拋物線及其標準方程

關于拋物線及其標準方程第1頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四問題探究：當e=1時，即|MF|=|MH|

，點M的軌跡是什么？探究？

可以發(fā)現(xiàn),點M隨著H運動的過程中,始終有|MF|=|MH|,即點M與點F和定直線l的距離相等.點M生成的軌跡是曲線C的形狀.(如圖)

我們把這樣的一條曲線叫做拋物線.M·Fl·e=1幾何畫板觀察第2頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四第3頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四2.4.1拋物線及其標準方程第4頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四M·Fl·e=1

在平面內(nèi),與一個定點F和一條定直線l(不在直線上）的距離相等的點的軌跡叫拋物線.點F叫拋物線的焦點,直線l叫拋物線的準線|MF|=dd為M到l的距離準線焦點d一、拋物線的定義:第5頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四M·Fl·e=1二、標準方程的推導

思考：拋物線是軸對稱圖形嗎？怎樣建立坐標系,才能使焦點坐標和準線方程更簡捷?第6頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四1.建系2.設點3.列式4.化簡l解：以過F且垂直于l的直線為x軸,垂足為K.以F,K的中點O為坐標原點建立直角坐標系xoy.兩邊平方,整理得xKyoM(x,y)F依題意得5.檢驗這就是所求的軌跡方程.y如圖，若以準線所在直線為y軸，則焦點F(P,0),準線L:x=0

由拋物線的定義，可導出拋物線方程為y2=2p(x-)(p＞0）p2第7頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四三、標準方程

把方程

y2=2px(p＞0)叫做拋物線的標準方程.其中

p為正常數(shù),表示焦點在

x軸正半軸上.且

p的幾何意義是:右焦點是：左準線方程為:

一條拋物線，由于它在坐標平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標準方程有四種形式.lxKyoM(x,y)F焦點到準線的距離第8頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四yxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒

圖形

焦點

準線

標準方程第一:一次項的變量為x(或y),則x軸(或y軸)為拋物線的對稱軸,焦點就在對稱軸上.第二:一次項的系數(shù)的正負決定了開口方向.

不容易錯的最好方法是看看x(或y)的取值范圍即：焦點與一次項變量相同；正負決定開口方向！

第9頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四例11）拋物線的標準方程是y2=6x，求焦點和準線方程；2）拋物線的方程是y=－6x2,求焦點坐標和準線方程；3）拋物線的焦點坐標是F（0，-2）,求它的標準方程。解:因焦點在y軸的負半軸上,且p=4,故其標準方程為:x=-8y232解：因為ｐ＝３，故焦點坐標為（－,０）32準線方程為x=-－.解:方程可化為:故焦點坐標為,準線方程為第10頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四焦點坐標準線方程（1）（2）（3）（4）（5，0）x=-5（0，—）18y=-—188x=—5（-—，0）58（0，-2）y=2練習1求下列拋物線的焦點和準線方程（1）y2=20x（2）y=2x2（3）2y2+5x=0（4）x2+8y=0注意：求拋物線的焦點一定要先把拋物線化為標準形式第11頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四練習2拋物線的頂點是坐標原點，根據(jù)下列條件，分別寫出拋物線的標準方程：（1）焦點是F（3，0）；（2）準線方程是x=；（3）焦點到準線的距離是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y反思：已知拋物線的標準方程求其焦點和準線方程先定位，后定量第12頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四．AOyx解:(1)當焦點在y軸正半軸上時，把A(-3,2)代入x2=2py，得p=

(2)當焦點在x軸負半軸上時,把A(-3,2)代入y2=-2px，得p=∴拋物線標準方程為x2=y或y2=x

。練習3拋物線經(jīng)過點P(4,－2)，求拋物線的標準方程。

提示：注意到P為第四象限的點，所以可以設拋物線的標準方程為y2=2px或x2=-2py例2.求頂點是坐標原點,且過A(-3,2)的拋物線的標準方程.第13頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四4a1∴焦點坐標是（，0），準線方程是：x=4a1例3已知拋物線方程為x=ay2（a≠0)，討論拋物線的開口方向、焦點坐標和準線方程？解：拋物線的方程化為：y2=x1a即2p=1

a②當a<0時,,拋物線的開口向左p2=14a∴焦點坐標是（，0），準線方程是：x=4a114a①當a>0時,,拋物線的開口向右p2=14a第14頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四

思考:M是拋物線y2=2px（p＞0）上一點，若點M

的橫坐標為x0，則x0+—2pOyxFM這就是拋物線的焦半徑公式!yxoFMyxoFMyxoFMx0–(–—)2p第15頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四例4拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的橫坐標為3的點M到焦點的距離等于6，求拋物線的標準方程.y2=2px(p>0)由拋物線的定義知3-(-)=6,即p=6.數(shù)形結(jié)合,用定義轉(zhuǎn)化條件,解:因為是焦點在x

軸上且過M點的拋物線,所以設標準方程為所求拋物線標準方程為y2=12x變式：拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的點M(3,m)到焦點的距離等于6，求拋物線的標準方程.OyxFMx0–(–—)2p第16頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四過拋物線的焦點F作x軸的垂線交拋物線與Ａ、Ｂ兩點，且。34頁作業(yè)9第17頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四變式2平面上到定點和到定直線距離相等的點的軌跡為()(A)直線(B)拋物線(C)雙曲線(D)橢圓變式3點M與點F(2，0)的距離比它到直線l:x+4=0的距離小2,求點M的軌跡方程?例5平面上到定點和到定直線距離相等的點的軌跡為()(A)直線(B)拋物線(C)雙曲線(D)橢圓變式1平面上到定點和到定直線距離相等的點的軌跡為()(A)直線(B)拋物線(C)雙曲線(D)橢圓OyxFM35頁作業(yè)11第18頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四第2課時第19頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四準線方程焦點坐標標準方程焦點位置

圖

形不同位置的拋物線

x軸的正方向

x軸的負方向

y軸的正方向

y軸的負方向y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(----yxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒第20頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四OyxFMyxoFMyxoFMyxoFMx0–(–—)2p拋物線的焦半徑公式第21頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四例1拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的橫坐標為-3的點M到焦點的距離等于5，求拋物線的標準方程.y2=-8x變式１：拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的點M(-3,m)到焦點的距離等于5，求拋物線的標準方程，并求m的值.OyxFM—–x0

2p變式２：在拋物線y2=-8x上，到焦點的距離等于5的點的坐標.35頁作業(yè)10第22頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四第23頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四36頁作業(yè)8(改)35頁作業(yè)5（改）第24頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四37頁作業(yè)7（改）練習第25頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四后備練習.已知拋物線x2=4y的焦點F和點A(-1，8)，P為拋物線上一點，則|PA|+|PF|的最小值是()(A)16(B)6(C)12(D)9D第26頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四第3課時第27頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四直線與拋物線位置關系種類xyO1、相離:2、相切:3、相交:（一個交點，兩個交點）（一個交點）（沒有交點）第28頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四(0,1)第29頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四判斷直線是否與拋物線的對稱軸平行不平行直線與拋物線相交(一個交點)平行

計算判別式>0=0<0相交相切相離(0,1)第30頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四K=1/2K=0K=-1若直線l與拋物線有公共點,l在y軸上截距的最小值?第31頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四變式1:已知實數(shù)x,y滿足方程y2=4x,求函數(shù)的最值變式3:點(x,y)在拋物線y2=4x上運動,求函數(shù)z=x-y的最值.本題轉(zhuǎn)化為過定點(-2,1)的直線與拋物線有公共點時斜率的最值問題.本題轉(zhuǎn)化為直線y=x-z與拋物線有公共點時z的最值問題.無最大值變式2:點(x,y)在橢圓x2/4+y2=1上運動,求點(0,-2)與橢圓上任一點連線的斜率k的范圍.第32頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四第33頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四第34頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四第4課時第35頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四例１斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點,與拋物線相交于A,B,求線段AB的長。

yxo∴|AB|==8方法(1)

解：如圖:由拋物線的標準方程可知,拋物線的焦點坐標為F(1,0),所以直線AB的方程為即A,B的坐標分別為:

(,)(,)

解得,

得①②由代入方程①問題(1)試問還有其他方法或更簡捷一點的解法么?方法(2)

(弦長公式)|AB|=第36頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四yxo方法(3)由拋物線定義|AB|=|AF|+|BF|問題(1)試問還有其他方法或更簡捷一點的解法么?

=|AA′|+|BB′|==8

A′B′方法(４)焦半徑公式例１斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點,與拋物線相交于A,B,求線段AB的長。

第37頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四|PF|=x0+p/2FP拋物線的焦半徑公式：FPFPFP|PF|=-x0+p/2|PF|=y0+p/2|PF|=-y0+p/2第38頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四xyOFABB’A’方法(４)焦半徑公式例１斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點,與拋物線相交于A,B,求線段AB的長。

第39頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四§

拋物線的焦點弦

問題（2）從方法（4）中你能得到什么結(jié)論？

過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的直線交拋物線于A,B兩點則|AB|=問題（3）能否把例（2）推廣到一般性的命題呢？

斜率為k的直線經(jīng)過拋物線(p>0)的焦點，與拋物線相交于A，B，求線段AB的長。（用k,p表示）解：設直線AB的方程為

x1+x2+p∴|AB|=即:()y2=2px消y得:由第40頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四斜率為k的直線經(jīng)過拋物線(p>0)的焦點，與拋物線相交于A，B，求線段AB的長。（用k,p表示）解：設直線AB的方程為()

y2=2px

消y得:

即:

|AB|=

由此可得,即通徑.問題(4):把上題中的斜率k換成直線的傾斜角呢?(0<<)通徑是拋物線的焦點弦中最短的弦.xOyFP(分類討論合并，即分斜率存在或不存在)第41頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四練習.過拋物線y2=4x的焦點，作直線L交拋

物線于A、B兩點，若線段AB中點的橫

坐標為3，則|AB|=______.8焦點弦的長度公式第42頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四焦半徑公式例１斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點,與拋物線相交于A,B,求線段AB的長。

第43頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四斜率為k的直線經(jīng)過拋物線(p>0)的焦點，與拋物線相交于A，B，求線段AB的長。（用k,p表示）解：設直線AB的方程為()

y2=2px

消y得:

即:

命題:如果過拋物線(p>0)的焦點的一條直線和此拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1x2=p2/4,y1y2=-p2第44頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四第5課時第45頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四xy問題(6):過拋物線(p>0)焦點的一條直線與它相交于A,B兩點,經(jīng)過A和拋物線頂點的直線交準線于點C

(2001高考題－作業(yè)本３９頁第８題)設拋物線(p>0)的焦點F,經(jīng)過F的直線交拋物線A,B兩點,點C在拋物線的準線上,且BC∥x軸,證明:AC經(jīng)過原點O.那么BC與拋物線的對稱軸有什么關系呢?(證KOC=KOA)∴BC平行于對稱軸.(的結(jié)論略證)

當時

(x2,y2)(x1,y1)則直線OA的方程證明:設A(),B(),C()第46頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四問題(6):有什么幾何意義呢?

(x1,y1)(x2,y2)xyF′B′A′結(jié)論:Q(2)以Q為圓心,以A′B′為直徑的圓切AB于F點.

△AQA′與△AQF全等第47頁，共57頁，2022年，5月20日，22點20分，星期四問題(6):有什么幾何意義呢?(x1,y1)(x2,y2)xyF′B′A′結(jié)論:Q(2)以Q為圓心,以為直

徑的圓切AB于F點.P(3)以P為圓心以AB為直徑的圓切A’B’于Q點

QP=1/2(AA′+BB′