湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

三湘名校教育聯(lián)盟·2023屆高三第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)本試卷共4頁、全卷滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則＝（）A． B．{1，2} C．{－1，4} D．{1，4}2．已知復(fù)數(shù)，則（）A．z的虛部為1 B． C．為純虛數(shù) D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限3．已知函數(shù)，則＝（）A． B．4 C． D．84．“數(shù)列為等比數(shù)列”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．設(shè)，若，則n＝（）A．6 B．7 C．8 D．96．沙滿是我國古代的一種計時工具，是用兩個完全相同的圓錐頂對頂疊放在一起組成的（如圖）．在一個圓錐中裝滿沙子，放在上方，沙子就從頂點處沫到另一個圓錐中，假定沙子漏下來的速度是恒定的（沙堆的底面是水平的）．已知一個沙漏中沙子全部從一個圓錐漏到另一個圓錐中需用時27分鐘，則經(jīng)過19分鐘后，沙漏上方圓錐中的沙子的高度與下方圓錐中的沙子的高度之比是（）A．1：1 B．2：1 C．2：3 D．3：27．已知雙曲線的左，右焦點分別為、，A雙曲伐C的左頂點，以、為為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P，Q兩點，且，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C．2 D．8．定義在上的偶函數(shù)f（x）滿足f（－x）＋f（x－2）＝0，當(dāng)時，，則（）A． B．C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．最近幾個月，新冠肺炎疫情又出現(xiàn)反復(fù)，各學(xué)校均加強(qiáng)了疫情防控要求，學(xué)生在進(jìn)校時必須走測溫通道，每天早中晚都要進(jìn)行體溫檢測并將結(jié)果上報主管部門。某班級體溫檢測員對一周內(nèi)甲、乙兩名同學(xué)的體溫進(jìn)行了統(tǒng)計，其結(jié)果如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）A．甲同學(xué)體溫的極差為0.4℃B．甲同學(xué)體溫的第75百分位數(shù)為36.6℃C．乙同學(xué)體溫的眾數(shù)，中位數(shù)、平均數(shù)相等D．乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定10．若，，，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是（）A． B．C． D．11．已知正三棱柱的所在棱長均為2，P為棱上的動點，則下列結(jié)論中正確的是（）A．該正三棱柱內(nèi)可放入的最大球的體積為B．該正三棱柱外接球的表面積為C．存在點P，使得D．點P到直線的距離的最小值為12．已知，分別是橢圓的左，右焦點，M，N是橢圓C上的兩點，且，，則下列結(jié)論中正確的是（）A．M，，N三點共線 B．C．為直角三角形 D．橢圓C的離心率為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點（1，0）處的切線與曲線相切，則a＝______．14．將函數(shù)的圖象先向右平移個單位，再將所得的圖象上每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍，得到函數(shù)的圖象，則的一個可能取值是______．15．已知函數(shù)3個零點，則a的取值范圍是______．16．已知圓O的半徑為2，A為圓內(nèi)一點，OA＝1，B，C為圓O上任意兩點，則的取值范圍是______．四、解答題：本題共6題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知數(shù)列的前n項和為，且，．（1）證明是等比數(shù)列，（2）求數(shù)列的通項公式．18．（12分）2020年1月15日教育部制定出臺了《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點工作的意見》（也稱“強(qiáng)基計劃”），《意見》宣布：2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實行強(qiáng)基計劃．強(qiáng)基計劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科撥尖的學(xué)生，據(jù)悉強(qiáng)基計劃的校考由試點高校自主命題，?？歼^程中通過筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立．若某考生報考甲大學(xué)，每門科目通過的概率勻為，該考生報考乙大學(xué)，每門科目通過的概率依次，，其中．（1）若，求該考生報考乙大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過兩門科目的概率；（2）“強(qiáng)基計劃”規(guī)定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，則當(dāng)該考生更希望通過乙大學(xué)的筆試時，求m的取值范圍．19．（12分）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，S為△ABC的面積，．（1）證明：B＝2A；（2）若a＝3，，求c．20．（12分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M為邊AB的中點．以CM為折痕把△BCM折起，使點B到達(dá)點P的位置，且，連接PA，PB，PD．（1）證明：平面PMC⊥平面AMCD；（2）若E是線段DP上的動點（不與點P，D重合），二面角E－CM－P的大小為，試確定點E的位置21．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線，P為直線y＝－1上的動點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為A，B．當(dāng)P在y軸上時，OA⊥OB．（1）求拋物線C的方程；（2）求點O到直線AB距離的最大值．22．（12分）已知函數(shù)．（1）若a＝2，求函數(shù)f（x）的零點個數(shù)；（2）若函數(shù)，是否存在a，使得g（x）在x＝0處取得極小值？說明理由．高三數(shù)學(xué)參考答案選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）題號123456789101112答案 B C C A C B D A ACD ABC BCD ABC1．B解析：，∴．2．C解析：，∴z的虛部為－1，，為純虛數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限，故選C．3．C解析：．4．A解析：數(shù)列為等比數(shù)列，則也為等比數(shù)列，且，∴為等差數(shù)列，反之“數(shù)列為等差數(shù)列”推不出“數(shù)列為等比數(shù)列”（正負(fù)隨取構(gòu)不成等比數(shù)列），故選A．5．C解析：展開式第項，∵，∴，即，∴，整理得，∴．6．B解析：由題意漏下來的沙子是全部沙子的，下方圓錐的空白部分就是上方圓錐中的沙子部分，∴可以單獨研究下方圓錐，∴，∴，∴．7．D解析：設(shè)以為直徑的圓的方程為，，則，由，解得或，∴，．∵，，∴，∴，∴，即，∴，∴．8．A解析：∵，，∴，∴的圖象關(guān)于直線和點對稱，∴的周期為4．求導(dǎo)易知在遞增，由對稱性知在，遞咸，∴，，∵，，∴．9．ACD解析：觀察折線圖知甲同學(xué)體溫的極差為，A正確；將甲同學(xué)的體溫從小到大排成一列：36.4℃，36.4℃，36.6℃，36.6℃，36.7℃，36.7℃，36.8℃，因為，所以甲同學(xué)體溫的第75百分位數(shù)為，B錯誤；乙同學(xué)體溫從小到大排成一列：36.5℃，36.5℃，36.6℃，36.6℃，36.6℃．36.7℃，36.7℃，乙同學(xué)體溫的眾數(shù)為，中位數(shù)為，平均數(shù)，C正確；乙同學(xué)的體溫波動較甲同學(xué)的小，極差為，也比甲同學(xué)的小，因此乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定，D正確．10．ABC解析：由，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴ABC正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，∴，D錯誤．11．BCD解析：該正三棱柱內(nèi)可放入的最大球的半徑為的內(nèi)切圓半徑，體積為，故A錯誤；該正三棱柱的外接球半徑，表面積為，B正確；當(dāng)為中點時，易證平面，故正確；建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)點到直線的距離公式可求得當(dāng)為中點時，點到直線的距離取得最小值為（或?qū)Ⅻc到直線的距離投影到底面易知），D正確．12．ABC解析：∵，∴M，，N三點共線，設(shè)，則，，，∴，，∴，，∴，故ABC正確．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．114．（答案不唯一）15．16．13．1解析：曲線在點處的切線方程為，由得，由，解得．14．（答案不唯一）解析：函數(shù)的圖象先向右平移個單位，得到的圖象，再將所得的圖象上每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮玫降膱D象，∴，，解得，故的一個可能取值為．15．［0，1）解析：有2個零點和，有1個零點，由圖可得當(dāng)時，有3個零點．16．解析：，易知，∴，∴的取值范圍是．四、解答題（本大題共6小題，共70分）17．解析：（1）由得，即，（3分）又，∴是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列．（4分）（2）由（1）可得，即．（6分）當(dāng)時，（9分又滿足，∴．（10分）18．解析：（1）該考生報考乙大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過兩門科目的概率為．（3分）（2）甲通過的考試科目數(shù)，∴．（5分）設(shè)乙通過的考試科目數(shù)為，則，（6分），（7分）（8分，（9分）∴（10分）∵該考生更希望通過乙大學(xué)的筆試，∴，∴，∴．∴當(dāng)該考生更希望通過乙大學(xué)的筆試時，的取值范圍是．（12分）19．解析：（1）∵，∴（2分）由余弦定理得，（4分）由正弦定理得，即，∴，∴．（6分）（2）由已知及正弦定理得，∴．（8分）由余弦定理得，解得或3．（10分）當(dāng)時，，，矛盾，舍去，∴．（12分）20．解析：（1）取線段的中點，連接，∵，，∴為等邊三角形，∴，，．（2分）∵，∴，∴，∴（4分∵，平面．∵平面，∴平面平面．（5分）（2）由（1）知，，相互垂直，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．（6分）設(shè)，則，，連接，則，且，∴，，，，∴，，，設(shè)，，則，設(shè)為平面的法向量，則，令得（9分）∵平面的一個法向量分）∴，解得（舍）或，∴當(dāng)點在線段上，滿足時，二面角的大小為．（12分）21．解析：（1）當(dāng)在軸上時，即，設(shè)過點的切線方程為，與聯(lián)立得，由直線和拋物線相切可得，，，∴，，（3分）由可得，解得，∴拋物線的方程為．（5分）（2），∴，設(shè)，，則，即，同理可得，（8分）又為直線上的動點，設(shè)，則，，由兩點確定一條直線可得的方程為，即，（10分）∴直線恒過定點，∴點到直線距離的最大值