數(shù)學(xué)建模按揭還款課程設(shè)計報告

..>數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計題目：按揭還款摘要隨著人們生活水平的不斷提高及社會制度的開展,消費觀念正在發(fā)生深刻的變化。俗話說："花明天的錢享今天的福〞按揭還款的消費方式正是符合了人們當(dāng)前的消費需求，于是按揭貸款購置住房、汽車、教育、旅游等大件商品已經(jīng)被越來越多的百姓承受。目前按揭還貸有等額本息還貸法和等額本金還貸的還款方式。允許借貸人與貸款人在雙方協(xié)商的根底上進展選擇，但一筆借款合同只能允許選擇一張還款方式，合同簽訂后，不得更改。本文根據(jù)銀行購房貸款和我們的日常常識建立數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出月均還貸總額、還款總額和利息負擔(dān)總和的公式。并以一筆20萬元、10年的房貸為例，利用已求出的公式，計算出10年內(nèi)月均還款額和所花費的本息總額，制成圖表，將等額本息還款法和等額本金還款法兩種還款方式做一次比較。關(guān)鍵字：貸款;等額本息;等額本金;月均還款總額一．問題重述銀行目前有等額本息還款法和等額本金還款法兩種還款方式，李先生準備向銀行貸款20萬元購房、方案10年還清.所謂等額本息還款法，即每月以相等的額度平均歸還貸款本息，直至期滿還清；而等本不等息遞減還款法〔簡稱等額本金還款法〕，即每月歸還貸款本金一樣，而利息隨本金的減少而逐月遞減，直至期滿還清?，F(xiàn)在我們需要幫助李先生通過建立數(shù)學(xué)模型分析一下，就兩種還款方式，李先生應(yīng)選擇哪種還款方式比較劃算.1.李先生每月應(yīng)向銀行還款的數(shù)目，10年到期后李先生總共要向銀行還款的數(shù)目?！操J款10年的年利率為5.94%〕2.假設(shè)李先生方案8年還清貸款，李先生每月應(yīng)向銀行還款數(shù)目，8年到期后，李先生總共要向銀行還款數(shù)目。3.假假設(shè)李先生每月能夠向銀行還款1500元，就兩種還款方式，李先生多少年才能還清貸款，總共需要還款的數(shù)目。試利用多項式數(shù)據(jù)擬合，得到每個公司醫(yī)療費用變化函數(shù)，并繪出標出原始數(shù)據(jù)的擬合函數(shù)曲線。需給出三種不同階數(shù)的多項式數(shù)據(jù)擬合，并分析擬合曲線與原始數(shù)據(jù)的擬合程度。二．模型假設(shè)1．假設(shè)在貸款期間銀行利率保持不變；2．假設(shè)在貸款期間貸款人有能力歸還每月還貸款；3．假設(shè)在貸款期間貸款人能按時歸還每月貸款額，不會拖欠；4.假設(shè)在這段時間內(nèi)不考慮經(jīng)濟波動情況。三．問題分析目前有兩種還款方式。等額本息還款法：每月以相等的額度平均歸還貸款本息，直至期滿還清，容易作出預(yù)算。還款初期利息占每月供款的大局部，隨本金逐漸返還，還供款中本金比重增加。等額本息還款法更適合用于現(xiàn)期收入少，預(yù)期收入穩(wěn)定或增加的借款人，或預(yù)算清晰的人士和收入穩(wěn)定的人士。而等額本金還款法:每期還給銀行相等的本金,但客戶每月的利息負擔(dān)就會不同.利息負擔(dān)應(yīng)該是隨本金逐期遞減。借款人在開場還貸時,每月負擔(dān)比等額本息要重。但隨著時間推移,還款負擔(dān)便會減輕。所以我們可知等額本金還款法適合目前收入較高的人群。四．模型建立問題的參數(shù)問題參數(shù)約定如下：A:客戶向銀行貸款的本金B(yǎng):客戶平均每期應(yīng)還的本金C:客戶應(yīng)向銀行還款的總額D:客戶的利息負擔(dān)總和α:客戶向銀行貸款的月利率β:客戶向銀行貸款的年利率m:貸款期n:客戶總的還款期數(shù)根據(jù)我們的日常生活常識，我們可以得到下面的關(guān)系：〔1〕 〔2〕 〔3〕模型的建立1．等額本息還款模型：〔1〕貸款期在1年以上：先假設(shè)銀行貸給客戶的本金是在*個月的1號一次到位的.在本金到位后的下個月1號開場還錢，且設(shè)在還款期內(nèi)年利率不變.因為一年的年利率是β，則，平均到一個月就是〔β/12〕，也就是月利率α，即有關(guān)系式：設(shè)月均還款總額是*〔元〕〔i=1…n〕是客戶在第i期1號還款前還欠銀行的金額(i=1…n)是客戶在第i期1號還錢后欠銀行的金額.根據(jù)上面的分析，有第1期還款前欠銀行的金額：第1期還款后欠銀行的金額：第2期還款前欠銀行的金額：第2期還款后欠銀行的金額：……第i期還款前欠銀行的金額：第i期還款后欠銀行的金額：……第n期還款前欠銀行的金額：第n期還款后欠銀行的金額：因為第n期還款后，客戶欠銀行的金額就還清.也就是說：，即：〔2〕1年期的貸款，銀行一般都是要求客戶實行到期一次還本付息，利隨本清.因此，1年期的還款總額為：而利息負擔(dān)總和為：2．等額本金還款模型：銀行除了向客戶介紹上面的等額本息還款法外，還介紹另一種還款方法：等額本金還款法〔遞減法〕：每期還給銀行相等的本金，但客戶每月的利息負擔(dān)就會不同.利息負擔(dān)應(yīng)該是隨本金逐期遞減.因此，客戶每月除付給銀行每期應(yīng)付的本金外，還要付給銀行沒還的本金的利息.(1)假設(shè)貸款期在1年以上.等額本金還款法：每期還給銀行相等的本金，但客戶每月的利息負擔(dān)不同。利息負擔(dān)隨本金的歸還逐期遞減。所以客戶每期應(yīng)付金額中包含固定本金和一定利息。設(shè)客戶第i期應(yīng)付的金額為(i=1，2…,n)(單位：元)因此，客戶第一期應(yīng)付的金額為：第二期應(yīng)付的金額為：計算一下，如果選擇等額本金還款法，則，在第53期，應(yīng)該還銀行4450.00元，在第53期，應(yīng)該還銀行4433.33元，與等額本息每月4440.82元相當(dāng).而在第120期〔假設(shè)年利率不變〕，應(yīng)該還銀行3333.33元，即最后一次只還本金?？梢钥闯?，等額本金還款法的還款金額是逐級遞減的。而且對于每月4440元的收入，等額本息還款法還款會更適宜.……則，客戶第n期應(yīng)付的金額為：累計應(yīng)付的還款總額為：利息負擔(dān)總和為：〔2〕1年期的貸款，銀行都要求客戶實行到期一次還本付息，利隨本清.因此，1年期的還款總額為：而利息負擔(dān)總和為：五．模型求解問題參數(shù)約定如下：A:客戶向銀行貸款的本金B(yǎng):客戶平均每期應(yīng)還的本金C:客戶應(yīng)向銀行還款的總額D:客戶的利息負擔(dān)總和α:客戶向銀行貸款的月利率β:客戶向銀行貸款的年利率m:貸款期n:客戶總的還款期數(shù)根據(jù)我們的日常生活常識，我們可以得到下面的關(guān)系：〔1〕 〔2〕 〔3〕1．等額本息還款模型〔1〕貸款期在1年以上：因為一年的年利率是β，則，平均到一個月就是〔β/12〕，也就是月利率α，即有關(guān)系式：設(shè)月均還款總額是*〔元〕〔i=1…n〕是客戶在第i期1號還款前還欠銀行的金額(i=1…n)是客戶在第i期1號還錢后欠銀行的金額.根據(jù)上面的分析，有第1期還款前欠銀行的金額：第1期還款后欠銀行的金額：第2期還款前欠銀行的金額：第2期還款后欠銀行的金額：……第i期還款前欠銀行的金額：第i期還款后欠銀行的金額：……第n期還款前欠銀行的金額：第n期還款后欠銀行的金額：因為第n期還款后，客戶欠銀行的金額就還清.也就是說：，即：解方程得：這就是月均還款總額的公式.因此，客戶總的還款總額就等于：利息負擔(dān)總和等于：〔2〕1年期的貸款，銀行一般都是要求客戶實行到期一次還本付息，利隨本清.因此，1年期的還款總額為：而利息負擔(dān)總和為：2等額本金還款模型的求解(1)假設(shè)貸款期在1年以上.設(shè)客戶第i期應(yīng)付的金額為(i=1，2…,n)(單位：元)因此，客戶第一期應(yīng)付的金額為：第二期應(yīng)付的金額為：計算一下，如果選擇等額本金還款法，則，在第53期，應(yīng)該還銀行4450.00元，在第53期，應(yīng)該還銀行4433.33元，與等額本息每月4440.82元相當(dāng).而在第120期〔假設(shè)年利率不變〕，應(yīng)該還銀行3333.33元，即最后一次只還本金?？梢钥闯?，等額本金還款法的還款金額是逐級遞減的。而且對于每月4440元的收入，等額本息還款法還款會更適宜.……則，客戶第n期應(yīng)付的金額為：累計應(yīng)付的還款總額為：利息負擔(dān)總和為：〔2〕1年期的貸款，銀行都要求客戶實行到期一次還本付息，利隨本清.因此，1年期的還款總額為：而利息負擔(dān)總和為：六．模型分析與改進1．模型分析與檢驗:1.李先生每月應(yīng)向銀行還款的數(shù)目，10年到期后李先生總共要向銀行還款的數(shù)目?！操J款10年的年利率為5.94%〕(1)等額本息：利用上文模型求解得的公式可知總的還款期數(shù)n=12m=12×10=120客戶向銀行貸款的月利率α=β/12=0.495%月供金額〔月均還款總額〕〔單位：元〕客戶總的還款總額就等于：利息負擔(dān)總和等于：(2)等額本金：月供金額〔客戶第n期應(yīng)付的金額〕客戶每期應(yīng)還的本金所以月供金額如下：…………累計應(yīng)付的還款總額為：利息負擔(dān)總和為：計算貸款20萬的兩種還款方式所得各項數(shù)據(jù)比照方下表：〔年利率為5.94%來計算〔單位：元〕〕貸款期限〔年〕年利率〔%〕還款總額利息負擔(dān)總和月均還款總額10〔等額本息〕10〔等額本金〕2648.42〔第1期〕比較〔相差〕------------2.假設(shè)李先生方案8年還清貸款，李先生每月應(yīng)向銀行還款數(shù)目，8年到期后，李先生總共要向銀行還款數(shù)目。(1)等額本息：利用上文模型求解得的公式可知總的還款期數(shù)n=12m=12×10=96客戶向銀行貸款的月利率α=β/12=0.495%月供金額〔月均還款總額〕〔單位：元〕客戶總的還款總額就等于：利息負擔(dān)總和等于：(2)等額本金：月供金額〔客戶第n期應(yīng)付的金額〕客戶每期應(yīng)還的本金所以月供金額如下：…………累計應(yīng)付的還款總額為：利息負擔(dān)總和為：計算貸款20萬的兩種還款方式所得各項數(shù)據(jù)比照方下表：〔年利率為5.94%來計算〔單位：元〕〕貸款期限〔年〕年利率〔%〕還款總額利息負擔(dān)總和月均還款總額8〔等額本息〕8〔等額本金〕3062.02〔第1期〕比較〔相差〕------------3.假假設(shè)李先生每月能夠向銀行還款1500元，就兩種還款方式，李先生多少年才能還清貸款，總共需要還款的數(shù)目。用逆向思維等額本息：等額本息每個月還貸的金額是一定的，李先生每月能夠向銀行還款1500元也*就意味著*=1500可根據(jù)逆推出需歸還的期數(shù)n：=218歸還總額C：C=n*=2181500=等額本金：在等額本金的還貸法中每月還貸數(shù)是依次遞減的，而貸款人每月只能還貸1500故貸款人每月最多能還貸1500即第一個月的還款金額為1500.〔*1=1500〕同理可由可由上式推出需歸還的期數(shù)n：=390歸還總額C：2．模型評價:模型的優(yōu)點：〔1〕采用的數(shù)學(xué)模型有成熟的理論根底，可信度較高。〔2〕本文建立的模型與實際嚴密聯(lián)系，考慮現(xiàn)實情況的多樣性，從而使模型更貼近實際，更實用?！?〕本文用數(shù)學(xué)工具，嚴密對模型求解，具有科學(xué)性?！?〕為了更貼近實際，在靜態(tài)模型的的根底上，考慮未來現(xiàn)金折現(xiàn)對模型進展改進，加以驗證?！?〕借助圖表，比較形象直觀，從多方面對結(jié)果進展驗證。模型缺點：〔1〕模型復(fù)雜因素較多，不能對其進展全面考慮?！?〕利率的準確度不同可能造成一定誤差〔3〕經(jīng)濟社會中隨機因素較多，使模型不能將其準確反響出來模型的改進：〔1〕考慮通貨膨脹等市場經(jīng)濟中的因素〔2〕考慮國家政策、重大事件比方加息對人們還貸行為的影響〔3〕對利率有更準確的計算方法〔4〕考慮不同人群的消費觀念和收入水平七．建模心得數(shù)學(xué)建模，對于我們計算機院的學(xué)生來說還是比較陌生的，在數(shù)學(xué)模型之前我們還未曾學(xué)習(xí)過這門課程，但通過這周的建模使我們知道了什么叫做數(shù)學(xué)建模。在學(xué)習(xí)之中，鍛煉了我們的能力，獲益非淺。真正用到了數(shù)學(xué)的理論知識去解決我們在實際生活上的一些問題。從最初的"建模〞簡介，我們了解到數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用之廣、之深、之切。小到日常的衣食住行，大到科技進步，人類生存。龐大的數(shù)學(xué)知識體系良好地標準我們的生活，與我們每個人都息息相關(guān)，并隨著科技的進步，數(shù)學(xué)與我們的關(guān)系也越來越密切。終于明白了，為什么數(shù)學(xué)是真正的科學(xué)工具，是人類開展進步的根底學(xué)科，它既能標準現(xiàn)在，又能預(yù)測未來。在這次實踐中，我選擇的是關(guān)于購房按揭還貸，可以說是一個小模型，里面所用到的知識和方法也是比較容易的。在分配到相應(yīng)題目之后，我就開場著手行動，經(jīng)過三天的努力模型根本建成，從最開場的一無所知到最后的完成數(shù)學(xué)建模報告，這都告訴我只要用心努力去干一件事一定可以成功。也讓我明白在今后的學(xué)習(xí)生活中，我們應(yīng)當(dāng)將理論與實踐相結(jié)合，努力提高自己的數(shù)學(xué)專業(yè)水平。參考文獻：[1]龔曉嵐哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社2012年1月1日。[2]姜啟源謝金星葉俊，數(shù)學(xué)模型，：高等教育出版社，2011年.[3]堵秀鳳張劍張宏民北京航空航天大學(xué)出版社，2011年3月。[4]姜啟源高等教育出版社2003年.附錄：#include<stdio.h>voidmain(){ intyear; floatA,B,T,W,Q,sum=0; printf("請輸入貸款的金額："); scanf("%f",&A); printf("請輸入年利率："); scanf("%f",