高等數(shù)學(xué)概率 數(shù)學(xué)期望

高等數(shù)學(xué)概率數(shù)學(xué)期望第1頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)28分，星期四

在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.

然而，在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布一般是較難確定的.而且在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.

第2頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)28分，星期四因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的.其中最常用的是期望和方差第3頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)28分，星期四一、問(wèn)題的引入下面是兩名射手的成績(jī)統(tǒng)計(jì)表，問(wèn)：哪個(gè)射手的本領(lǐng)高？設(shè)想：每人都打了N槍。則總環(huán)數(shù)甲：8×0.4N＋9×0.1N＋10×0.5N＝9.1N乙：8×0.3N＋9×0.4N＋10×0.3N＝9.0N第4頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)28分，星期四總環(huán)數(shù)甲：8×0.4N＋9×0.1N＋10×0.5N＝9.1N乙：8×0.3N＋9×0.4N＋10×0.3N＝9.0N平均每槍環(huán)數(shù)甲：9.1N/N＝9.1乙：9.0N/N＝9.0甲射手的水平較高。相當(dāng)于8×0.4＋9×0.1＋10×0.5＝9.1相當(dāng)于8×0.3＋9×0.4＋10×0.3＝9.0第5頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)28分，星期四在這里，我們用了平均每槍環(huán)數(shù)這樣一個(gè)指標(biāo)來(lái)衡量甲、乙兩個(gè)射手的水平，它是環(huán)數(shù)的以概率為權(quán)的加權(quán)平均，是“每槍環(huán)數(shù)”這個(gè)隨機(jī)變量的重要特征，稱(chēng)為期望。第6頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)28分，星期四二、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

1、離散型r.v的數(shù)學(xué)期望

定義1

設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為:若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱(chēng)此級(jí)數(shù)的和為r.v的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱(chēng)期望或均值。記為即第7頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)28分，星期四例1、設(shè)r.v.服從0－1分布，求。解：由題知的分布列為第8頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)28分，星期四例2、假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作。若一周5個(gè)工作日里無(wú)故障，可獲利潤(rùn)10萬(wàn)元；發(fā)生一次故障仍可獲利潤(rùn)5萬(wàn)元；發(fā)生兩次故障所獲利潤(rùn)為零；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬(wàn)元。求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多少？

解：設(shè)一周內(nèi)所獲利潤(rùn)為，首先求出的分布。第9頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)28分，星期四的所有可能取值為10，5，0，－2，（單位：萬(wàn)元）一周內(nèi)期望利潤(rùn)為5.20896萬(wàn)元。第10頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)28分，星期四例3、設(shè)某射手每次擊中目標(biāo)的概率為p，他手中有10發(fā)子彈準(zhǔn)備對(duì)一目標(biāo)連續(xù)射擊（每次打一發(fā)），一旦擊中目標(biāo)或子彈打完了就立刻轉(zhuǎn)移到別的地方去，問(wèn)他在轉(zhuǎn)移前平均射擊幾次？解：射手在轉(zhuǎn)移前的射擊次數(shù)是隨機(jī)變量首先求出的分布。的所有可能取值為1，2…10。第11頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)28分，星期四第12頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)28分，星期四2、連續(xù)型r.v的數(shù)學(xué)期望

定義2

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量有概率密度，若積分絕對(duì)收斂，則稱(chēng)此積分的值為r.v的數(shù)學(xué)期望，記為第13頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)28分，星期四例4、計(jì)算在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布的r.v.

的數(shù)學(xué)期望。解：由題知的概率密度為故第14頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)28分，星期四例5、某種電子元件的使用壽命是一個(gè)r.v.其概率密度為

解：其中，求這種元件的平均使用壽命。指數(shù)分布第15頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)28分，星期四隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量按其取值概率的加權(quán)平均，表征其概率分布的中心位置，是概率論發(fā)展早期就已產(chǎn)生的一個(gè)重要概念。第16頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)28分，星期四三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

1、離散型r.v的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

定義3

設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為:則的期望為如果已知r.v.的分布，需要計(jì)算的不是的期望，而是它的某個(gè)函數(shù)的期望，

那么又應(yīng)該如何計(jì)算呢？第17頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)28分，星期四2、連續(xù)型r.v的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

定義4

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為

則它的函數(shù)的期望為第18頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)28分，星期四定義3和定義4表明，求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，并不需要先求出該函數(shù)的分布，而是可直接利用原始的分布求得。這將大大地簡(jiǎn)化計(jì)算。第19頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)28分，星期四例6、設(shè)r.v.的分布列如下，求，，。解：第20頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)28分，星期四例7、設(shè)r.v.服從上的均勻分布，求

的數(shù)學(xué)期望。解：由題知的概率密度為故第21頁(yè)，共22頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)28分，星期四設(shè)二