2023屆高考數(shù)學專題破-專題五 導數(shù)的運算及在函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用（解析版）

專題五導數(shù)的運算及在函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用一、多選題1．設(shè)函數(shù)，，給定下列命題，其中正確的是（）A．若方程有兩個不同的實數(shù)根，則（為自然對數(shù)的底數(shù)）B．若方程恰好只有一個實數(shù)根，則C．若，總有恒成立，則D．若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)【答案】ACD【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，且將題意轉(zhuǎn)化為與有兩個不同的交點，即可判斷A選項；易知不是該方程的根，當時，將條件等價于和只有一個交點，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而可推出結(jié)果，即可判斷B選項；當時，將條件等價于恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)，通過構(gòu)造新函數(shù)以及利用導數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，即可求出的范圍，即可判斷C選項；有兩個不同極值點，根據(jù)導數(shù)的符號列出不等式并求解，即可判斷D選項.【詳解】對于A，的定義域，，令，有，即，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以極小值等于最小值，，且當時，又，從而要使得方程有兩個不同的實根，即與有兩個不同的交點，所以，故A正確；對于B，易知不是該方程的根，當時，，方程有且只有一個實數(shù)根，等價于和只有一個交點，，又且，令，即，有，知在和單減，在上單增，是一條漸近線，極小值為,由大致圖像可知或，故B錯誤；。對于C，當時，恒成立，等價于恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)，即恒成立，即在上恒成立，令，則，令得，有，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，于是，1故C正確；對于D，有兩個不同極值點，等價于有兩個不同的正根，即方程有兩個不同的正根，由C可知，，則D正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查導數(shù)的應(yīng)用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，以及利用導數(shù)解決函數(shù)的零點問題和恒成立問題從而求參數(shù)范圍，解題的關(guān)鍵在于將零點問題轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)的交點問題，解題時注意利用數(shù)形結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力．2．定義域為的函數(shù)，若對任意兩個不相等的實數(shù)、，都有，則稱函數(shù)為“函數(shù)”，現(xiàn)給出如下函數(shù)，其中為“函數(shù)”的有（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】分析可知函數(shù)為上的增函數(shù)，然后判斷各選項中函數(shù)的單調(diào)性，可得出合適的選項.【詳解】對于任意給定的不等實數(shù)、，不等式恒成立，原不等式等價為恒成立，設(shè)，則，即，即函數(shù)是定義在上的增函數(shù)．對于A選項，函數(shù)，則，當或時，，此時函數(shù)為減函數(shù)，不滿足條件；對于B選項，，，所以，函數(shù)單調(diào)遞增，滿足條件；對于C選項，對于函數(shù)，該函數(shù)的定義域為，內(nèi)層函數(shù)為增函數(shù)，外層函數(shù)為增函數(shù)，則函數(shù)為上的增函數(shù)，又因為函數(shù)為上的增函數(shù)，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，滿足條件；對于D選項，記，則，所以，函數(shù)在上不具有單調(diào)性，不滿足條件.故選：BC.【點睛】方法點睛：函數(shù)單調(diào)性的判定方法與策略：（1）定義法：一般步驟：設(shè)元作差變形判斷符號得出結(jié)論；（2）圖象法：如果函數(shù)是以圖象的形式給出或者函數(shù)的圖象易作出，結(jié)合圖象可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）導數(shù)法：先求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)值的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（4）復合函數(shù)法：先將函數(shù)分解為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)，再討論這兩個函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)復合函數(shù)法“同增異減”的規(guī)則進行判定.3．A．，B．，C．，，D．，，【答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)的奇偶性，可得選項A的正誤；結(jié)合函數(shù)的值域可得選項B的正誤；結(jié)合導數(shù)判斷函數(shù)的極值情況可得選項C,D的正誤.【詳解】由題意可知，，即函數(shù)為奇函數(shù)，所以，且，故A錯誤，B正確；因為，所以，設(shè)，則，由零點存在定理可得使得；所以一定存在時，，也一定存在時，，即一定不是單調(diào)函數(shù)，又且圖象為連續(xù)曲線，所以，，，故C正確；因為時，，所以必然存在最大值，故D正確；故選：BCD.二、單選題4．設(shè)，其中，若僅存在一個整數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，，利用導數(shù)可得單調(diào)性，判斷出滿足條件的整數(shù)為1，即可得出求解.【詳解】令，，由僅存在一個整數(shù)，使得，可得僅存在一個整數(shù)，使得，，令，可得；令，可得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，所以滿足條件的整數(shù)為1，由可得為減函數(shù)，所以，即，解得.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)判斷單調(diào)性，得出.5．已知函數(shù)，當時，若恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求函數(shù)導數(shù)后可知導函數(shù)為上的增函數(shù)，根據(jù)a分類討論，求的最小值即可求解.【詳解】，，當時，單調(diào)遞增，，（1）若時，，所以在時單調(diào)遞增，恒成立，（2）若時，，由單調(diào)遞增知，存在，使得，故時，，當時，，所以在時單調(diào)遞減，所以，即在上存在使得，所以時不滿足題意.綜上，，故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：對a分類討論，研究導函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)導函數(shù)的單調(diào)性求最小值，根據(jù)最值是否滿足不小1，判斷a所取范圍，屬于中檔題.6．曲線在處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用切點和斜率求得切線方程.【詳解】時，，故切點為，，當時，，所以切線方程為，即.故選：A7．定義在上的函數(shù)滿足，且時，.若關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】把方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點問題，求出臨界值即：函數(shù)圖像和直線相切時的值，結(jié)合的性質(zhì)以及函數(shù)對稱性，即可得解.【詳解】當時，令，則.即時，單調(diào)遞增.時，單調(diào)遞減.且.若關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)根，如圖，當時，設(shè)過點做曲線的切線交曲線于點，切線方程為：切線由過點，則，又∵在時單調(diào)遞減.∴，切線的斜率為，∴由對稱性知：.故選：D【點睛】本題考查了函數(shù)方程問題，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，同時考查了利用導數(shù)的幾何性質(zhì)求切向方程，有一定的計算量屬于中檔題.本題關(guān)鍵有：（1）函數(shù)方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點問題；（2）求范圍問題關(guān)鍵是求臨界值；（3）掌握過某點求切線方程.8．關(guān)于函數(shù)，下列命題正確的是（）A．不是周期函數(shù)B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．的值域為D．是曲線的一條對稱軸【答案】C【分析】A.利用周期函數(shù)的定義判斷；B.利用導數(shù)法判斷；C.利用導數(shù)法求解判斷；D.判斷與是否相等即可.【詳解】∵，∴，則為周期函數(shù)，故A錯誤；∵，∵時，，，∴，由此可得在上單調(diào)遞增，故B錯誤；令，或，∴當時，可得；當時，，此時或.由此可得，函數(shù)的最值在函數(shù)的極值點處，即當時，函數(shù)取得最值，又因為，，所以可得函數(shù)的值域為，故C正確；∵，，顯然地，，所以不是函數(shù)的對稱軸，故D錯誤.故選：C.【點睛】方法點睛：用導數(shù)法求解函數(shù)的最值時，要先求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]內(nèi)所有使的點，再計算函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)所有使的點和區(qū)間端點處的函數(shù)值，最后比較即得．9．已知實數(shù)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，通過構(gòu)造函數(shù)進行求解即可.【詳解】解：∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴當時，有；當時，恒成立，令，，則，∵，∴，即在上單調(diào)遞增，∴，要使當時恒成立，則，解得.∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴還需要滿足，即，綜上，的取值范圍是.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是除了考慮每段函數(shù)是單調(diào)遞增，還要考慮不等式成立這一條件.10．若函數(shù)，則滿足恒成立的實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，然后利用性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為，求解函數(shù)的最大值可得選項.【詳解】∵，∴，即為奇函數(shù)；又，即為增函數(shù)；由恒成立，可得恒成立，∴恒成立，即恒成立，設(shè)，易知為偶函數(shù)，只需求在上的最大值即可.當時，，時，，為增函數(shù)；時，，為減函數(shù)；∴的最大值為；∴，即；故選：D.【點睛】利用函數(shù)性質(zhì)求解不等式恒成立問題的步驟：①根據(jù)函數(shù)解析式判斷奇偶性和單調(diào)性；②把函數(shù)值的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的不等關(guān)系；③結(jié)合恒成立轉(zhuǎn)化為最值問題求解.11．若對于任意的，都有，則的最大值為（）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，易得在定義域上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，進而可求出的最大值．【詳解】解：，，，，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，在上恒成立，由，解得，故的最大值是.故選：C．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵是將原式變形為，從而構(gòu)造函數(shù)且在定義域上單調(diào)遞增.12．已知曲線與曲線有且只有兩個公共點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與有且僅有兩個交點，利用導數(shù)可求得的單調(diào)性和最值，由此可確定圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方式可求得的范圍.【詳解】與有且僅有兩個公共點等價于方程在上有且僅有兩個不等實根，時，，，令，可知與有且僅有兩個交點，，令，則，在上單調(diào)遞增，又，當時，；當時，；當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；又時，；時，，可得圖象如下圖所示：則當時，與有且僅有兩個交點，即與有且僅有兩個公共點.故選：A.【點睛】方法點睛：已知兩函數(shù)交點個數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為根據(jù)函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)的問題，常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.第II卷（非選擇題）三、填空題13．已知曲線在處切線的斜率為，則______．【答案】【分析】利用函數(shù)在處的導數(shù)值為可求得實數(shù)的值.【詳解】對函數(shù)求導得，由已知條件可得，解得.故答案為：.14．若曲線與曲線在公共點處有相同的切線，則該切線的方程為___________.【答案】【分析】設(shè)公共點為，根據(jù)公共點的導數(shù)值相等求出切點，再利用導數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】設(shè)公共點為，由，（），則，，則，所以，解得，所以，，所以切線的方程為，即.故答案為：15．已知，則曲線在點處的切線方程為________．【答案】【分析】求出導函數(shù)，得切線斜率，寫出切線方程．【詳解】由題意，，又，所以切線方程是．故答案為：．16．（2020·巴楚縣第一中學高三二模）曲線在處的切線方程為______．【答案】【分析】求導，分別求得，寫出切線方程.【詳解】因為，所以，所以，所以曲線在處的切線方程為，即，故答案為：四、解答題17．已知為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù).（1）設(shè)是的極值點，求的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1），函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）.【分析】（1）先根據(jù)極值點求，再求導數(shù)，然后再求單調(diào)區(qū)間；（2）先變形，再運用端點效應(yīng)來解決.【詳解】（1）因為，由，得，所以，當時，；當時，.所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）令，當時，恒成立等價于恒成立.由于，，所以（i）當時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間恒成立，符合題意.（ii）當時，在單調(diào)遞增，.①當時，即時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以在恒成立，符合題意②當即時，，，若，即時，在恒小于0則在單調(diào)遞減，，不符合題意若，即時，存在使得.所以當時，，則在單調(diào)遞減，，不符合題意.綜上所述，的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點睛：第（1）問的關(guān)鍵是結(jié)合極值點以及導數(shù)本身的特點觀察出單調(diào)區(qū)間，第（2）問的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)，然后函數(shù)的單調(diào)性主要還是通過分析與觀察得出.18．求證：若時，成立；（2）若函數(shù)，且關(guān)于的方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）法一：由且、，根據(jù)的符號確定的單調(diào)區(qū)間，進而可得極小值，即可證結(jié)論；法二：由題設(shè)，可知恒成立，只需證，利用導數(shù)研究極值即可證結(jié)論；（2）將問題轉(zhuǎn)化為方程在上有且只有兩個不相等實數(shù)根，即令，則在有且只有兩個不相等的零點，利用導數(shù)研究的極值并確定符號，得到單調(diào)區(qū)間，并結(jié)合零點存在性定理確定區(qū)間零點的個數(shù)，進而求得參數(shù)a的范圍.【詳解】（1）法一：由得：，當時，即，當時，，是減函數(shù)；當時，，是增函數(shù).∴.法二：由，知：，下面只需證明，令，則，當時，，是減函數(shù)；當時，，是增函數(shù).∴.∴時，成立.（2）由，知：方程有且只有兩個不相等實數(shù)根，等價于方程有且只有兩個不相等實數(shù)根，令，則在有且只有兩個不相等的零點，∵，∴當，時，，是減函數(shù)；此時至多有一個零點，這種情況舍去.當，有，當時，，是減函數(shù)；當時，，是增函數(shù).∴，∵在有且只有兩個不相等的零點，∴極小值，即.由（1）結(jié)論，知：上，即在上恒成立，令，有且開口向上∴有兩個不相等的實數(shù)根，則，，不妨令，必有.∴使，即，又，是減函數(shù)，由零點存在性定理知：在時有且只有一個零點，同理，使，，又，是增函數(shù)，由零點存在性定理知：在時有且只有一個零點，∴在有且只有兩個不相等的零點.綜上，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）利用導數(shù)研究函數(shù)極值，進而證明函數(shù)不等式；或由將問題轉(zhuǎn)化為證即可；（2）將由不同實根問題轉(zhuǎn)化為令，在上有且只有兩個不相等的零點時，求參數(shù)范圍.19．討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）恒成立．【答案】（1）見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）可求得，分與兩類討論，可得在上單調(diào)情況；（2）記函數(shù)，通過求導后可得在上單調(diào)遞增，依題意，可得即，再由，知，于是可證得結(jié)論成立．【詳解】解：（1）的定義域為，當時，恒成立，所以，在上單調(diào)遞增；當時，令，得到所以當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減．綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）記函數(shù)，則易知在上單調(diào)遞增，又由，知，在上有唯一的實數(shù)根，且，則，即（*）當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以，結(jié)合（*）式，知，所以則，即，所以有恒成立．【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).20．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)存在極值，且這些極值的和大于，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）．【分析】（1）求出導函數(shù)，分類討論確定和的解，得單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）知的范圍，函數(shù)存在極值點，由兩個極值點是某方程的解，應(yīng)用韋達定理得，計算出得出不等式，求解出的范圍．【詳解】解：（1）的定義域為．．∵，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．當時，．由得，且．由得，由得，或，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，．綜上所述，當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；當，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由（1）知，當存在極值時，．即方程有兩個不相等的的正根、，∴∴．依題意，即，∴或．又．∴，即實數(shù)的取值范圍是．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求極值，考查極值點的應(yīng)用．含有參數(shù)的函數(shù)在求單調(diào)性需要進行分類討論．極值點問題，在極值點不能直接求出時，可以確定極值點的性質(zhì)，極值點是方程的解，可以利用韋達定理得出兩極值點的關(guān)系，代入求值．21．已知(且).（1）若是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值，并求此時在上的最小值；（2）若函數(shù)不存在零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；最小值為；（2）.【分析】(1)求得函數(shù)定義域和函數(shù)導數(shù)，將代入函數(shù)的導數(shù),利用導數(shù)值為解方程求得的值，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值；(2)對函數(shù)求導后，對分成，兩類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,利用不存在零點來求得的取值范圍．【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，，∴在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以時取最小值為所以在的最小值為；（2）由于①當時，，是增函數(shù)，且當時，當時，，，取，則，所以函數(shù)存在零點②時，，.在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以時取最小值解得綜上所述：所求的實數(shù)的取值范圍是．【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．22．已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）證明有唯一的極值點，且．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）求導函數(shù)，得為切線斜率，然后可得切線方程；（2）求出導函數(shù)，令，再求導，由確定的單調(diào)性，極值，以及函數(shù)值的正負，確定有唯一零點，且，由，再引函數(shù)（的表達式中改為得到），是減函數(shù)，證明．即可完成證明．【詳解】解：（1），，，，切線方程是：，即；（2）證明：由（1）記，，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，故，當時，，當時，，，存在唯一零點，故即，故在遞減，在遞增，，有唯一的極值點，，，顯然在單調(diào)遞減，，，所以．有唯一的極值點，且．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導數(shù)的幾何意義，考查導數(shù)研究函數(shù)的極值，證明與極值有關(guān)的不等式．證明的關(guān)鍵是對導函數(shù)再一次求導，確定導函數(shù)的單調(diào)性，正負性，從而確定導函數(shù)的零點，即為原函數(shù)的極值點．求得極小值，證明方法是一方面利用是極小值證明一半的不等式，另一方面，構(gòu)造新函數(shù)利用新函數(shù)的單調(diào)性證明另一半．23．求的極值點；（2）若，證明：對任意，且，有.【答案】（1）函數(shù)有極小值點，無極大值點；（2）證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，再解導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值點即可；（2）首先根據(jù)（1）證明，再證明，即可證明，當且僅當時等號成立，令，求出函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合，得到在上為增函數(shù)，從而證明結(jié)論成立.【詳解】（1）∵，∴，由，得，由，得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)有極小值點，無極大值點；（2）證明：當時，，由（1）可知，故，當且僅當時等號成立，又，當時，，，故，當時，，當時，，，故，故時，，當且僅當時等號成立，故成立，當且僅當時等號成立，令，則，∵，∴，∴，∵在的任意子區(qū)間內(nèi)不恒為0，∴在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則，故，故.【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；（2）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；（3）利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題；（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.24．已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；（2）構(gòu)造函數(shù)，可得出，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合可得出關(guān)于實數(shù)的值.【詳解】（1）由題意知定義域為，，得，，所以在處的切線方程為；（2）令，則，，，所以在上為增函數(shù)，又因為.①時，，，，，使得，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，則，與題意不符；②時，，，，，使得，當時，，所以在上單調(diào)遞增，則，與題意不符；③時，，當時，，當時，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，綜上所述，當時，.【點睛】結(jié)論點睛：利用分類討論法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.25．已知函數(shù)有兩個不同的零點(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).（1）當時，求證：；（2）求實數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)的兩個零點為，求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）只需證明，令，則.設(shè)，求出函數(shù)的最小值即得證；（2）先利用導數(shù)求出，再對分三種情況討論得解；（3）先證明再證明，即得證.【詳解】當時，要證，只需證明.令，則.設(shè)，.當時，，在上，為單調(diào)遞減函數(shù)，此時，所以原不等式成立.，當時，，當時，.可得在上為單調(diào)遞減函數(shù)，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以.當時，，不合題意；時，，若，，，，此時至多有一個零點；當時，，，所以在上有唯一的零點.又因為當時，由（1）得，由得，取滿足且，則，所以在上有唯一的零點，綜上.（3）由題得因為，所以由（1）得當時，，，所以，所以因為所以所以，所以，同理，所以，所以【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是第（3）問，關(guān)鍵一，是能靈活運用第（1）問的結(jié)論；（2）關(guān)鍵二，是能證明.26．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，對于任意，證明：.【答案】（1）當時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；當時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；（2）證明見解析.【分析】（1）先求導，再按的正負分類討論，分區(qū)間確定的正負情況；（2）當時，不等式變形為二元的對數(shù)式與齊二次分式形式，故采取整體元構(gòu)造函數(shù)法，令，構(gòu)造新函數(shù)，求導研究單調(diào)性，證明即可.【詳解】解：（1）的定義域為，且，則，當時，，此時在上單調(diào)遞增，，此時在上單調(diào)遞減；當時，，此時在上單調(diào)遞增，，此時在上單調(diào)遞減.綜上可知：當時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；當時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是.（2）由，，，由于，所以.設(shè)，故：，令，則，由于，故，則在上單調(diào)遞增，故，即：所證不等式成立.【點睛】多變量問題研究的核心就是要減少變量，將多變量問題化歸于單變量問題.根據(jù)變量間的關(guān)系消元或整體換元將多變量化歸單變量是解決此類問題的常用方法.27．．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若函數(shù)存在兩個極值點，（），，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出在處的導數(shù)，即切線斜率，求出，即可得出切線方程；（2）由題可得，是方程的兩個不相等的正實根，可得，，構(gòu)造函數(shù)（），利用導數(shù)求出的最大值即可.【詳解】解：（1）當時，，則，則．又，∴曲線在處的切線方程為，即．（2）（），．依題意知，是方程的兩個不相等的正實根，即，是方程的兩個不相等的正實根，，解之得．令（），則，在上單調(diào)遞增，∴．∴．∴．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是得出，是方程的兩個不相等的正實根，以及.28．討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）對函數(shù)求導得，再對分三種情況討論即、、；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究的單調(diào)性，首先求得在上單調(diào)遞增，故，再對進行兩種情況的討論，即和，從而證得結(jié)論；【詳解】（1），，.①若，則恒成立，故在上單調(diào)遞增.②若，令，得.0極大值③若，則恒成立，故在上單調(diào)遞減.綜上所述，若，在上單調(diào)遞增；若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，在上單調(diào)遞減.（2）令，故，所以，令，，下面證明，其中.令，，則.所以在上單調(diào)遞增，故，所以當時，.所以，所以在上單調(diào)遞增，故.①若，即，則，所以在上單調(diào)遞增，所以對恒成立，所以符合題意.②若，即，此時，，，且據(jù)及可得，故，所以.又的圖像在上不間斷，所以存在，使得，且當時，，在上單調(diào)遞減，所以，其中，與題意矛盾，所以不符題意，舍去.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，注意討論的不重不漏；根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，注意先猜后證、反證法的綜合應(yīng)用.29．已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在處取極小值，求實數(shù)的值；（2）當時，若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的值．【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）先根據(jù)極值點對應(yīng)的導數(shù)值為零求解出的可取值，然后檢驗在不同的取值下在處是否取極小值，由此確定出的值；（1）先將問題轉(zhuǎn)化為“時，”，再通過換元將問題轉(zhuǎn)化為“恒成立”，然后構(gòu)造函數(shù)，采用分類討論的方法分析的最小值與的關(guān)系，由此求解出的值.【詳解】（1）因為，所以，因為在處取極小值，所以，所以，所以或，當時，，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以在處取極小值，符合題意；當時，，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以在處取極小值，符合題意；綜上可知：或；（2）當時，，，又因為時，，所以時，，所以時，，令，因為為上的增函數(shù)，且，所以的值域為，所以，故問題轉(zhuǎn)化為“恒成立”，不妨設(shè)，所以，當時，，所以在上單調(diào)遞增，且，所以當時，，這與題意不符；當時，令，解得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，所以，所以，記，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，又因為，即，所以.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)求解參數(shù)范圍的兩種常用方法：（1）分離參數(shù)法：將參數(shù)和自變量分離開來，構(gòu)造關(guān)于自變量的新函數(shù)，研究新函數(shù)最值與參數(shù)之間的關(guān)系，求解出參數(shù)范圍；（2）分類討論法：根據(jù)題意分析參數(shù)的臨界值，根據(jù)臨界值作分類討論，分別求解出滿足題意的參數(shù)范圍最后取并集.30．當時，求曲線在點處的切線方程；（2）判斷函數(shù)的極值點的個數(shù)，并說明理由；（3）若對任意，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）.【分析】（1）利用導數(shù)幾何意義可求得切線斜率，從而可求切線方程.（2）對a分類討論判斷函數(shù)單調(diào)性，從而可得極值點個數(shù).（3）對a分類討論，結(jié)合（2）問的單調(diào)性及放縮法可求的取值范圍.【詳解】解：（1）當時，，.又，所以.所以曲線在點處的切線方程是，即.（2）因為，所以.1.當時，有，令，得.當變化時，和的變化情況如下：00↘極小值↗所以當時，函數(shù)只有一個極值點.2.當時，令，得，.①當時，.當變化時，和的變化情況如下：000↗極大值↘極小值↗所以當時，函數(shù)有兩個極值點.②當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.所以當時，函數(shù)無極值點.③當時，.當變化時，和的變化情況如下：000↗極大值↘極小值↗所以當時，函數(shù)有兩個極值點.綜上，當時，函數(shù)有一個極值點，當或時，函數(shù)有兩個極值點，當時，函數(shù)無極值點.（3）1.若，由（2）可知，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以.所以符合題意.2.若，當時，因為，所以.又因為，所以不恒成立.所以不符合題意.綜上，的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（2）問解題關(guān)鍵是當時需討論兩根與的大小關(guān)系；（3）問解題關(guān)鍵是利用（2）問所得單調(diào)性進行分析，知時恒成立，而時，利用放縮法得，所以不恒成立.31．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)關(guān)于的不等式對任意恒成立時的最大值為，其中求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）求導函數(shù)，判斷導函數(shù)的符號，確定原函數(shù)單調(diào)區(qū)間;（2）變量分離，構(gòu)造新函數(shù)并求導，然后分類討論得解.【詳解】解：（1）當時，，則在時為減函數(shù)當時，令，解得，當時，時，，所以在為減函數(shù)，為增函數(shù).（2）因為的不等式對恒成立，所以，對恒成立，令，即，令，即，所以在上遞增；①當，即時，因為，所以，當，，即，所以在上遞增，所以，故；②當即時，因為，，即，所以在上遞減，所以，故；③當，即時，因為在上遞增，所以存在唯一實數(shù)，使得，即，則當時，，即；當時，，即，故在上單減，上單增，所以，所以，設(shè)，則，所以在上遞增，所以.綜上所述，.【點睛】方法點睛：不等式恒成立確定參數(shù)范圍常用方法：①變量分離，構(gòu)造函數(shù)；②對所構(gòu)造函數(shù)求導；③構(gòu)造函數(shù)求導后仍不能判斷符號，可設(shè)其分子再得新函數(shù)，再二次求導討論.32．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）當時，求函數(shù)的極值點.【答案】（1）；（2）極大值點是，極小值點是【分析】（1）在上，利用復合函數(shù)單調(diào)性判斷單調(diào)性即可求得a的范圍；（2）對x分類討論去絕對值，寫出函數(shù)的解析式，由導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間，從而根據(jù)極值點的定義求得極值.【詳解】（1）函數(shù)，由復合函數(shù)單調(diào)性知，在時，單調(diào)遞增，且，則函數(shù)在上單減，故若使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，只需即可.（2），則，且，故或，，單增；，，遞減；則函數(shù)在處取得極大值；在處取得極小值.綜上，極大值點是，極小值點是【點睛】方法點睛：簡單的復合函數(shù)，可以直接判斷單調(diào)性，復雜函數(shù)借助導數(shù)判斷單調(diào)性，并求得極值.33．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)（其中是的導函數(shù)）在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）當時，若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出、，由已知得出對任意的恒成立，結(jié)合參變量分離法可求得實數(shù)的取值范圍；（2）由參變量分離法可得出對任意的恒成立，利用導數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，由此可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），則，，在上單調(diào)遞增，在上恒成立，在上恒成立，，故的取值范圍為；（2）當時，，因為關(guān)于的不等式在上恒成立，即，可得，設(shè)，則，由的導數(shù)為，可得時，，函數(shù)遞增，當時，，函數(shù)遞減，則，即，當時，，則在遞增，可得，則，即的取值范圍是．【點睛】結(jié)論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.34．已知函數(shù)，其中.（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若恒成立，求的范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)求出的導函數(shù)和它在1處的導數(shù)值，寫出切點坐標，再由點斜式求出切線方程；(2)求得，令，求得，分、和討論，通過單調(diào)性得函數(shù)的最值或極值，并結(jié)合不等式，即可求解.【詳解】（1）的定義域是，由，得，，，切線斜率為0，切點為(1，0)，則函數(shù)在處的切線方程為；（2），令，則，①若，則在恒成立，在上單調(diào)遞增，而，即；②若，令，解得：，當時，，當時，，在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，+∞)上單調(diào)遞增，，若，，故，從而當時，有，有，在(0，1)上遞減，在(1，+∞)上遞增，故，時，令，則(當且僅當a=1時取“=”)，所以在上遞減，即a=1時，，從而時，恒成立；若，，又，，令，，在(1，+∞)上遞增，故存在，使，或時，時，當時，的解為或，在、上都單調(diào)遞增，的解為或，在、上都單調(diào)遞減，由得，不合題意，綜上：當時，在上恒成立.【點睛】方法點睛：由不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍：(1)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；(2)對參數(shù)進行分類討論，借助求導討論單調(diào)性及二次求導討論導函數(shù)值正負，轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值或最值問題解決.35．若，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）設(shè)，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論成立；（2）通過討論的范圍，求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定的取值范圍即可．【詳解】（1）由題意可設(shè)，有，所以在（0，1）單減，所以，即，設(shè)，，，則有，單調(diào)遞增，得，所以得證；（2）由（1）可知時，成立，則當時，設(shè)，則，，單調(diào)遞增，則，①若，，單調(diào)遞減，則有，此時不符合題意；②若，，，所以有唯一零點，可記為，則，，此時單調(diào)遞減，有，則不符合題意；綜上可知，即的取值范圍為.【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．36．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，求證：．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）求導后，對分類討論，根據(jù)導數(shù)的符號可得結(jié)果；（2），利用導數(shù)求出的最小值大于即可得證明不等式成立.【詳解】（1），當時，在R上單調(diào)遞減；當時，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述：當時，的增區(qū)間為；當時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）證明：當時，，令，，令，因為恒成立，所以在R上單調(diào)遞增，，由零點存在性定理可得存在，使得，即，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以，由二次函數(shù)性質(zhì)可得，所以，即，得證．37．討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，設(shè)函數(shù)有最小值，求的最大值.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）求導，令，根據(jù)，分，求解；（2）求導，設(shè)，根據(jù)（1）知，在區(qū)間單調(diào)遞增，結(jié)合零點存在定理，得到在存在唯一，使得，即，從而得到求解.【詳解】（1）函數(shù)定義域為，，令，則，①當時，，，即且不恒為零，故單調(diào)遞增區(qū)間為和②當時，，方程的兩根為：，，由于，.故.因此當時，，單調(diào)遞增.當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，綜上，當時，在區(qū)間，單調(diào)遞增；當時，在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間，單調(diào)遞減；在區(qū)間單調(diào)遞增.（2）由設(shè)，由（1）知，時，在單調(diào)遞增，故在區(qū)間單調(diào)遞增，由于，，故在存在唯一，使，.又當時，，即，單調(diào)遞減，當時，，即，單調(diào)遞增，故時，，又設(shè)，，故，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，即.【點睛】方法點睛：(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準確判定導數(shù)的符號，當f(x)含參數(shù)時，需依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論．(2)若可導函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到．38．為單調(diào)減函數(shù)，的導函數(shù)的最大值不小于0．（1）求的值；（2）若，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）由在上恒成立求得的一個范圍，再由的最大值不小于0又得的一個范圍，兩者結(jié)合可得值．（2）由（1）知，因此中一個不大于1，另一個不小于1，不妨設(shè)，構(gòu)造函數(shù)證明它在上，利用已知式可得與的不等關(guān)系，證得結(jié)論成立．【詳解】（1）因為為單調(diào)減函數(shù)，所以恒成立，所以在上恒成立．由于當時，，所以，解得．因為，當時，的最大值為，由題意，，所以．綜上，．（2）由（1）知，，所以．因為，為單調(diào)減函數(shù)，可設(shè)．令，．所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，．因為，所以．因為為單調(diào)減函數(shù)，所以，即．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，用導數(shù)研究函數(shù)的最值，證明不等式．對于雙變量不等式，解題關(guān)鍵是通過變換建立它們的關(guān)系，或通過它們的聯(lián)系進行消元以變量變成一元函數(shù)．本題關(guān)鍵是通過構(gòu)造新函數(shù)，證明時，，然后根據(jù)已知等式得出不等式關(guān)系，再同函數(shù)單調(diào)性得出結(jié)論．39．求曲線在點處的切線方程；（2）證明：當時，；（3）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．【分析】（1）利用切點和斜率求得切線方程.（2）將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明，通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)證得結(jié)論成立.（3）對分成兩種情況進行分類討論，結(jié)合導數(shù)求得的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)定義域為，且，故切點為又所以在處的切線方程為，即．（2）要證，只需證明，又，故只需證明成立，也即證明成立.構(gòu)造函數(shù)．則，成立．所以在遞增，從而成立．所以在遞增，從而，即，故成立．（3）由時，恒成立，即··········（*）①當時，（*）顯然成立；②當時，··········（**）設(shè)，則，所以在遞增，（**）可化為，則恒成立．因為，所以，又，從而，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．【點睛】要證明不等式成立，可將不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后利用導數(shù)證得從而證得不等式成立.40．若曲線與有公共點，且在公共點處有相同的切線，則稱與相切，已知與相切．（1）若，求a的值；（2）對任意，是否存在實數(shù)，使得曲線與相切？請說明理由【答案】；（2）證明見解析．【分析】（1）設(shè)公共點為，結(jié)合該點處兩曲線的切線斜率相等可求得．（2）設(shè)切點為，由，，消元后得出與的方程，與的方程，在與的方程中證明對任意，方程都有正數(shù)解后證明對于這個解經(jīng)，有即可．【詳解】（1）設(shè)公共點為，，，，所以，消去得，記，顯然在上是增函數(shù)，而，因此只有一個解，所以．（2）假設(shè)對任意，存在實數(shù)，使得曲線與相切，設(shè)切點為，，所以①，②，由②得③，①③消去得，，，①③消去得，在時，，下面證明對任意，方程有解，設(shè)，函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，時，，又函數(shù)圖象過點，在坐標系中作出函數(shù)的圖象，再作直線，如圖，它們在第一象限顯然有一個交點，所以對任意的，方程有正數(shù)解．綜上，任意，是否存在實數(shù)，使得曲線與相切【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導數(shù)的幾何意義，解題關(guān)鍵是把兩函數(shù)相切，轉(zhuǎn)化為方程有解問題．即設(shè)切點為，相切轉(zhuǎn)化為方程組有解．通過解的分析得出參數(shù)范圍．41．討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當時，；（2）證明：當時，函數(shù)有最小值，設(shè)最小值為，求函數(shù)的值域．【答案】（1）函數(shù)在、上均為增函數(shù)，證明見解析；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，求得，進而可判斷出函數(shù)的單調(diào)性，由得出，由此可證得所證不等式成立；（2）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值點，可得出函數(shù)的極小值為，其中滿足，求出的取值范圍，化簡得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的值域，即可得解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，所以，函數(shù)在、上均為增函數(shù)，當時，，即，整理可得；（2）對函數(shù)求導得，設(shè)，，由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以存在唯一的實數(shù)使得，當時，，則，此時單調(diào)遞減，當時，，則，此時單調(diào)遞增，所以，，因為，所以，