六年級(jí)奧數(shù)專(zhuān)題：枚舉法

六年級(jí)奧數(shù)專(zhuān)題：枚舉法六年級(jí)奧數(shù)專(zhuān)題：枚舉法六年級(jí)奧數(shù)專(zhuān)題：枚舉法V:1.0精細(xì)整理，僅供參考六年級(jí)奧數(shù)專(zhuān)題：枚舉法日期：20xx年X月六年級(jí)奧數(shù)專(zhuān)題：枚舉法我們?cè)谡n堂上遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題，一般都可以列出算式，然后求出結(jié)果。但在數(shù)學(xué)競(jìng)賽或生活中卻經(jīng)常會(huì)遇到一些有趣的題目，由于找不到計(jì)算它們的算式，似乎無(wú)從下手。但是，如果題目所述的情況或滿(mǎn)足題目要求的對(duì)象能夠被一一列舉出來(lái)，或能被分類(lèi)列舉出來(lái)，那么問(wèn)題就可以通過(guò)枚舉法獲得解決。所謂枚舉法，就是根據(jù)題目要求，將符合要求的結(jié)果不重復(fù)、不遺漏地一一列舉出來(lái)，從而解決問(wèn)題的方法。例1小明和小紅玩擲骰子的游戲，共有兩枚骰子，一起擲出。若兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)和為7，則小明勝；若點(diǎn)數(shù)和為8，則小紅勝。試判斷他們兩人誰(shuí)獲勝的可能性大。分析與解：將兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)和分別為7與8的各種情況都列舉出來(lái)，就可得到問(wèn)題的結(jié)論。用a＋b表示第一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為a，第二枚骰子的點(diǎn)數(shù)是b的情況。出現(xiàn)7的情況共有6種，它們是：1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。出現(xiàn)8的情況共有5種，它們是：2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。所以，小明獲勝的可能性大。注意，本題中若認(rèn)為出現(xiàn)7的情況有1＋6，2＋5，3＋4三種，出現(xiàn)8的情況有2＋6，3＋5，4＋4也是三種，從而得“兩人獲勝的可能性一樣大”，那就錯(cuò)了。例2數(shù)一數(shù)，右圖中有多少個(gè)三角形。分析與解：圖中的三角形形狀、大小都不相同，位置也很凌亂，不好數(shù)清楚。為了避免數(shù)數(shù)過(guò)程中的遺漏或重復(fù)，我們將圖形的各部分編上號(hào)（見(jiàn)右圖），然后按照?qǐng)D形的組成規(guī)律，把三角形分成單個(gè)的、由兩部分組成的、由3部分組成的……再一類(lèi)一類(lèi)地列舉出來(lái)。單個(gè)的三角形有6個(gè)：1，2，3，5，6，8。由兩部分組成的三角形有4個(gè)：（1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。由三部分組成的三角形有1個(gè)：（5，7，8）。由四部分組成的三角形有2個(gè)：（1，3，4，5），（2，6，7，8）。由八部分組成的三角形有1個(gè)：（1，2，3，4，5，6，7，8）。總共有6＋4＋1＋2＋1=14（個(gè)）。對(duì)于這類(lèi)圖形的計(jì)數(shù)問(wèn)題，分類(lèi)型數(shù)是常用的方法。例3在算盤(pán)上，用兩顆珠子可以表示多少個(gè)不同的四位數(shù)？

分析與解：上珠一個(gè)表示5，下珠一個(gè)表示1。分三類(lèi)枚舉：（1）兩顆珠都是上珠時(shí)，可表示5005，5050，5500三個(gè)數(shù)；（2）兩顆珠都是下珠時(shí)，可表示1001，1010，1100，2000四個(gè)數(shù)；（3）一顆上珠、一顆下珠時(shí)，可表示5001，5010，5100，1005，1050，1500，6000七個(gè)數(shù)。一共可以表示3＋4＋7=14（個(gè)）四位數(shù)。由例1～3看出，當(dāng)可能的結(jié)果較少時(shí)，可以直接枚舉，即將所有結(jié)果一一列舉出來(lái)；當(dāng)可能的結(jié)果較多時(shí)，就需要分類(lèi)枚舉，分類(lèi)枚舉是我們需重點(diǎn)學(xué)習(xí)掌握的內(nèi)容。分類(lèi)一定要包括所有可能的結(jié)果，這樣才能不遺漏，并且類(lèi)與類(lèi)之間不重疊，這樣才能不重復(fù)。例4有一只無(wú)蓋立方體紙箱，將它沿棱剪開(kāi)成平面展開(kāi)圖。那么，共有多少種不同的展開(kāi)圖？

分析與解：我們將展開(kāi)圖按最長(zhǎng)一行有多少個(gè)正方形（紙箱的面）來(lái)分類(lèi)，可以分為三類(lèi)：最長(zhǎng)一行有4個(gè)正方形的有2種，見(jiàn)圖（1）（2）；最長(zhǎng)一行有3個(gè)正方形的有5種，見(jiàn)圖（3）～（7）；最長(zhǎng)一行有2個(gè)正方形的有1種，見(jiàn)圖（8）。不同的展開(kāi)圖共有2＋5＋1＝8（種）。例5小明的暑假作業(yè)有語(yǔ)文、算術(shù)、外語(yǔ)三門(mén)，他準(zhǔn)備每天做一門(mén)，且相鄰兩天不做同一門(mén)。如果小明第一天做語(yǔ)文，第五天也做語(yǔ)文，那么，這五天作業(yè)他共有多少種不同的安排？

分析與解：本題是分步進(jìn)行一項(xiàng)工作，每步有若干種選擇，求不同安排的種數(shù)（有一步差異即為不同的安排）。這類(lèi)問(wèn)題簡(jiǎn)單一些的可用乘法原理與加法原理來(lái)計(jì)算，而本題中由于限定條件較多，很難列出算式計(jì)算。但是，我們可以根據(jù)實(shí)際的安排，對(duì)每一步可能的選擇畫(huà)出一個(gè)樹(shù)枝狀的圖，非常直觀地得到結(jié)果。這樣的圖不妨稱(chēng)為“枚舉樹(shù)”。由上圖可知，共有6種不同的安排。例6一次數(shù)學(xué)課堂練習(xí)有3道題，老師先寫(xiě)出一個(gè)，然后每隔5分鐘又寫(xiě)出一個(gè)。規(guī)定：（1）每個(gè)學(xué)生在老師寫(xiě)出一個(gè)新題時(shí)，如果原有題還沒(méi)有做完，那么必須立即停下來(lái)轉(zhuǎn)做新題；（2）做完一道題時(shí)，如果老師沒(méi)有寫(xiě)出新題，那么就轉(zhuǎn)做前面相鄰未解出的題。解完各題的不同順序共有多少種可能？

分析與解：與例5類(lèi)似，也是分步完成一項(xiàng)工作，每步有若干種可能，因此可以通過(guò)畫(huà)枚舉樹(shù)的方法來(lái)求解。但必須考慮到所有可能的情形。由上圖可知，共有5種不同的順序。說(shuō)明：必須正確理解圖示順序的實(shí)際過(guò)程。如左上圖的下一個(gè)過(guò)程，表示在第一個(gè)5分鐘內(nèi)做完了第1題，在第二個(gè)5分鐘內(nèi)沒(méi)做完第2題，這時(shí)老師寫(xiě)出第3題，只好轉(zhuǎn)做第3題，做完后再轉(zhuǎn)做第2題。例7是否存在自然數(shù)n，使得n2＋n＋2能被3整除？

分析與解：枚舉法通常是對(duì)有限種情況進(jìn)行枚舉，但是本題討論的對(duì)象是所有自然數(shù)，自然數(shù)有無(wú)限多個(gè)，那么能否用枚舉法呢？我們將自然數(shù)按照除以3的余數(shù)分類(lèi)，有整除、余1和余2三類(lèi)，這樣只要按類(lèi)一一枚舉就可以了。當(dāng)n能被3整除時(shí)，因?yàn)閚2，n都能被3整除，所以（n2＋n＋2）÷3余2；當(dāng)n除以3余1時(shí)，因?yàn)閚2，n除以3都余1，所以（n2＋n＋2）÷3余1；當(dāng)n除以3余2時(shí)，因?yàn)閚2÷3余1，n÷3余2，所以（n2＋n＋2）÷3余2。因?yàn)樗械淖匀粩?shù)都在這三類(lèi)之中，所以對(duì)所有的自然數(shù)n，（n2＋n＋2）都不能被3整除。練習(xí)1.將6拆成兩個(gè)或兩個(gè)以上的自然數(shù)之和，共有多少種不同拆法？

2.小明有10塊糖，如果每天至少吃3塊，吃完為止，那么共有多少種不同的吃法？

3.用五個(gè)1×2的小矩形紙片覆蓋右圖的2×5的大矩形，共有多少種不同蓋法？

4.15個(gè)球分成數(shù)量不同的四堆，數(shù)量最多的一堆至少有多少個(gè)球？

5.數(shù)數(shù)右圖中共有多少個(gè)三角形？

6.甲、乙比賽乒乓球，五局三勝。已知甲勝了第一盤(pán)，并最終獲勝。問(wèn)：各盤(pán)的勝負(fù)情況有多少種可能？

7.經(jīng)理有4封信先后交給打字員，要求打字員總是先打最近接到的信，比如打完第3封信時(shí)第4封信還未到，此時(shí)如果第2封信還未打完，那么就應(yīng)先打第2封信而不能打第1封信。打字員打完這4封信的先后順序有多少種可能？

練習(xí)答案1.10種。解：6=1＋5=2＋4=3＋3=1＋1＋4=1＋2＋3=2+2+2=1+1+1+3＝1+1+2+2＝1+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1。2.9種。解：一天吃完有1種：（10）；兩天吃完有5種：（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3）；三天吃完有3種：（3，3，4），（3，4，3），（4，3，3）。共1+5+3=9（種）。3.8種。解：如下圖所示，只有1個(gè)小矩形豎放的有3種，有3個(gè)小矩形豎放的有4種，5個(gè)小矩形都豎放的有1種。共3＋4＋1=8（種）。4.6個(gè)。解：15個(gè)球分成數(shù)量不同的四堆的所有分法有下面6種：（1，2，3，9），（1，2，4，8，）（1，2，5，7），（1，3，4，7），（1，3，5，6），（2，