒng)的定義非線性系統(tǒng)及其控制理論非線性系統(tǒng)的定義非線性系統(tǒng)的定義：用函數(shù)描述法表達被控對象時，只能用非線性常微分方程或方程組來描述的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)，或稱為本質(zhì)非線性系統(tǒng)。在現(xiàn)實中，絕大多數(shù)被控對象是非線性的。被控對象的許多非線性現(xiàn)象是線性系統(tǒng)理論無法解決的。被控對象中的非線性現(xiàn)象：具有飽和特性；具有多個平衡點或多

3、個操作點；狀態(tài)變量或極限環(huán)發(fā)生周期性變化；發(fā)生混沌、分岔等復雜現(xiàn)象。0非線性系統(tǒng)及其控制理論非線性系統(tǒng)的定義0非線性系統(tǒng)及其控制理論非線性系統(tǒng)理論非線性系統(tǒng)理論即非線性系統(tǒng)控制理論，同樣可分為古典控制方法和現(xiàn)代控制方法兩大類。 古典控制方法：近似線性化法相平面分析法精確線性化法漸近展開計算法諧波平衡法(描述函數(shù)法)現(xiàn)代控制方法滑模變結構控制法 反步設計法齊次控制法微分平滑法其它微分幾何方法非線性系統(tǒng)及其控制理論非線性系統(tǒng)理論現(xiàn)代控制方法無模型系統(tǒng)及其控制理論無模型系統(tǒng)的概念人們在控制理論的研究過程中發(fā)現(xiàn)：要找到較大較復雜被控對象的模型是比較困難的；過于精細復雜的模型往往是不必要的，有時可能有害

4、；對被控對象的分析和控制可以不通過模型來進行。于是，“無模型系統(tǒng)”的概念產(chǎn)生了。當把被控對象看成一個黑箱時，一切被控對象就成為“無模型系統(tǒng)” 。無模型系統(tǒng)及其控制理論無模型系統(tǒng)的概念無模型系統(tǒng)及其控制理論無模型系統(tǒng)的控制理論就是智能控制方法。智能控制至今尚無一個統(tǒng)一的定義。智能控制方法是一種更好地模仿人類智能的非傳統(tǒng)控制方法。所謂“傳統(tǒng)控制方法”，指的是被控對象和環(huán)境特征有明確的數(shù)字描述、控制目標清晰、可以量化的控制方法,即指上述的有模型系統(tǒng)的控制理論。模糊集控制神經(jīng)網(wǎng)絡控制粗糙集控制可拓控制灰色控制微粒群控制蟻群控制遺傳控制免疫控制進化控制遞階分布式控制模糊控制神經(jīng)網(wǎng)絡控制專家系統(tǒng)控制學習控

5、制無模型系統(tǒng)及其控制理論無模型系統(tǒng)的控制理論就是智能控制方法。其它控制方法魯棒控制自適應控制前饋控制預測控制容錯控制被控對象的多樣性，造就了控制方法的多樣性控制電氣機械其它控制方法魯棒控制電氣機械非線性系統(tǒng)表達式一般非線性系統(tǒng)統(tǒng)一表達式，涵蓋線性非線性仿射非線性系統(tǒng)最普遍的類型機電系統(tǒng)二階微分方程組一階狀態(tài)方程非線性系統(tǒng)表達式一般非線性系統(tǒng)非線性的來源固有非線性特性在現(xiàn)實中，絕大多數(shù)被控對象是非線性的串聯(lián)機械臂之間的非線性耦合關系含有二極管、非線性電阻等非線性元件的電路線性只是非線性在一定條件下的近似直流電機磁場不穩(wěn)定，飽和，磁滯特性電子元件的溫漂特性，集膚效應機械振動，不同溫度下變形附加非線

6、性特性飽和非線性死區(qū)滯環(huán)繼電器特性非線性的來源固有非線性特性目 錄1. 概述2. 相軌跡分析及CAD3. Lyapunov穩(wěn)定性理論 4. 非線性系統(tǒng)反饋線性化方法5. 滑模變結構控制方法4.1 精確反饋線性化4.2 模型參考反饋線性化目 錄1. 概述2. 相軌跡分析及CAD3. Lyapun考慮二階系統(tǒng)：式中 和 是 和 的函數(shù) 由于 和 都是時間t的函數(shù)，因此當t取特定值時，在 - 平面上對應一個點。當t連續(xù)變化時，將在 - 平面上留下一條軌跡相軌跡或相平面圖。相平面和相軌跡的基本概念考慮二階系統(tǒng)：式中 和 相平面和相軌跡的基本概念相平面和相軌跡的基本概念1）相軌跡上每一個點都有確定的斜率

7、二階系統(tǒng) 或等號兩邊同時除以 得令 則相軌跡方程，相軌跡上每一點的斜率都滿足該方程相軌跡的幾個性質(zhì)1）相軌跡上每一個點都有確定的斜率二階系統(tǒng) 2）相軌跡只能相交于奇點 每個初始條件出發(fā)都會有一條相軌跡，不同初始條件出發(fā)的相軌跡不會相交。 滿足 的點稱為相軌跡奇點。該點處相軌跡的斜率為一個不確定值，因此有無數(shù)多條相軌跡通過該點，他們的斜率各不相同。相軌跡的幾個性質(zhì)2）相軌跡只能相交于奇點 每個初始條件出發(fā)都會有一條相軌跡，3）相軌跡正交于 軸 軸上所有點， 總為0，這些點上相軌跡斜率為，表示相軌跡與該軸正交。 相平面的上半平面相軌跡向右運動，相平面的下半平面相軌跡向左運動。4）相軌跡的運動方向確

8、定相軌跡的幾個性質(zhì)3）相軌跡正交于 軸 軸上所有點， 總為0，這些點上1）解析法當系統(tǒng)相軌跡方程比較簡單或易于分段線性化時,可使用解析法求出相軌跡方程的解,再繪制相軌跡。 方法是直接解出 和 對 的表達 式，消去 得到 和 的關系，繪 制到相平面中即可。相軌跡的繪制1）解析法 方法是直接解出 和 對 的表達相軌跡【例】含有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)如圖所示，試繪制其相軌跡。 解 系統(tǒng)線性部分輸入/輸出關系為 非線性部分輸入/輸出關系為 引入變換 例：繪制相軌跡【例】含有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)如圖所示，試繪制其相軌跡故該系統(tǒng)的相軌跡方程式為 對所得相軌跡方程進行分離變量積分，得式中A1,A2

9、為積分常數(shù),由初始條件求得。例：繪制相軌跡故該系統(tǒng)的相軌跡方程式為 對所得相軌跡方程進行分離變量積分，由此,可在相平面上作出系統(tǒng)的相軌跡如圖所示。直線c=r將相平面分為兩個區(qū)域,即I區(qū)及II區(qū),它們分別對應于上述兩個方程式；每個區(qū)域內(nèi)的相軌跡都是一族拋物線例：繪制相軌跡由此,可在相平面上作出系統(tǒng)的相軌跡如圖所示。直線c=r將相平2）等傾線法難以解析法求解時,可使用等傾線法繪制相軌跡對非線性系統(tǒng)：將上式表示為：其中d/dx是相軌跡的斜率,令d/dx= ,為一常數(shù),上式稱為等頃線方程，各相軌跡與該曲線交點的斜率相等, 且等于 。則有相軌跡的繪制2）等傾線法對非線性系統(tǒng)：將上式表示為：其中d/dx是

10、相軌跡方法總結：（1）對于給定斜率 ,求解等頃線方程,得到一條等頃曲線。（2）給定不同的值,可在相平面上繪制不同的等傾曲線。（3）由給定的初始條件出發(fā),沿各條等傾曲線所決定相軌跡的切線方向,依次畫出系統(tǒng)相軌跡 相軌跡的繪制方法總結：相軌跡的繪制【例】 線性二階系統(tǒng)的運動方程為試用等傾線法繪制系統(tǒng)的相軌跡解:等傾線的方程即有 所以等傾線是通過相平面原點的一些直線，當時的等傾線如圖所示 例：繪制相軌跡【例】 線性二階系統(tǒng)的運動方程為解:等傾線的方程即有 所以等無論解析法或是等傾線法，均需要人為干預如何實現(xiàn)應用Matlab輔助繪制相軌跡？依靠它所提供的強大數(shù)值計算能力直接求解微分方程并繪制每根相軌跡

11、示例程序應用Matlab繪制相軌跡X0=;dX0=;for i=1:length(X0)for j=1:length(dX0)t,y=ode45(nonlinearfunc,0,Tmax,X0(i) dX0(j);hold on;plot(y(:,1),y(:,2);endend直接進行數(shù)值積分，獲得包從初值的運動軌跡無論解析法或是等傾線法，均需要人為干預應用Matlab繪制相線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)應用Matlab繪制相軌跡function dy =nonlinearfunc( t,y )dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=-y(1)*sin(y(2)-2*y(1);en

12、dfunction dy =linearfunc( t,y )dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=-2*y(1);end線性系統(tǒng)應用Matlab繪制相軌跡function dy =線性系統(tǒng)繪制程序應用Matlab繪制相軌跡phase_chart_demo.slxglobal x0; for x1=-3:0.5:0 x0=x1;0; tt,xx,yy=sim(phase_chart_demo,10,); plot(yy(:,1),yy(:,2); hold on; pause(0.1);end線性系統(tǒng)應用Matlab繪制相軌跡phase_chart_d應用Matlab繪

13、制相軌跡function drawphaseportrait(func,x0,y0)x,y = meshgrid(x0,y0);u = zeros(size(x);v = u; t=0; for i = 1:numel(x) Yprime = func(t,x(i); y(i); u(i) = Yprime(1); v(i) = Yprime(2);end for i = 1:numel(x)Vmod = sqrt(u(i)2 + v(i)2);u(i) = u(i)/Vmod;v(i) = v(i)/Vmod;end quiver(x,y,u,v,r); figure(gcf)xlabel(

14、y_1)ylabel(y_2)axis tight equal;hold onfor i=1:length(x0) for j=1:2:length(y0) ts,ys = ode45(func,0,50,x0(i);y0(j); plot(ys(:,1),ys(:,2) endendhold offfunction dy =nonlinearfunc( t,y ) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(1)-y(2)-y(1)3; dy(2)=y(1)+y(2)-y(2)3;enddrawphaseportrait(nonlinearfunc,-2:0.2:2,-2:0.2:2)應用

15、Matlab繪制相軌跡function drawphas一般二階系統(tǒng)奇點及其相平面圖 一般二階系統(tǒng)奇點及其相平面圖 非線性系統(tǒng)相軌跡非線性系統(tǒng)相軌跡目 錄1. 概述2. 相軌跡分析及CAD3. Lyapunov穩(wěn)定性理論 4. 非線性系統(tǒng)反饋線性化方法5. 滑模變結構控制方法4.1 精確反饋線性化4.2 模型參考反饋線性化目 錄1. 概述2. 相軌跡分析及CAD3. Lyapun穩(wěn)定與不穩(wěn)定系統(tǒng)在受到外力作用后，偏離了正常工作點，而當外作用力消失后，系統(tǒng)能夠返回到原來的工作點，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的.如圖(a)所示若系統(tǒng)在擾動作用消失后不能恢復平衡狀態(tài)，且偏差越來越大，則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如圖(b)

16、所示.穩(wěn)定與不穩(wěn)定系統(tǒng)在受到外力作用后，偏離了正常工作點，而當外作臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。注意：經(jīng)典控制論中，臨界穩(wěn)定也視為不穩(wěn)定。原因：(1)分析時依賴的模型通常是簡化或線性化； (2)實際系統(tǒng)參數(shù)的時變特性； (3)系統(tǒng)必須具備一定的穩(wěn)定裕量。臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間絕對穩(wěn)定與相對穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定性分絕對穩(wěn)定性和相對穩(wěn)定性兩種。系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性是指系統(tǒng)穩(wěn)定（或不穩(wěn)定）。系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性是指穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。相對穩(wěn)定性好相對穩(wěn)定性差絕對穩(wěn)定與相對穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定性分

17、絕對穩(wěn)定性和相對穩(wěn)定性兩種。定義：系統(tǒng)受到干擾后恢復到平衡位置的能力！ 系統(tǒng)輸入為單位脈沖函數(shù) ，如果輸出 隨時間的推移趨于零，即 ，則系統(tǒng)穩(wěn)定 若 ，則系統(tǒng)不穩(wěn)定內(nèi)涵：它是系統(tǒng)去掉擾動后本身自由運動的性質(zhì)，是系統(tǒng)的固有性質(zhì)，與輸入無關。對于線性系統(tǒng)，只取決于系統(tǒng)的結構參數(shù)。穩(wěn)定性的定義定義：系統(tǒng)受到干擾后恢復到平衡位置的能力！穩(wěn)定性的定義一般二階系統(tǒng)奇點及其相平面圖 一般二階系統(tǒng)奇點及其相平面圖 一個非線性系統(tǒng)的例子一個非線性系統(tǒng)的例子如何判斷非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性？對于非線性、時變、多輸入多輸出控制系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的研究，經(jīng)典控制理論無能為力。只有利用俄羅斯科學家李亞普諾夫（A. M. Lyap

18、unov）的穩(wěn)定性理論來分析和研究。A. M. Lyapunov于1892年出版專著運動系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般問題，使得Lyapunov穩(wěn)定性理論已經(jīng)成為控制理論的最重要的幾個柱石之一。主要內(nèi)容：Lyapunov第一法Lyapunov第二法如何判斷非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性？對于非線性、時變、多輸入多輸出控Lyapunov第一法求出線性化以后的常微分方程的解，分析原系統(tǒng)的穩(wěn)定性Lyapunov第二法不需要求解微分方程的解，而能夠提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息對于非線性、時變、多輸入多輸出系統(tǒng)來說，第二種方法特別重要。李亞普諾夫第二法又稱為直接法。這種方法是基于一種廣義能量函數(shù)及其隨時間變化的特性來研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的。能

19、量Lyapunov穩(wěn)定性理論Lyapunov第一法能量Lyapunov穩(wěn)定性理論例 一個彈簧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)，如下圖示。系統(tǒng)的運動由如下微分方程描述。令（1）選取狀態(tài)變量則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（2）從經(jīng)典控制理論分析其穩(wěn)定性從一個例子談起例 一個彈簧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)，如下圖示。系統(tǒng)的運動由如下在任意時刻，系統(tǒng)的總能量顯然，當 時 ，而當 時而總能量隨時間的變化率為可見，只有在 時， 。在其他各處均有 ，這表明系統(tǒng)總能量是衰減的，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 Lyapunov第二法是研究系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的。從一個例子談起動能彈性勢能總機械能在任意時刻，系統(tǒng)的總能量顯然，當 平衡點/狀態(tài)平衡點X不再變化的點仿射非

20、線性系統(tǒng)平衡點開環(huán)平衡點閉環(huán)平衡點平衡點/狀態(tài)平衡點則非線性時變系統(tǒng)定義 對于任意給定的實數(shù) ，都對應存在實數(shù) ，使?jié)M足的任意初始狀態(tài) 出發(fā)的軌線 有 （對所有 t t0）成立，則稱 為Lyapunov意義下是穩(wěn)定的。李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義則非線性時變系統(tǒng)定義 對于任意給定的實數(shù) Lyapunov意義下穩(wěn)定漸進穩(wěn)定如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 是穩(wěn)定的。從平衡狀態(tài)的某個充分小的領域內(nèi)出發(fā)的狀態(tài)軌線 ，當 時，收斂于 ，則稱 為漸近穩(wěn)定。李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義Lyapunov意義下穩(wěn)定漸進穩(wěn)定如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 一致漸進穩(wěn)定全局漸進穩(wěn)定不穩(wěn)定李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義一致漸進穩(wěn)定全局漸進穩(wěn)定

21、不穩(wěn)定李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義用Lyapunov第一近似理論分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性非線性定常系統(tǒng)方程為如果當 ，有 ，則 為高階無窮小項。 設 在 的鄰域內(nèi)，可以展開成臺勞級數(shù)：李亞普諾夫第一法用Lyapunov第一近似理論分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性非線性定常忽略高階無窮小，得到非線性系統(tǒng)的線性化模型其中這是一個雅可比矩陣李亞普諾夫第一法忽略高階無窮小，得到非線性系統(tǒng)的線性化模型其中這是一個雅可比設線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為4.1 線性二次型最優(yōu)控制器設計設線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為4.1 線性二次型最優(yōu)控制器設計定理4-6 如果式（20）所描述的線性化系統(tǒng)，A 的所有特征值具有負實部，則式（18）所描述

22、的非線性系統(tǒng)在 處為漸近穩(wěn)定。定理4-7 如果式（20）所描述的線性化系統(tǒng)，A 的所有特征值中如果有一個（或一個以上）具有正實部，則式（18）所描述的非線性系統(tǒng)在 處為不穩(wěn)定。Lyapunov第一法由以下3個定理組成：定理4-8 如果式（20）所描述的線性化系統(tǒng)，A 的特征值中有實部為零的，而其余的特征值實部均為負，則式（18）所描述的非線性系統(tǒng)在 處是否為穩(wěn)定則不能確定。（要取決于高階項）李亞普諾夫第一法定理4-6 如果式（20）所描述的線性化系統(tǒng)，A 的所有李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法少了第3個條件，不能保證漸近穩(wěn)定，只能保證一致穩(wěn)定李亞普諾夫第二法少了第3個條件，不能保證漸近穩(wěn)定，只

23、能保證一致穩(wěn)定李亞普諾夫 到目前為止，人類還沒有找到構造Lyapunov函數(shù)的一般方法。因為Lyapunov第二法給出的結果是系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件。因此，對于某個系統(tǒng)來說，找不到合適的Lyapunov函數(shù)，既不能說系統(tǒng)穩(wěn)定，也不能說系統(tǒng)不穩(wěn)定，只能說無法提供有關該系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息（即：inconclusive 沒有得出結論）。李亞普諾夫第二法 到目前為止，人類還沒有找到構造Lyapuno目 錄1. 概述2. 相軌跡分析及CAD3. Lyapunov穩(wěn)定性理論 4. 非線性系統(tǒng)反饋線性化方法5. 滑模變結構控制方法4.1 精確反饋線性化4.2 模型參考反饋線性化目 錄1. 概述2. 相軌跡分析及

24、CAD3. Lyapun目 錄非線性系統(tǒng)線性化方法條件苛刻，計算復雜基本思想：一階近似適用于工作點范圍不大情況基本思想：通過坐標變換把強非線性系統(tǒng)變換成弱非線性系統(tǒng)或通過狀態(tài)反饋以保持線性系統(tǒng)的部分特點。傳統(tǒng)近似線性化精確線性化現(xiàn)代近似線性化目 錄非線性系統(tǒng)線性化方法條件苛刻，計算復雜基本思想：一階近似線性化傳統(tǒng)近似線性化最小二乘法泰勒展開傅里葉級數(shù)展開誤差最小忽略高階項忽略高次諧波雅可比矩陣忽略高階項傳統(tǒng)近似線性化方法近似線性化傳統(tǒng)近似線性化最小二乘法泰勒展開傅里葉級數(shù)展開誤差近似線性化局部近似線性化方法近似線性化局部近似線性化方法 目前反饋線性化的方法主要有兩種：1）精確線性化方法(exa

25、ct linearization method)，如微分幾何方法，隱函數(shù)方法和逆系統(tǒng)方法等；2）基于參考模型的漸近線性化方法，如模型參考方法及模型參考自適應方法等。而確切地說，這兩種線性化方法都是模型參考方法，不過前者可稱為隱含模型參考方法（implicit model reference approach），而后者為實際模型參考方法（real model refernce approach）。非線性系統(tǒng)反饋線性化緒論 非線性系統(tǒng)的反饋線性化是近年來引起人們極大興趣的一種非線性控制系統(tǒng)設計方法。這種方法的思路是通過狀態(tài)或輸出的反饋，將一個非線性系統(tǒng)的動態(tài)特性變成（全部或部分）線性的動態(tài)特性，從

26、而可以應用熟知的線性控制的方法對系統(tǒng)進行設計與控制。反饋線性化通過嚴格的狀態(tài)變換與反饋變換來達到，線性化過程中沒有忽略任何高階非線性項，因而這種線性化是精確的。 目前反饋線性化的方法主要有兩種：非線性系統(tǒng)反饋例 控制水箱液面高度考慮將水箱中液面的高度h，控制在指定的高度 ，控制輸入是進入水箱的液體流量u，初始高度為 。 其中 是水箱的橫截面積，a是出水管的橫截面積。如果初始高度 與期望高度 相差懸殊，h的控制就是一個非線性調(diào)節(jié)問題。 動態(tài)方程式可重寫為:水箱的動態(tài)模型為 反饋線性化與標準型h最簡單形式的反饋線性化是將非線性系統(tǒng)中的非線性抵消掉，使閉環(huán)動態(tài)特性變成線性形式例 控制水箱液面高度 其

27、中 是水箱的橫截面 式中 為待求的“等效輸入” 選取 為其中 為液面高度誤差，a為一嚴格正常數(shù)，則得到閉環(huán)動態(tài)方程為： 這說明當時 ， 。實際的輸入流量由下列非線性控制律確定：式中，右端第一項用來提供輸出流量 ，第二項則是用來根據(jù)期望的線性動態(tài)特性式去改變液面高度。反饋線性化與標準型若選 ？exp(-bt) 反饋線性化與標準型若選 ？exp(-bt)類似地，如果期望高度是一個已知的時變函數(shù) ，則等效輸入 可選為： 從而仍得到 時 的結果。反饋線性化與標準型類似地，如果期望高度是一個已知的時變函數(shù) 反饋線性化與標準型反饋線性化與標準型 反饋線性化的想法，即抵消非線性并施加一個期望的線性動態(tài)特性，

28、可以直接應用于一類由所謂伴隨型或能控標準形所描述的非線性系統(tǒng)。 所謂一個系統(tǒng)是伴隨型的，是指其動態(tài)方程可以表示為 其中u是標量控制輸入，x是所關注的標量輸出， 是狀態(tài)矢量， 與 是狀態(tài)的非線性函數(shù)。這種形式的特點是盡管方程中出現(xiàn)x的各階導數(shù)，但是不出現(xiàn)輸入u的導數(shù)。若用狀態(tài)空間表示，可寫為：反饋線性化與標準型 反饋線性化的想法，即抵消非線性并施加一個期望的線性動反饋線性化與標準型機電系統(tǒng)統(tǒng)一動力學模型反饋線性化與標準型機電系統(tǒng)統(tǒng)一動力學模型若使用控制輸入 （假定 不為零）就能抵消掉非線性特性而獲得一個簡單的輸入輸出關系因此控制可選為其中 選擇使得多項式 的所有根均嚴格位于左半平面從而導致指數(shù)穩(wěn)

29、定的動態(tài)特性反饋線性化與標準型若使用控制輸入反饋線性化與標準型 對于跟蹤期望軌跡 的任務，控制律可選為：其中 為跟蹤誤差，該控制律導致指數(shù)收斂跟蹤。若標量x換成矢量，標量b換成可逆方陣，亦可獲得類似的結果。 反饋線性化與標準型 對于跟蹤期望軌跡 的任務，控制律可選一維機械手位置伺服控制系統(tǒng)選定狀態(tài)變量原系統(tǒng)狀態(tài)方程形式引入虛擬輸入反饋線性化與標準型一維機械手位置伺服控制系統(tǒng)反饋線性化與標準型非線性控制系統(tǒng)仿真與CAD課件非線性控制系統(tǒng)仿真與CAD課件反饋線性化與標準型一般假設對于形如可以定義進而有最后應用模型中x,u可以為向量也可以對系統(tǒng)中一部分進行反饋線性化反饋線性化與標準型一般假設2DOF

30、機械手伺服控制系統(tǒng)選擇狀態(tài)變量反饋線性化與標準型慣性力項離心力重力/保守力外力2DOF機械手伺服控制系統(tǒng)反饋線性化與標準型慣性力項離心力重2DOF機械手伺服控制系統(tǒng)虛擬輸入轉(zhuǎn)換關系反饋控制律反饋線性化與標準型2DOF機械手伺服控制系統(tǒng)反饋線性化與標準型反饋線性化與標準型反饋線性化與標準型function plot2arm(u)q1=u(1);q2=u(2);q1d=u(3);q2d=u(4); l1=1;l2=2; x1=l1*cos(q1);y1=l1*sin(q1);x2=l1*cos(q1)+l2*cos(q1+q2);y2=l1*sin(q1)+l2*sin(q1+q2); x1d=l

31、1*cos(q1d);y1d=l1*sin(q1d);x2d=l1*cos(q1d)+l2*cos(q1d+q2d);y2d=l1*sin(q1d)+l2*sin(q1d+q2d); clf;plot(0 x1 x2,0 y1 y2,*-);hold on;plot(0 x1d x2d,0 y1d y2d,ro-);axis(-3 3 -3 3);反饋線性化與標準型function plot2arm(u)反饋線性化與標準型結合運動學模型設計目標軌跡反饋線性化與標準型結合運動學模型設計目標軌跡反饋線性化與標準型反饋線性化與標準型function ts,dd1,d1,q1,dd2,d2,q2=tr

32、ansformx2theta(w,d,r)deltaT=0.001;t=0:deltaT:11;ts=t;x=d+r*cos(w*t);y=r*sin(w*t);theta2=pi-acos(5-(x.2+y.2)/4);theta1=atan(y./x)-atan(2*sin(theta2)./(1+2*cos(theta2); dtheta1=diff(theta1)/deltaT;ddtheta1=diff(dtheta1)/deltaT;dtheta2=diff(theta2)/deltaT;ddtheta2=diff(dtheta2)/deltaT; dtheta1=dtheta1(

33、1) dtheta1;ddtheta1=ddtheta1(1) ddtheta1(1) ddtheta1;dtheta2=dtheta2(1) dtheta2;ddtheta2=ddtheta2(1) ddtheta2(1) ddtheta2; dd1=ddtheta1;d1=dtheta1;q1=theta1;dd2=ddtheta2;d2=dtheta2;q2=theta2;反饋線性化與標準型function ts,dd1,d1,q反饋線性化與標準型反饋線性化與標準型需要精確模型結構與參數(shù)能控標準形下通過輸入抵消非線性項變換完成系統(tǒng)結構高階微分方程控制系統(tǒng)結構 反饋線性化小結需要精確模型結

34、構與參數(shù)反饋線性化小結 在非線性系統(tǒng)的模型參考方法中，基于李亞普諾夫直接方法的非線性系統(tǒng)反饋線性化方法是最重要和最有效的一種設計方法。 運用控制系統(tǒng)動平衡狀態(tài)的概念，提出一種建立在控制系統(tǒng)動平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定概念上的新的設計方法。本方法認為：控制系統(tǒng)的輸入直接控制的是系統(tǒng)的動平衡狀態(tài)。系統(tǒng)的輸出和狀態(tài)是在系統(tǒng)結構的約束下運動的。當系統(tǒng)對其平衡狀態(tài)大范圍漸近穩(wěn)定時，其狀態(tài)將在系統(tǒng)結構約束下漸近收斂于系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。當其平衡狀態(tài)運動時，系統(tǒng)的狀態(tài)亦將跟蹤其平衡狀態(tài)運動。因此控制系統(tǒng)平衡狀態(tài)的運動，即可實現(xiàn)對系統(tǒng)運動狀態(tài)及輸出的控制。 模型參考方法在跟蹤控制系統(tǒng)設計中是一種十分有效的方法。這一方法不僅

35、在相對復雜的非線性系統(tǒng)設計中得到應用，即使在線性定常系統(tǒng)的設計中同樣也得到大量的應用。模型參考反饋線性化方法動平衡狀態(tài)自由運動期望運動 在非線性系統(tǒng)的模型參考方法中，基于李亞普諾夫直接方法按上述思想，提出如下的基于平衡狀態(tài)控制原理的非線性控制系統(tǒng)反饋線性化的直接方法：（1）按系統(tǒng)的動態(tài)性能要求設計一滿足希望特性的線性動態(tài)系統(tǒng)作為模型參考系統(tǒng)。（2）以模型參考系統(tǒng)的狀態(tài)作為實際被控系統(tǒng)的被控平衡狀態(tài)。利用李亞普諾夫直接方法設計控制律使系統(tǒng)對動平衡狀態(tài)漸進穩(wěn)定。從而被控系統(tǒng)近似具有模型參考系統(tǒng)的動態(tài)特性，實現(xiàn)非線性系統(tǒng)的反饋線性化。 為此，控制系統(tǒng)的設計可分為兩步：首先，設計控制律使系統(tǒng)的平衡狀態(tài)

36、按預定的方式運動。然后，按某一指標設計系統(tǒng)，使其狀態(tài)按最佳方式向平衡狀態(tài)收斂，從而實現(xiàn)對狀態(tài)的控制。這一方法很好地解決了將僅適用于自由動態(tài)系統(tǒng)分析與設計的李亞普諾夫直接方法應用于跟蹤控制問題所帶來的理論沖突，將穩(wěn)定性問題（調(diào)節(jié)問題）與跟蹤問題統(tǒng)一起來。為控制系統(tǒng)的分析與設計提供了一條新的思路。模型參考反饋線性化方法動平衡狀態(tài)原始模型參考模型按上述思想，提出如下的基于平衡狀態(tài)控制原理的非線性控制系統(tǒng)反其中， 為狀態(tài)向量， 為控制向量， 為向量函數(shù)。 其中 為狀態(tài)向量， 為控制向量， , 為常數(shù)矩陣，并且 的所有特征值均具有負實部。則下述基于李雅普諾夫第二方法的設計可以實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài) 對 的漸近跟蹤

37、，從而實現(xiàn)非線性系統(tǒng)動態(tài)特性的線性化?？紤]一般的非線性系統(tǒng)設希望的線性系統(tǒng)動態(tài)特性為令狀態(tài)偏差為 ，則有 由以上兩式可得系統(tǒng)的狀態(tài)偏差方程為：基于動平衡狀態(tài)理論的反饋線性化直接方法其中， 為狀態(tài)向量， 為控制向量其中 ，且 。則有 的導數(shù)為： 其中 ， 為標量函數(shù)。取狀態(tài)偏差的二次型函數(shù) 因為當狀態(tài)偏差 的歐幾里德范數(shù) 時， ，平衡狀態(tài) 是在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。從而有 時， 。 由于 的所有特征值均具有負實部，因此可找到正定矩陣 ，使 為一負定矩陣。若能選取控制向量 （ 為可能用到的 的各階導數(shù)），使 ，則 為李雅普諾夫函數(shù)。基于動平衡狀態(tài)理論的反饋線性化直接方法其中 ，且 。 定理1 給定上

38、述非線性時變系統(tǒng)及模型參考系統(tǒng) 。設 穩(wěn) 定， 是模型參考自由系統(tǒng)（對應于 ）在原點平衡狀態(tài)的李雅普諾夫函數(shù)。那么，若存在控制 使 若能選擇 使 在所考慮的系統(tǒng)參數(shù)變化范圍內(nèi)非正，則可保證系統(tǒng)具有參數(shù)不確定時反饋線性化的魯棒性。 若選取的 使 ，則稱非線性系統(tǒng)被精確線性化。則偏差系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的?；趧悠胶鉅顟B(tài)理論的反饋線性化直接方法 定理1 給定上述非線性證明： 因為 是偏差自由系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的李雅普諾夫函數(shù)，因此有 負定。 定理2 考慮前述狀態(tài)偏差系統(tǒng)。設其對應的自由動態(tài)系統(tǒng) 在平衡狀態(tài) 大范圍一致漸近穩(wěn)定， 是自由系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的李雅普諾夫函數(shù)。如果控制策略 使則

39、被控的狀態(tài)偏差系統(tǒng)是大范圍一致漸近穩(wěn)定。將 作為偏差控制系統(tǒng)的可能的李亞普諾夫函數(shù)，有 由于上式右端第一項負定，顯然若定理中公式成立，則 負定。被控狀態(tài)偏差系統(tǒng)大范圍一致漸近穩(wěn)定。平衡狀態(tài)基于動平衡狀態(tài)理論的反饋線性化直接方法證明： 定理2 考慮前述狀態(tài)偏差系設系統(tǒng)由下述微分方程表示 其中為 輸入， 為輸出。取輸出及其前n-1階導數(shù)為狀態(tài)變量，原始方程可表示為如下的狀態(tài)空間表達形式：簡記為SISO反饋線性化直接方法及魯棒設計 其中 為狀態(tài)向量， 表示控制 及其前m階導數(shù)。原始模型設系統(tǒng)由下述微分方程表示 其中為 輸入， 設上述系統(tǒng)的希望動態(tài)特性可用下述線性定常模型系統(tǒng)表示： 其中 為希望輸出，

40、 為模型的輸入， ， 為常數(shù)。同樣取 及其前n-1階導數(shù)為狀態(tài)變量，可得其對應的可控型狀態(tài)空間表達式為： 其中 為模型的狀態(tài)向量； ， ， 為常數(shù)。SISO反饋線性化直接方法及魯棒設計期望模型線性系統(tǒng)能控標準型設上述系統(tǒng)的希望動態(tài)特性可用下述線性定常模型系統(tǒng)表示： 根據(jù)動平衡狀態(tài)理論，我們可以將 作為被控系統(tǒng)的動平衡狀態(tài)，通過設計合適的控制律，使所構成的控制系統(tǒng)中被控狀態(tài) 對動平衡狀態(tài) 在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定。從而實現(xiàn) 對 ，亦即 對 的漸近逼近，使被控系統(tǒng)具有所希望的動態(tài)特性。實現(xiàn)上述目標的一個直接方法便是利用李雅普諾夫第二方法。為此，以 為動平衡狀態(tài)，定義誤差向量由 及 可得取狀態(tài)偏差的二次型

41、函數(shù)其中 ，且 。則有 的導數(shù)為：SISO反饋線性化直接方法及魯棒設計 根據(jù)動平衡狀態(tài)理論，我們可以將 作為被控系統(tǒng)的動 其中： 為標量函數(shù)。 由于原始系統(tǒng)和參考系統(tǒng)均為可控型， 的確定可以進一步簡化。我們有： 其中：SISO反饋線性化直接方法及魯棒設計 其中： 由于原始系統(tǒng)和參考系統(tǒng)均為可控型， ， 為標量，以后的計算中，只需根據(jù) 可確定控制規(guī)律 。 因為當狀態(tài)偏差 的歐幾里德范數(shù) 時， ，平衡狀態(tài) 是在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的，即 為控制系統(tǒng)的大范圍漸近穩(wěn)定的動平衡狀態(tài)。從而有 時， 。 由上面的分析可直接給出如下定理： 定理3 給定非線性時變系統(tǒng)及模型參考系統(tǒng)。設 穩(wěn)定， 為模型參考自由系統(tǒng)（

42、 ）在原點平衡狀態(tài)的李亞普諾夫函數(shù)。那么，若存在控制 使則偏差系統(tǒng) 的原點平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。非線性時變系統(tǒng)的輸出漸近跟蹤參考模型的輸出。 若能選擇 使 在所考慮的系統(tǒng)參數(shù)變化范圍內(nèi)非正，則可保證系統(tǒng)具有參數(shù)不確定時反饋線性化的魯棒性。 在這一方法中，若令 ，即可實現(xiàn)系統(tǒng)的精確線性化。若非線性系統(tǒng)是仿射非線性的，則其結果同微分幾何方法。SISO反饋線性化直接方法及魯棒設計 ， 為標量，以后的計算中，只需根據(jù) 考慮仿射非線性系統(tǒng) 選取 及其前n-1階導數(shù)為狀態(tài)變量，可將其轉(zhuǎn)換為式（2.1）形式的狀態(tài)空間表達式，且其中 由定理3，令 ，可實現(xiàn)仿射非線性系統(tǒng)的精確線性化。精確線性化得控制

43、策略為1.精確線性化仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設計 考慮仿射非線性系統(tǒng) 選取 及其前n-1階導數(shù)為狀（1）設仿射非線性系統(tǒng)具有不確定性 其中 ，則控制策略 將使系統(tǒng)魯棒線性化。證明： 將 代入 整理后有 ，于是有： 由定理3，偏差系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。非線性時變系統(tǒng)的輸出漸近跟蹤參考模型的輸出。仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設計 2.魯棒線性化設計（1）設仿射非線性系統(tǒng)具有不確定性 其中 其中 ， 。不失一般性，設則控制策略將使系統(tǒng)魯棒線性化。證明： 將 代入 整理后有由定理3，偏差系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。非線性時變系統(tǒng)的輸出漸近跟蹤參考模型的

44、輸出。仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設計 （2）設仿射非線性系統(tǒng)具有不確定性 其中 ， 單自由度機械臂假設存在不同負載會改變其質(zhì)量m和相應I研究它的魯棒性線性化控制器設計原始模型參考模型例：單自由度機械臂的魯棒設計單自由度機械臂原始模型參考模型例：單自由度機械臂的魯棒設計原始模型參考模型例：單自由度機械臂的魯棒設計原始模型參考模型例：單自由度機械臂的魯棒設計例：單自由度機械臂的魯棒設計例：單自由度機械臂的魯棒設計例：單自由度機械臂的魯棒設計質(zhì)量變化曲線輸出響應曲線誤差變化曲線力矩輸入曲線例：單自由度機械臂的魯棒設計質(zhì)量變化曲線輸出響應曲線誤差變化目 錄1. 概述2. 相軌跡分析及CAD3.

45、 Lyapunov穩(wěn)定性理論 4. 非線性系統(tǒng)反饋線性化方法5. 滑模變結構控制方法4.1 精確反饋線性化4.2 模型參考反饋線性化目 錄1. 概述2. 相軌跡分析及CAD3. Lyapun變結構控制（VSC）概念 本質(zhì)上是一類特殊的非線性控制，其非線性表現(xiàn)為控制作用的不連續(xù)性。與其他控制策略的不同之處：系統(tǒng)的“結構”并不固定，而是在動態(tài)過程中，根據(jù)系統(tǒng)當前的狀態(tài)有目的地不斷變化。 結構的變化若能啟動“滑動模態(tài)”運動，稱這樣的控制為滑模控制。注意：不是所有的變結構控制都能滑模控制，而滑?？刂剖亲兘Y構控制中最主流的設計方法。 所以，一般將變結構控制就稱為滑?？刂?SMC)，為了突出變結構這個特點

46、，本書統(tǒng)稱為滑模變結構控制。滑模變結構控制變結構控制（VSC）概念滑模變結構控制滑動模態(tài)定義 人為設定一經(jīng)過平衡點的相軌跡，通過適當設計，系統(tǒng)狀態(tài)點沿著此相軌跡漸近穩(wěn)定到平衡點，或形象地稱為滑向平衡點的一種運動，滑動模態(tài)的”滑動“二字即來源于此。系統(tǒng)結構定義 系統(tǒng)的一種模型，即由某一組數(shù)學方程描述的模型，稱為系統(tǒng)的一種結構，系統(tǒng)有幾種不同的結構，就是說它有幾種(組)不同數(shù)學表達式表達的模型。滑模變結構控制滑動模態(tài)定義 滑模變結構控制滑?？刂苾?yōu)點 滑動模態(tài)可以設計且與對象參數(shù)和擾動無關，具有快速響應、對參數(shù)變化和擾動不靈敏（ 魯棒性）、無須系統(tǒng)在線辨識、物理實現(xiàn)簡單。 滑?？刂迫秉c 當狀態(tài)軌跡到

47、達滑動模態(tài)面后，難以嚴格沿著滑動模態(tài)面向平衡點滑動，而是在其兩側(cè)來回穿越地趨近平衡點，從而產(chǎn)生抖振滑?？刂茖嶋H應用中的主要障礙。滑模變結構控制滑?？刂苾?yōu)點 滑模變結構控制20世紀50年代： 前蘇聯(lián)學者Utkin和Emelyanov提出了變結構控制的概念，研究對象：二階線性系統(tǒng)。20世紀60年代： 研究對象：高階線性單輸入單輸出系統(tǒng)。主要討論高階線性系統(tǒng)在線性切換函數(shù)下控制受限與不受限及二次型切換函數(shù)的情況。1977年： Utkin發(fā)表一篇有關變結構控制方面的綜述論文，系統(tǒng)提出變結構控制VSC和滑?？刂芐MC的方法?；Ｗ兘Y構控制20世紀50年代：滑模變結構控制右端不連續(xù)微分方程 一般地，具有右

48、端不連續(xù)微分方程的系統(tǒng)可以描述為其中： 是狀態(tài) 的函數(shù)，稱為切換函數(shù)。滿足可微分，即 存在。微分方程的右端不連續(xù)， 結構變化得到體現(xiàn)，即根據(jù)條件 的正負改變結構 為一種系統(tǒng)結構， 為另一種系統(tǒng)結構。從而滿足一定的控制要求。滑模變結構控制基本原理右端不連續(xù)微分方程滑模變結構控制基本原理由此,可在相平面上作出系統(tǒng)的相軌跡如圖所示。直線c=r將相平面分為兩個區(qū)域,即I區(qū)及II區(qū),它們分別對應于上述兩個方程式；每個區(qū)域內(nèi)的相軌跡都是一族拋物線例：繪制相軌跡由此,可在相平面上作出系統(tǒng)的相軌跡如圖所示。直線c=r將相平 微分方程在 上沒有定義，因此需確定其上系統(tǒng)微分方程： 獨立變量變?yōu)閚-1個，滑模面上方

49、程較原方程階數(shù)降低。 我們稱 為不連續(xù)面、滑模面、切換面。它將狀態(tài)空間分為兩部分，如圖所示。 右端不連續(xù)微分方程右端不連續(xù)微分方程在切換面上的運動點有3種情況。 (1)常點狀態(tài)點處在切換面上附近時，從切換面上的這個點穿越切換面而過，切換面上這樣的點就稱做作常點，如圖中點A所示。 (2)起點狀態(tài)點處在切換面上某點附近時，將從切換面的兩邊中的一邊離開切換面上的這個點，切換面上這樣的點就稱做作起點，如圖中點B所示。 (3)止點狀態(tài)點處在切換面上某點附近時，將從切換面的兩邊中的一邊趨向該點，切換面上這樣的點就稱做作止點，如圖中點C所示。右端不連續(xù)微分方程在切換面上的運動點有3種情況。右端不連續(xù)微分方程

50、 若切換面上某一區(qū)域內(nèi)所有點都是止點，則一旦狀態(tài)點趨近該區(qū)域，就會被“吸引”到該區(qū)域內(nèi)運動。此時，稱在切換面上所有的點都是止點的區(qū)域為“滑動模態(tài)”區(qū)域。系統(tǒng)在滑動模態(tài)區(qū)域中的運動就叫做“滑動模態(tài)運動”。按照滑動模態(tài)區(qū)域上的點都必須是止點這一要求，當狀態(tài)點到達切換面附近時，必有：上式稱為局部到達條件。右端不連續(xù)微分方程 若切換面上某一區(qū)域內(nèi)所有點都是止點，則一旦狀態(tài) 對局部到達條件擴展可得全局到達條件： 相應地，構造李雅普諾夫型到達條件：滿足上述到達條件，狀態(tài)點將向切換面趨近，切換面為止點區(qū)。右端不連續(xù)微分方程 對局部到達條件擴展可得全局到達條件：右端不連續(xù)微分方程有一控制系統(tǒng)狀態(tài)方程為需要確定切換函數(shù) 求解控制作用滑模變結構控制三要素：滿足可達性條件，即在切換面以外的運動點都將在有限時間內(nèi)到達切換面；(2) 滑動模態(tài)存在性；(3) 保證滑動模態(tài)運動的漸近穩(wěn)定性并具有良好的動態(tài)品質(zhì)?；Ｗ兘Y構控制的定義有一控制系統(tǒng)狀態(tài)方程為滑模變結構控制的定義設二階系統(tǒng)的運動微