北京課改版五年級(jí)(下)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱

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一長(zhǎng)方體和正方體

【概念】

1、由6個(gè)長(zhǎng)方形（特殊情況有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形）圍成的立體圖形叫做長(zhǎng)方體。在一個(gè)長(zhǎng)方體中，相對(duì)面完全相同，相對(duì)的棱長(zhǎng)度相等。

2、兩個(gè)面相交的邊叫做棱。三條棱相交的點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度分別叫做長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。

3、由6個(gè)完全相同的正方形圍成的立體圖形叫做正方體（也叫做立方體）。正方體有12條棱，它們的長(zhǎng)度都相等，所有的面都完全相同。

4、長(zhǎng)方體和正方體的面、棱和頂點(diǎn)的數(shù)目都一樣，只是正方體的棱長(zhǎng)都相等，正方體可以說是長(zhǎng)、寬、高都相等的長(zhǎng)方體，它是一種特殊的長(zhǎng)方體。

5、長(zhǎng)方體有6個(gè)面，8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱，相對(duì)的面的面積相等，相對(duì)的棱的長(zhǎng)度相等。一個(gè)長(zhǎng)方體最多有6個(gè)面是長(zhǎng)方形，最少有4個(gè)面是長(zhǎng)方形，最多有2個(gè)面是正方形。正方體有6個(gè)面，每個(gè)面都是正方形，每個(gè)面的面積都相等，有12條棱，每條的棱的長(zhǎng)度都相等。

長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和=（長(zhǎng)+寬+高）×4L=（a＋b＋h）×4

長(zhǎng)=棱長(zhǎng)總和÷4－寬－高a=L÷4－b－h(huán)

寬=棱長(zhǎng)總和÷4－長(zhǎng)－高b=L÷4－a－h(huán)

高=棱長(zhǎng)總和÷4－長(zhǎng)－寬h=L÷4－a－b

正方體的棱長(zhǎng)總和=棱長(zhǎng)×12L=a×12

正方體的棱長(zhǎng)=棱長(zhǎng)總和÷12a=L÷12

6、長(zhǎng)方體或正方體6個(gè)面和總面積叫做它的表面積。

長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2S=2（ab＋ah＋bh）

無(wú)底（或無(wú)蓋）長(zhǎng)方體表面積=長(zhǎng)×寬＋（長(zhǎng)×高＋寬×高）×2

S=2（ab＋ah＋bh）－abS=2（ah＋bh）＋ab

無(wú)底又無(wú)蓋長(zhǎng)方體表面積=（長(zhǎng)×高＋寬×高）×2S=2（ah＋bh）

正方體的表面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6S=a×a×6

7、物體所占空間的大小叫做物體的體積。常用的體積單位有立方厘米，立方分米和立方米，可以寫成cm3，dm3，m3。

長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高

V=abh長(zhǎng)=體積÷寬÷高

a=V÷b÷h寬=體積÷長(zhǎng)÷高

b=V÷a÷h高=體積÷長(zhǎng)÷寬h=V÷a÷b

正方體的體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)V=a×a×a

8、箱子、油桶、倉(cāng)庫(kù)等所能容納物體的體積，通常叫做他們的容積。常用的容積單位有升和毫升，也可以寫成L和ml。

1升=1立方分米1毫升=1立方厘米1升=1000毫升

9、a3讀作“a的立方”表示3個(gè)a相乘，（即axaxa）

【體積單位換算】高級(jí)單位低級(jí)單位

低級(jí)單位高級(jí)單位

體積單位進(jìn)率：1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米

1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升1立方厘米＝1毫升

×進(jìn)率

÷進(jìn)率

面積單位進(jìn)率：1平方米=100平方分米=10000平方厘米

1平方千米=100公頃=1000000平方米重量單位進(jìn)率：

時(shí)間單位進(jìn)率：

長(zhǎng)度單位進(jìn)率：

二因數(shù)和倍數(shù)

1、整除：被除數(shù)、除數(shù)和商都是自然數(shù)，并且沒有余數(shù)。

大數(shù)能被小數(shù)整除時(shí)，大數(shù)是小數(shù)的倍數(shù)，小數(shù)是大數(shù)的因數(shù)。

找因數(shù)的方法：

一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。

一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，最小的倍數(shù)是它本身。

2、自然數(shù)按能不能被2整除來分：奇數(shù)偶數(shù)

奇數(shù)：不能被2整除的數(shù)

偶數(shù)：能被2整除的數(shù)。

最小的奇數(shù)是1，最小的偶數(shù)是0.

個(gè)位上是0，2，4，6，8的數(shù)都是2的倍數(shù)。

個(gè)位上是0或5的數(shù)，是5的倍數(shù)。

一個(gè)數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。

能同時(shí)被2、3、5整除的最大的兩位數(shù)是90，最小的三位數(shù)是120。

奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)

偶數(shù)±偶數(shù)＝偶數(shù)奇數(shù)±奇數(shù)＝偶數(shù)奇數(shù)±偶數(shù)＝奇數(shù)

偶數(shù)個(gè)偶數(shù)相加是偶數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加是奇數(shù)。

偶數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)奇數(shù)×奇數(shù)＝奇數(shù)奇數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)

相臨兩個(gè)自然數(shù)之和為奇數(shù)，相鄰自然數(shù)之積為偶數(shù)。

如果乘式中有一個(gè)數(shù)為偶數(shù)，那么乘積一定是偶數(shù)。

3、自然數(shù)按因數(shù)的個(gè)數(shù)來分：質(zhì)數(shù)、合數(shù)、1.

質(zhì)數(shù)：有且只有兩個(gè)因數(shù)，1和它本身

合數(shù)：至少有三個(gè)因數(shù)，1、它本身、別的因數(shù)

1：只有1個(gè)因數(shù)。“1”既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。

最小的質(zhì)數(shù)是2，最小的合數(shù)是4。

20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：有8個(gè)（2、3、5、7、11、13、17、19）

100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、

43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

4、質(zhì)因數(shù)

質(zhì)因數(shù)：如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的因數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)就是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相成的方式表示出來叫做分解質(zhì)因數(shù)。

用短除法分解質(zhì)因數(shù)（一個(gè)合數(shù)寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式）如：4=2×2，6=2×3，8=2×2×2。

5、公因數(shù)、最大公因數(shù)

幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫這些數(shù)的公因數(shù)。其中最大的那個(gè)就叫它們的最大公因數(shù)。

求最大公因數(shù)的方法：

（1）列舉法：就是把幾個(gè)數(shù)的所有因數(shù)都寫出來，通過對(duì)比、觀察、找出最大公因數(shù)。

12的因數(shù)有：1、2、3、4、6、12。

18的因數(shù)有：1、2、3、6、9、18。

12和18的公因數(shù)有：1、2、3、6。

12和18的最大公因數(shù)是6

（2）分解質(zhì)因數(shù)法：就是將幾個(gè)數(shù)各自分解成質(zhì)因數(shù)的形式，把公有的質(zhì)因數(shù)相乘得到的就是最大公因數(shù)。

如：12=2×2×3

18=2×3×3

12和18的最大公因數(shù)是2×3=6。

（3）短除法：除到互質(zhì)為止，把所有的除數(shù)連乘起來

如：12和18的最大公因數(shù)是2×3=6

3

23

幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)只有1，就說這幾個(gè)數(shù)互質(zhì)。

兩數(shù)互質(zhì)的特殊情況：

⑴1和任何自然數(shù)互質(zhì)；

⑵2和所有奇數(shù)互質(zhì)；

⑶相鄰兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)；

⑷兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)一定互質(zhì)

⑸兩個(gè)質(zhì)數(shù)一定互質(zhì)；

⑹質(zhì)數(shù)與比它小的合數(shù)互質(zhì)；

如果兩數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時(shí)，那么較小的數(shù)就是它們的最大公因數(shù)。

如果兩數(shù)互質(zhì)時(shí)，那么1就是它們的最大公因數(shù)。

兩個(gè)數(shù)分別除以他們的最大公因數(shù)，所得商互質(zhì)。

6、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)

幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫這些數(shù)的公倍數(shù)。其中最小的那個(gè)就叫它們的最小公倍數(shù)。公倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù)，最小公倍數(shù)是公倍數(shù)的因數(shù)。

最小公倍數(shù)是最大公因數(shù)的倍數(shù)。最大公因數(shù)是最小公倍數(shù)的因數(shù)。

求最小公倍數(shù)的方法：

（1）列舉法：就是把幾個(gè)數(shù)的所有因數(shù)都寫出來，通過對(duì)比、觀察、找出最小公倍數(shù)。

12的倍數(shù)有：12、24、36、48、60、72……

18的倍數(shù)有：18、36、54、72……

12和18的公倍數(shù)有36、72等

12和18的最小公倍數(shù)是36

（2）分解質(zhì)因數(shù)法：就是將幾個(gè)數(shù)各自分解成質(zhì)因數(shù)的形式，全部公因數(shù)和全部商的乘積即為最小公倍數(shù)。

如：12=2×2×3

18=2×3×3

12和18的最小公倍數(shù)是2×3×2×3=36。

（3）短除法：用短除法求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)（除到互質(zhì)為止，把所有的除數(shù)和商連乘起來）；用短除法求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)（除到兩兩互質(zhì)為止，把所

有的除數(shù)和商連乘起來）

如：12和18的最大公因數(shù)是2×3×2×3=36

3

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如果兩數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時(shí)，那么較大的數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)。

如果兩數(shù)互質(zhì)時(shí)，那么它們的積就是它們的最小公倍數(shù)。

兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。

7、完全數(shù)（完美數(shù)）

6的因數(shù)有1，2，3，6，這幾個(gè)因數(shù)的關(guān)系是：1+2+3=6，像6這樣的數(shù)叫完全數(shù)，也叫完美數(shù)。完全數(shù)較小的有6，28，496，8128……

三分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)

1、分?jǐn)?shù)的意義

在進(jìn)行測(cè)量、分物或計(jì)算時(shí)，往往不能正好得到整數(shù)的結(jié)果，這時(shí)常用分?jǐn)?shù)來表示。

分?jǐn)?shù)的意義：一些物體﹑一些物體等都可以看作一個(gè)整體，把這個(gè)整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)來表示。

一個(gè)整體可以用自然數(shù)1來表示，通常把它叫做單位“1”。把單位“1”平均分為若干份，表示其中的一份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)單位。如：2/3的分?jǐn)?shù)單位是1/3。

分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系：分子相當(dāng)于被除數(shù)，分母相當(dāng)于除數(shù)，分?jǐn)?shù)線相當(dāng)于除號(hào)，分?jǐn)?shù)值相當(dāng)于商，分母不能等于零。如a÷b＝a/b（b≠0）

2、真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)

真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)小于1。

假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或分子和分母相等的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于1或等于1。

4

帶分?jǐn)?shù)：帶分?jǐn)?shù)由整數(shù)和真分?jǐn)?shù)兩部分組成。如1

5

假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)：用分子除以分母，要是能夠整除，那么整除后的商就是你所要化簡(jiǎn)的整數(shù)，要是不能整除，那么商就是帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分，余數(shù)就是分?jǐn)?shù)的分子，分母不變。

3、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)（0除外，分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，），分?jǐn)?shù)大小不變。根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可以進(jìn)行約分和通分。

4、約分

約分：把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成和它相等，但分子和分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。

最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)：分子分母互質(zhì)的分?jǐn)?shù)（最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)、最簡(jiǎn)假分?jǐn)?shù)）

約分的方法：

（1）分子分母同時(shí)除以它們的公因數(shù)，一直除到是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)為止。

（2）分子分母同時(shí)除以它們的最大公因數(shù)。

5、通分

通分：把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。

通分的方法：通常把兩個(gè)分?jǐn)?shù)化成以分母的最小公倍數(shù)為公分母的分?jǐn)?shù)。注意根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，分母乘幾，分子也乘幾。

6、分?jǐn)?shù)大小的比較：

分母相同，分子大的分?jǐn)?shù)大；

分子相同，分母大的反而小。

異分母的分?jǐn)?shù)相比較，先通分然后再比較。

7、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化：

分?jǐn)?shù)化小數(shù)：用分子除以分母，除不盡時(shí)，要根據(jù)需要按“四舍五入”法保留幾位小數(shù)。

小數(shù)化分?jǐn)?shù)：把小數(shù)先化成以10、100、1000……為分母的分?jǐn)?shù)，如0.7=7/10，如果不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)必須化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分母只含有質(zhì)因數(shù)2和5,這個(gè)分?jǐn)?shù)一定能化成有限小數(shù)。如果含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，就不能化成有限小數(shù)。

分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)包括兩步：一是約分；二是把假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)。

21=0.541=0.2543=0.7551=0.252=0.453=0.65

4=0.881=0.12583=0.37585=0.62587=0.875201=0.0525

1=0.04。

四分?jǐn)?shù)的加法和減法

1、分?jǐn)?shù)的加減法：

同分母分?jǐn)?shù)相加、減，分母不變，只把分子相加減。

分母不同的分?jǐn)?shù)，要先通分才能相加減。

計(jì)算的結(jié)果，能約分的要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算的順序與整數(shù)加減混合運(yùn)算的順序相同。有括號(hào)的先算括號(hào)里面的；沒有括號(hào)的，按照從左到右的順序依次計(jì)算。

整數(shù)加法的交換律、結(jié)合律對(duì)分?jǐn)?shù)假發(fā)同樣適用。

2、帶分?jǐn)?shù)加減法:

帶分?jǐn)?shù)相加減，整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加減，再把所得的結(jié)果合并起來。

五統(tǒng)計(jì)

1、概念

眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)。眾數(shù)能夠反映一組數(shù)據(jù)的集中情況。

在一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)可能不止一個(gè)，也可能沒有眾數(shù)。

中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大的數(shù)序排列，在中間的一個(gè)數(shù)（或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。中位數(shù)能夠反映一組數(shù)據(jù)的一般情況，中等水平。

中位數(shù)的求法：1、按大小排列。2、如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是單數(shù)，那么最中間的那個(gè)數(shù)就是中位數(shù)；3、如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是雙數(shù)，那么最中間的那兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù)。

平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的商叫這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)

2、統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖

收集和積累數(shù)據(jù)經(jīng)常使用的方法是畫（正），哪種數(shù)據(jù)增加1，就在哪種數(shù)據(jù)的名稱后面畫一筆。為了便于比較，還要把這些數(shù)據(jù)加以整理，制成統(tǒng)計(jì)表或統(tǒng)計(jì)圖。

統(tǒng)計(jì)表：根據(jù)統(tǒng)