隱函數(shù)的求導(dǎo)方法總結(jié)

河北地質(zhì)大學(xué)課程設(shè)計(jì)〔論文〕題目：隱函數(shù)求偏導(dǎo)的方法學(xué)院：信息工程學(xué)院專業(yè)名稱：電子信息類小組成員：史秀麗角子威季小琪2023年05月27日TOC\o"1-3"\h\u摘要3一．隱函數(shù)的概念3二．隱函數(shù)求偏導(dǎo)31.隱函數(shù)存在定理132.隱函數(shù)存在定理243.隱函數(shù)存在定理34三.隱函數(shù)求偏導(dǎo)的方法61.公式法62.直接法63.全微分法6參考文獻(xiàn)8摘要本文討論了一元隱函數(shù)，多元隱函數(shù)的存在條件及相關(guān)結(jié)論，總結(jié)出隱函數(shù)求偏導(dǎo)的方法和全微分法等方法和相應(yīng)實(shí)例，目的是更好的計(jì)算隱函數(shù)的求導(dǎo)關(guān)鍵字：隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)方法一．隱函數(shù)的概念一般地，如果變量滿足方程，在一定條件下，當(dāng)取某區(qū)間的任一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足這方程的唯一的值存在，那么就說方程在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù)。例如，方程表示一個(gè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)變量在內(nèi)取值時(shí)，變量有確定的值與其對(duì)應(yīng)。如。二．隱函數(shù)求偏導(dǎo)1.隱函數(shù)存在定理1設(shè)函數(shù)在P〔x。，y?！吃谀骋活I(lǐng)域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，，那么方程在點(diǎn)〔x。，y。〕的某一領(lǐng)域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有。例1:驗(yàn)證方程-=0在點(diǎn)〔1,1〕的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且當(dāng)x=1時(shí)y=1的隱函數(shù)y=，并求該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在x=1處的值。解令=-,那么=2x，=-2y，=0，=-2≠0由定理1可知，方程-=0在點(diǎn)〔1,1〕的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)的隱函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，y=1的隱函數(shù)為y=x，且有===故==12.隱函數(shù)存在定理2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且=0，，那么方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù),它滿足條件并有。例2：設(shè)函數(shù)由方程所確定，求解：設(shè)那么〔將x，y當(dāng)常數(shù)，對(duì)z求偏導(dǎo)〕〔將x，y當(dāng)做常數(shù)，對(duì)y求偏導(dǎo)〕根據(jù)定理2：3.隱函數(shù)存在定理3設(shè)、在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式〔或稱雅可比(Jacobi)〕在點(diǎn)不等于零，那么方程組在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù),它們滿足條件，，并有例3：設(shè)，求解：由定理3可求那么同上可求得三.隱函數(shù)求偏導(dǎo)的方法1.公式法：即將方程中所有非零項(xiàng)移到等式一邊，并將其設(shè)為函數(shù)F,注意應(yīng)將x,y,z看作獨(dú)立變量，對(duì)F(x,y,z)=0分別求導(dǎo)，利用公式-,-。類型條件公式類型條件公式，，2.直接法：分別將F(x,y,z)=0兩邊同時(shí)對(duì)x,y看作獨(dú)立變量，z是x,y的函數(shù)，得到含的兩個(gè)方程，解方程可求出.3.全微分法：利用微分形式的不變性，對(duì)所給方程兩邊求微分，整理成那么的系數(shù)便是，在求全微分時(shí)，應(yīng)看做自變量.例1.，求.解.方法一：令-那么所以上式再對(duì)x求導(dǎo)得方法二：方程兩端分別對(duì)x求導(dǎo)得方法三：方程，兩端分別求微分得利用全微分不定性，上式化為由全微分運(yùn)算法那么計(jì)算并化簡得參考文獻(xiàn)【1】同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)第七版下冊(cè)【M】北京：高等教育出版社，2023.7【2】段生貴，曹南斌.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)【M】成都：電子科技大學(xué)出版社，2023.8【3】邵燕南.高等數(shù)