概率論-1.1概述與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性

關于本學科概率（或然率或幾率）----隨機事件出現(xiàn)的可能性的量度。概率論是一門研究客觀世界隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學分支學科。數(shù)理統(tǒng)計學是一門研究怎樣去有效地收集、整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，從而對所 的問題作出推斷或直至為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議的數(shù)學分支學科。本學科的應用概率統(tǒng)計理論與方法的應用幾乎遍及所有科學技術領域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國民經(jīng)濟的各個部門中。概率論與數(shù)理統(tǒng)計有廣泛應用(1).金融、信貸、醫(yī)療保險等行業(yè)策略制定；

(2).流水線上產(chǎn)品質(zhì)量檢驗與質(zhì)量控制；

(3).服務性行業(yè)中服務設施及服務員配置；(4).生物醫(yī)學中病理試驗與藥理試驗；食品保質(zhì)期、

分析，電器與電子產(chǎn)品

分析；物礦探測、環(huán)保監(jiān)測、機械仿生與考古；第一章隨機事件§1.1

概述§1.2

事件的概率§1.3

古典概率模型§1.4

條件概率§1.

的獨立性客觀現(xiàn)象的分類1.確定性現(xiàn)象(1)必然現(xiàn)象--------在一定的條件下必然出現(xiàn)某種結果的現(xiàn)象。例1:在標準大氣壓下，水加熱到100度一定沸騰.例2:在地球上向上拋一個石子一定下落.(2)不可能現(xiàn)象--------例1:擲

時“點數(shù)大于七”例2:動物長生不老.在一定條件下必不發(fā)生的現(xiàn)象。2.隨機性現(xiàn)象-----在相同條件重復觀察，其每次結果未必相同，這樣不可預知結果的現(xiàn)象稱為隨機性現(xiàn)象。例1:，擲

(1點到6點的哪個點?)例2:打靶(多少環(huán)?)例3:一段時間內(nèi)所接到的

次數(shù)注意:對同一個事物同一個過程的不同特征進行觀察可能觀察到的是不同的現(xiàn)象.(確定性現(xiàn)象/隨機性現(xiàn)象)例:觀察一個人的一生.觀察他最終是生是死,結果是確定性現(xiàn)象.觀察他活多少歲,這是隨機性現(xiàn)象(不可預知他的

)“天有不測風云”和“天氣可以預報”有無

?想某

中10個婦生了7個男孩3個

,☆天有不測風云指的是：對隨機現(xiàn)象進行一次觀測，其觀測結果具有偶然性；☆天氣可以預報指的是：觀測者通過大量的氣象資料對天氣進行

，得到天氣的變化規(guī)律。隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性-----少量現(xiàn)象不可預知，但進行大量觀察時，隨機現(xiàn)象呈現(xiàn)出的某種規(guī)律性。例1:生孩子了4個男孩6個但對于整個,某工廠中10個婦女省或整個中國來說,生男生女的比例是將近1:1的.第一章隨機事件§1.1

基本概念1.1.1隨機試驗與事件I.

隨機試驗(1)試驗---------對某種隨機現(xiàn)象的一次觀察、觀測或測量(2)隨機試驗----------可在相同條件下重復進行；試驗可能結果不止一個，但能確定所有的可能結果；(1點到6點)一次試驗之前無法確定具體是哪種結果出現(xiàn)。(不知哪個點出現(xiàn))在概率與數(shù)理統(tǒng)計中將隨機試驗簡稱為試驗.記為E

。E1:擲

.II.

樣本空間E1:擲一顆,觀察所擲的點數(shù)是幾，Ω1

={1,2,3,4,5,6}；E2:

觀察某城市某個月內(nèi)交通事故發(fā)生次數(shù)，

Ω2={0,1,2,…}；E3:

對某只燈泡實驗，觀察其使用

，Ω3={t,t≥0}；E4:

對某只燈泡做實驗,觀察其使用 是否小于200小時，Ω4={ 小于200小時， 不小于200小時}。對于隨機試驗，盡管在每次試驗之前不能預知試驗結果，但試驗的所有可能結果所構成的集合卻是已知的。稱試驗所有可能結果所構成的集合為樣本空間，記為Ω。樣本空間的元素,即隨機試驗的單個結果稱為樣本點，記為i若以Ωi

表示

試驗

Ei

的樣本空間,

i=1,2,3,4,

則III.隨機事件基本事件-----由一個樣本點組成的集合。不可能事件----空集.實際使用時樣本點和基本事件的表示法沒有明顯的區(qū)別。1.隨機事件的概念隨機事件------樣本空間Ω的任意一個子集,簡稱事件。符號用大寫英文字母A，B，C等來表示。事件描述表示法常用描述性的關鍵短語加花括號(雙引號)來表示事件.E:擲

,

可設A={奇數(shù)點},B={小于5的點}亦可設A表示事件“奇數(shù)點”B,表示“小于5的點”事件。則：樣本空間-----由所有樣本點組成的集合。復合事件-----

由若干個樣本點組成的集合。例1.1.1

E1:擲一顆,觀察所擲的點數(shù)是幾，寫出試驗

E1的樣本空間，下述集合表示什么事件？哪些是基本事件。解Ω1={1,2,3,4,5,6}.A1={1},A2={2},…,A6={6}━━分別表示所擲結果為一點至六點，都是基本事件；B={2,4,6}━━表示所擲結果為偶數(shù)點，復合事件；

C={1,3,5,}━━表示所擲結果為奇數(shù)點，復合事件；D={4,5,6}━━表示所擲結果為四點或四點以上，復合事件。E1.抽紙牌中的“方片A”…….“方片K”等為基本事件E2.擲

的“奇數(shù)點”、“偶數(shù)點”“大于2的點”E3.抽紙牌的“梅花”,“方片”,“王牌”等.為復合事件注意:只要做試驗,就必會產(chǎn)生一個結果,即樣本空間Ω中就會有一個點(樣本點)出現(xiàn)。當結果

A

時，稱事件A發(fā)生。事件A發(fā)生-------指在所進行的隨機試驗中，事件A所含的一個基本事件出現(xiàn)。E1:

擲一顆

,觀察所擲的點數(shù)是幾，事件“3點”事件“奇數(shù)點”事件“大于2的點”事件樣本空間Ω如事件“3點”出現(xiàn)等事件都發(fā)生了。即每次試驗中一定發(fā)生的事件。必然事件----注意：無論哪個基本事件出現(xiàn)，這個基本事件都在樣本空間中，因此每次試驗無論哪個基本事件出現(xiàn)，樣本空間這個事件必發(fā)生，故相對于所研究的隨機試驗來說它的樣本空間為必然事件。必然事件的符號與樣本空間的相同，也是Ω例：擲 中

“小于7的點”為必要事件。不可能事件------

試驗中一定不會發(fā)生的事件，即不含任何基本事件的事件。符號為Φ。例：擲 中

“大于7的點”為不可能事件。隨機試驗的例子設數(shù)字i

表示出現(xiàn)的點數(shù),

i=1,2,3,4,5,6.則:Ω={1,2,3,4,5,6}而馬的也可以直接寫為:Ω={1點,2點,3點,4點,5點,6點}例2

若一個試驗的結果是5匹馬的比賽結束時所有馬的名次,分別為1,2,3,4,5,則樣本空間Ω為｛5！個(1,2,3,4,5)的全排列數(shù)｝；若試驗是同時拋擲兩個

，則樣本空間由36個樣本點組成，即

i,j

:i出現(xiàn)j點(i,j)表示第一個

出現(xiàn)i點，第二個例3一.只有有限個可能結果的隨機試驗.例1:

擲一顆

,觀察所擲的點數(shù)是幾，二.有無限個可數(shù)個可能結果的隨機試驗.的次數(shù),例1:觀察某交換臺早晨8:00-9:00接到設數(shù)字i表示呼叫次數(shù),i=0,1,2…..,則:Ω={0,1,2,….}三.可能結果不可數(shù)的隨機試驗.例1:在分析天平上稱量某物品并記錄稱量的結果.記x為此物的稱量,則Ω={x

|

x

0}例2:在一批燈泡中任取一個，測其記t為所取燈泡的,則Ω={t

|

t

0}例3:觀察某塊地的玉米產(chǎn)量.記y為此塊地的玉米產(chǎn)量,

則Ω={y

|

0

y

M

}1.1.2事件的關系與運算I.集合與事件以下1,2,6,7,8介紹的是事件間的關系;3,4,5介紹的是事件間的運算.1.[關系]事件的包含(A

B

或者B

A)稱B包含A

或

A包含于B集合角度:A中的每個樣本點都屬于B。概率角度:事件A發(fā)生

事件B發(fā)生，對于任一事件A都有:

A

ΩBAB

A(因事件A發(fā)生表示A中的一個基本事件在試驗中出現(xiàn),因為A的基本事件全屬于B,也即是B發(fā)生).ΩA=B2.[關系]事件的相等：事件A包含于B，事件B也包含于A，稱A與B相等。即:若A

B,B

A,則A

B3.[運算]事件的并（和）(A

B或者A

B)集合角度:A+B是由屬于A或B的所有樣本點構成的集合。概率角度:事件A+B發(fā)生表示事件A、B中至少有一個發(fā)生，即A或B發(fā)生.(因事件A+B發(fā)生表示A+B中的一個基本事件在試驗中出現(xiàn)因為A+B的基本事件是屬于A或B的,

也即是A或B發(fā)生).n個事件A1,A2

,,An

的并（和）可列個事件A1,

A2

,

的并（和）,

An

,

An

Ann1表示可列個事件中至少有一個發(fā)生,記為A1

表示n個事件中至少有一個發(fā)生,記為A1

A2

An或是A1

A2

An當A

B時，總有A

,A

A成立ΩBAB

A類似的可推廣到多個事件相加,以及無數(shù)可列個事件相加.或

Ann14.[運算]事件的交（積）(AB

或A

B)集合角度:由既屬于A又屬于B的所有公共樣本點構成的集合。當A

B時，有AB

AA

,A

A總成立ΩBAB

A概率角度:事件AB發(fā)生表示A與B都發(fā)生,即A且B發(fā)生(因事件AB發(fā)生表示AB中的一個基本事件在試驗中出現(xiàn),因AB的基本事件是既屬于A又屬于B的,

所以A與B都發(fā)生).5.[運算]事件的差(A-B)A-B稱為事件A與B的差集合角度:

由屬于A但不屬于B的樣本點構成的集合概率角度:

事件A-B發(fā)生表示A發(fā)生而B不發(fā)生.注意:

A-B

AA

B

A

ABA

B

A

(B

A)

B

(

A

B)A

B-AA-B

AB6.[關系]互不相容事件（互斥事件）集合角度:A與B是互不相容的AB=ΦAΩBA與B是互不相容的A與B沒有公共的樣本點.概率角度:A與B是互不相容的A與B不會都發(fā)生.(A與B不同時發(fā)生).例:

擲一顆

的試驗，觀察出現(xiàn)的點數(shù)：事件A表示“奇數(shù)點”；B表示“偶數(shù)點”；求AB解:

(顯然有:

Ω={1,2,3,4,5,6},

A={1,3,5},

B={2,4,6}),因為A與B沒有公共的基本事件,故AB=Φ即:

AA

7.[關系]對立事件(互逆事件)相互對立的事件在集合中相當于互補的關系.如果A與B是相互對立的,稱B為A的對立事件記B

AAAA

A讀作:非A,A反,A逆.

A

A

A

A顯然也有:A

AA與B相互對立A與B互不相容A

B

A與B相互對立

AB

因為:AB事件A不發(fā)生事件A發(fā)生。A

B

AB8.[關系]Ω的一個劃分A1,

A2

,,

AnA

A

A

1

2

n構成Ω的一個劃分

Ai

Aj

(i

j)A

B

A與B相互對立

AB

因為:故A與A構成一個最小的劃分.n個事件,其和為樣本空間Ω且兩兩互不相容,它們就構成Ω的一個劃分.A1AnAn12A3A對立事件有:

A與B例

擲一顆

的試驗，觀察出現(xiàn)的點數(shù)：事件A表示“奇數(shù)點”；B表示“偶數(shù)點”；C表示“小于3的點”，D表示“大于2小于5的點”

E表示“大于4的點”,求事件間的關系.解:

顯然有:A={1,3,5},

B={2,4,6},

C={1,2}D={3,4},

E={5,6},

Ω={1,2,3,4,5,6}互不相容事件有:

A與B

C與D,

D與E,

C與E或說事件C,D,E兩兩互不相容C

D

E

又因為

A

B

C,D,E構成Ω的一個劃分A,B構成Ω的一個最小的劃分1.[關系]事件的包含[關系]事件的相等：[運算]事件的并（和）[運算]事件的交（積）5.[運算]事件的差(A-B)6.[關系]互不相容事件（互斥事件）7.[關系]對立事件(互逆事件)8.[關系]Ω的一個劃分II.事件的運算法則(與集合運算法則相同)AA

A

A,

A

A

A

AA

A,

A

A1)A

B

B

AA(B

C)

AB

ACAB

BAA(B

C)

AB

ACAB

結合律：交換律分配律對偶原則A

(B

C)

(

A

B)

C

A(BC)

(

AB)CA

B

ABA

B對于多個隨機事件,上述運算規(guī)則也成立A(A1+A2+…+An)=(AA1)+(AA2)+…+(AAn)，A1

+A2

+

+An

A1

A2

An

,A1

A2

An

A1

+

A2

+ +

An

.例1

擲一顆的試驗，觀察出現(xiàn)的點數(shù)：事件A表示

“奇數(shù)點”；B表示“點數(shù)小于5”；C表示“小于5的偶數(shù)點”，(已求出Ω={1,2,3,4,5,6}

A={1,3,5},

B={1,2,3,4},C={2,4}),求(A+B)-A,

A+(B-A),C-A,

A+B+C解:注意：事件運算不滿足消去律.含有差的式子不滿足結合律與交換律。(A+B)-

A=

{1,2,3,4,5}-

{1,3,5}=

{2,4}A+(B-A)=

{1,3,5}+{2,4}=

{1,2,3,4,5}C-A={2,4}-{1,3,5}=C,但A不是ΦA+B+C=(A+B)+C

={1,2,3,4,5}=A+B例2

從一批產(chǎn)品中每次取出一個產(chǎn)品進行試驗(每次取出的不放回），事件Ai

表示第i次取到合格品,i=1,2,3,試用事件的運算符號表示.下列事件：（1）三次都取到合格品；（2）三次中至少有一次取到合格品；（3）三次中恰有兩次取到合格品；（4）三次中至少有兩次取到合格品。解:總試驗的可能結果：合合合,非非非,合非非,非合非,非非合,非合合,合非合,合合非；

{A1

A2

A3

,

A1

A2

A3

,

A1

A2

A3

,

A1

A2

A3

,

A1

A2

A3

,

A1

A2

A3

,

A1

A2

A3

,

A1

A2

A3}（1）{三次都取到合格品}=A1

A2

A3（2）三次中至少有一次取到合格品；{三次中至少有一次取到合格品}={第一次取到合格品、第二次取到合格品、第三次取到合格品至少有一次發(fā)生}={第一次取到合格品}+{第二次取到合格品}+{第三次取到合格品}=A1

A2

A3={第一、二次取到合格品，第三次取到不合格品}

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

(

A1

A1

)A2

A3

A1

A2

(A3

A3

)

A1

(A2

A2

)A3

A2

A3

A1

A2

A1A3

A1

A2

A2

A3

A1

A3（3）