希爾伯特幾何公理

希爾伯特幾何公義希爾伯特幾何公義希爾伯特幾何公義佛山石門中學(xué)高二〔2〕鄧樂濤一、符號及一些說明有三不一樣的象：點(diǎn)，直，平面點(diǎn)用A,B,C,D??來表示；直用a,b,c,d??來表示；平面用α,β,γ,δ??來表示。點(diǎn)稱直幾何的元素，點(diǎn)和直稱平面幾何的元素，點(diǎn)、直和平面稱立體幾何的元素那么點(diǎn)，幾何元素之又有必定的相互關(guān)系①點(diǎn)A在直a上：②點(diǎn)

A在平面

α

上：③直a在平面α上：④點(diǎn)B在點(diǎn)A與點(diǎn)C之：⑤段AB與CD相等：所以我用了=號〕與相等：⑥

〔直的每一點(diǎn)都在平面上〕〔我自己定的符號〕〔原是用號的，不于我不常，等等??〔段，角之的能在點(diǎn)面下出定，詳細(xì)在表達(dá)公義的候再〕在希伯特幾何里面，其點(diǎn)直和平面是三個(gè)不決的數(shù)學(xué)象，在上邊的最根本的關(guān)系也是沒有定的，也就是用什么來代表些西都是能夠的，正如希伯特所“我必然能夠用‘桌子、椅子、啤酒杯’來取代‘點(diǎn)、、面’〞。最的例子就是分析幾何：我定點(diǎn)是數(shù)(x,y)，定是，其在個(gè)定下，“幾何〞已失掉了“直〞的形式了，因在個(gè)定下的幾何形就成了毫無幾何直的數(shù)字了，不過我方便研究又將它畫在了坐系中而已。我里的關(guān)系符號，，其實(shí)不來自于會合，不要混雜，要再的是他自己沒有含，我不過借用來化述了。之，希伯特幾何，就是將直地幾何言〔歐氏幾何〕抽象成了言，我全部的幾何定理都能夠用推理獲得?！财湎２貛缀尉褪峭昊臍W氏幾何〕公義I關(guān)公義本公義有八條，是前面所提的點(diǎn)，直，平面三象之成立的一種系：〔了方便述，此后二、三??點(diǎn)的，直或平面是，都是指不一樣的點(diǎn)，直或平面〕I1：于兩點(diǎn)

A和

B，恒有向來

a，使得

〔存在性〕；I2：于兩點(diǎn)

A和

B，至多有向來

a，使得

〔獨(dú)一性〕；〔于

1,2，我能夠兩點(diǎn)確立向來〕I3：向來上起碼有兩點(diǎn)，起碼有三點(diǎn)不在同向來上；I4：于不在同向來的三點(diǎn)

A,B

和

C，恒有一平面α，使得

；〔存在性〕于任一平面

，恒有一點(diǎn)

A，使得

；I5：于不在同向來的三點(diǎn)

A,B

和

C，至多有一平面α，使得

；〔唯一性〕〔于4,5，我能夠三點(diǎn)確立一平面〕I6：假定

且

，

；I7：假定兩平面

有一個(gè)公共點(diǎn)

A，他起碼有一個(gè)公共點(diǎn)

B；I8：起碼有四點(diǎn)不在同一個(gè)平面上。以上。其我想用形式言寫出來的，但是在上的太翻，并且符號打，所以放棄了。公義II序公義本公義有四條，定了“在??之〞個(gè)關(guān)系。依據(jù)個(gè)觀點(diǎn)，直上的，平面上的，空上的點(diǎn)才有序可言。II1：于點(diǎn)A,B,C，假如，點(diǎn)A,B,C是直上不一樣的三點(diǎn)；，也成立；〔如〕II2:于點(diǎn)恒有一點(diǎn)，使得；〔如上〕II3:向來的隨意三點(diǎn)中，至多有一點(diǎn)在其余兩點(diǎn)；依據(jù)上邊，我就能夠定段了：于直a和直上的兩點(diǎn)A,B；我把一點(diǎn){A,B}稱段，用AB或BA表示。在A和B之的點(diǎn)叫做段AB的點(diǎn)；A點(diǎn)和B點(diǎn)叫做段AB的端點(diǎn)。II4:A,B,C是不在同一個(gè)平面的三點(diǎn)：于在平面ABC且不點(diǎn)A,B,C的直a，假定a交于段AB的一點(diǎn)，它必然交于段AC或CB的一點(diǎn)〔如〕以上。接下來定義射線先定義同側(cè)：設(shè)A,A’,O,B是直線a上的四點(diǎn)，而O在A,B之間，但不在A,A’之間，那么A和A’稱為在a上點(diǎn)O的同側(cè)，而A,B兩點(diǎn)稱為異側(cè)。那么射線就定義為直線a上點(diǎn)O同側(cè)的點(diǎn)的全體。比方與上圖對于點(diǎn)O與B同側(cè)的射線我們記為OB〔固然跟線段的記號同樣，但注意不要混雜〕公義III合同公義本組公義包括五條公義，主要說明幾何對象“相等〞的關(guān)系。III1：對于線段AB和一點(diǎn)A’，恒有一點(diǎn)B’，使得線段AB與線段A’B’相等，記為由于線段與端點(diǎn)的序次沒關(guān)，所以一下四個(gè)等式的意義同樣：III2：假定且，那么；〔依據(jù)1,2，我們才能獲得線段AB與自己相等，才能獲得與等價(jià)，這其實(shí)不是不證自明的事實(shí)，有了這個(gè)我們才能說兩線段“相互相等〞?？偠灾鶕?jù)1,2我們才能獲得線段相等的“反身性〞，“對稱性〞，和“傳達(dá)性〞，這才說明這是一個(gè)等價(jià)關(guān)系?！矷II3：線段AB，BC在同向來線a上，且無公共點(diǎn)；線段A’B’，B’C’在同向來a’上，且也無公共點(diǎn)。假如

,條公義要求段能相加，能夠定

AB+BC=AC〔此中

A,B,C

共〕相當(dāng)于段一，我也來定角相等。我先定角的觀點(diǎn)：對于不一樣向來線的三點(diǎn)O,A,B，射線OA，和射線OB的全體我們稱為角，記為。O稱為的極點(diǎn)，射線OA，和射線OB稱為的邊。同與A,B的序次沒關(guān)。依據(jù)定，平角，零角和凸角〔大于平角的角〕都不在考的范內(nèi)。III4：于

，和一條射

O’A’，在射

O’A’所在的一個(gè)平面內(nèi)，有且只有一條射

O’B，使得

與

相等，

。并且有。好像段一，下邊四條等式的意是一的而后先定三角形：段III5：假定與

AB,BC,CA所構(gòu)成的形，，有以低等式

。有條公義能夠理解三角形全等〔SAS〕，事上SAS個(gè)公義的直接推。公義IV平行公義條公義得很白，但在史上很重要??先定義平行：對于同一平面上的兩條直線線a和b，a與b無公共點(diǎn)，那么稱a與b平行，記為.IV〔歐幾里得平行公義〕：設(shè)a是隨意一條直線，A是a外的隨意一點(diǎn)，在a和A所決定的平面上，至多有一條直線b，使得且。依據(jù)這個(gè)公義，我們能夠獲得平行線內(nèi)錯(cuò)角，同位角相等；反之也成立。公義V連續(xù)公義V1〔阿基米德原理〕：對于線段AB,CD，那么必然存在一個(gè)數(shù)n，使得沿著射線AB，自A作首尾相連的n個(gè)線段CD，勢必超出B點(diǎn)。在這里一定說下數(shù)的阿基米德原理：隨意給定兩個(gè)數(shù)a,b，必存在正整數(shù)n，使na>bV2〔直線齊備公義〕：將直線截成兩段a,b(不是直線)，對于隨意的A∈a，B∈b，那么總存在一個(gè)點(diǎn)C，C∈AB。也就是說，不再存在一點(diǎn)不在直線上，把這點(diǎn)增添到直線上以后，仍知足前面的公義I~IV的〔書上的描繪太抽象，我仍是用我自己的話說了〕要注意的是直線齊備公義是要在阿基米德原理成立下才成立的！二、公義的相容性這里所謂的相容性，就是這五組公義是互不矛盾的。也就是說，不可以從這些公義推導(dǎo)到相矛盾的結(jié)果。但是，假如直接從公義出發(fā)證明相容性幾乎是一件不行能的事情〔并且假如一個(gè)公義系統(tǒng)含有皮亞諾算術(shù)公義的話，這仍是一個(gè)不行能的事情，這是依據(jù)哥德爾不完整定理獲得的〕，那么我們應(yīng)當(dāng)如何來證明呢？希爾伯特將方向轉(zhuǎn)向了“數(shù)〞。我們只說明平面幾何〔由于好說明〕，立體幾何近似。。我們考慮的是實(shí)數(shù)域

R。①點(diǎn)我們用實(shí)數(shù)對

來表示：；②直線我們用

來表示：。兩條直線

，

平行，當(dāng)且僅當(dāng)③點(diǎn)在直線上：④點(diǎn)在點(diǎn)

與點(diǎn)

之間：；⑤對于點(diǎn)，線的平移，對稱，旋轉(zhuǎn)的變換，我們用一個(gè)變換來表達(dá)：，此中而后假如線段相等就是，兩線段在以上的坐標(biāo)變換中能重合，角亦然。PS把線段和角也看做點(diǎn)的會合，定義懶得寫了〕那么用以上規(guī)定幾何對象公義I〔關(guān)系公義〕明顯都是成立的，只需要用到①②③規(guī)定。公義II〔次序公義〕明顯也都是成立的，再加上④規(guī)定。公義III〔合同公義〕也是成立的，加上規(guī)定⑤。需要一點(diǎn)點(diǎn)闡述，就是點(diǎn)與直線在經(jīng)過⑥的變換后仍舊是我們所研究的幾何對象〔也就是說x’,y’都仍是實(shí)數(shù)，其實(shí)就是要說明形的數(shù)仍是實(shí)數(shù)，這是明顯的〕公義IV〔平行公義〕在直線的這類規(guī)定下是成立的。公義V〔連續(xù)公義〕依據(jù)實(shí)數(shù)的齊備性，還有實(shí)數(shù)是阿基米德域這一性質(zhì)能夠直接獲得。也就是說我們所做的規(guī)定都是知足“稱為幾何〞的性質(zhì)的，我們便能夠?qū)⑦@些實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)對作為幾何對象。那么這樣，就把這五組公義的相容性就與算術(shù)的相容性聯(lián)系在了一同了。那么只需要證明算術(shù)的相容性就能夠了。對于算術(shù)的相容性，這里是對于實(shí)數(shù)理論，但是其相容性能在自己證明〔這是個(gè)齊備的公義系統(tǒng)〕。但是依據(jù)希爾伯特的意向一般來說指的是皮亞諾算術(shù)公義的相容性，可是依據(jù)哥德爾不齊備定理，這是在算術(shù)公義內(nèi)是沒法自證的，只好依據(jù)此外一個(gè)跟更強(qiáng)的公義系統(tǒng)〔比方說會合論ZFC公義〕來證明，但是這“此外一個(gè)公義系統(tǒng)〞的相容性，又不可以用自己證了然==〔根茨〔，1909-1945〕1936年使用超限概括法證了然算術(shù)公義系統(tǒng)的無矛盾性〕。簡潔提一下的是，這個(gè)幾何公義系統(tǒng)不單是相容的，并且是齊備的〔就是這個(gè)公義的任一語句都能在這個(gè)公義系統(tǒng)內(nèi)證明，即確立其真值〕三、平行公義的獨(dú)立性〔非歐幾何〕我們知道了公義的相容性以后，其實(shí)還有一個(gè)風(fēng)趣的問題是公義的獨(dú)立性，固然其實(shí)不影響〔多些方便的公義方便于呢〕，但是數(shù)學(xué)家喜的西??不了。什么是獨(dú)立性？就是一個(gè)公義不可以是其余公義的推。如何明里某個(gè)公義獨(dú)立性？一個(gè)法就是剔除去個(gè)公義，而后依據(jù)其余公義建立一個(gè)新的模型，使得被剔除去的公義不足于個(gè)模型。史上最令人爭的就是平行公義了，也就是用歐幾里得提出的公義來明平行公??自然都失了。以后，人就了非歐幾何。什么是非歐幾何學(xué)？其就是足以上除了平行公義的全部公義的幾何模型。既然有了非歐幾何，那么平行公里的獨(dú)立性就不自了然。在主假如分紅兩種，一個(gè)是黎曼幾何，一個(gè)是氏幾何。但是黎曼幾何我不清楚〔手的也沒有〕，所以我不提??于氏幾何，來取代本來平行公義的公義描繪以下：假如b是任向來線，且A是不在b上，那么過點(diǎn)A有不在同向來線的兩條射線a1，a2，它們與b都不訂交，并且在a1，a2所成角內(nèi)的任一射線都與b都訂交。那么a1，a2所在的直稱與b平行而后非歐幾何學(xué)最的一個(gè)特例就是球面幾何，高中修都會到只需要定“直〞大便好??我就不深入了。四、合同公義的獨(dú)立性相對平行公義來說，合同公義的獨(dú)立性并無在歷史上并無惹起太大的爭議。由于合同公義1~4并無什么卵用，所以我們只需要說明公義III5(能夠說是三角形全等的SAS)擁有獨(dú)立性就好。一般來說，我們定義線段相等就是長度相等，角相等就是角度相等，而我們所說的長度，比方對,，，這個(gè)可以在前面在規(guī)定坐標(biāo)變換中獲得。接下來我們便扔掉這個(gè)“長度〞的設(shè)定〔就是扔掉上邊規(guī)定⑥中線段相等的定義〕，噢，要保留本來角相等的設(shè)定。我們新定義一個(gè)長度：對于,，規(guī)定線段相等就是長度相等。在這個(gè)規(guī)定下驗(yàn)算公義

I,II,III

1~4,IV,V

都是成立的。只可是惟獨(dú)對于

III

5就不一定成立了。舉一個(gè)反例：明顯

，OA=OC=OB。依據(jù)公義

III

5

，但是在這類規(guī)定下明顯

。進(jìn)而證了然公義

III5的獨(dú)立性。五、連續(xù)公義的獨(dú)立性這是我們要表達(dá)獨(dú)立性的最后一組公義〔其余的沒必需〕。同上邊的方法同樣，我們又得找一個(gè)數(shù)學(xué)對象只知足公義I~IV了。我們又是要把研究的方向轉(zhuǎn)向了數(shù)。其實(shí)在說明五組公義的相容性的時(shí)候我們是用了實(shí)數(shù)域R來建立幾何，其實(shí)域有許很多多，而實(shí)數(shù)恰巧又知足眾多域不知足的性質(zhì)：齊備性，阿基米德原理。那么其實(shí)我們只需找一個(gè)域不知足這兩個(gè)性質(zhì)的就好，但是這樣的域又有許很多多?！灿蚱匠碚f就是知足加減乘除的東西的會合，自然還要知足乘法互換率〕第一我們很簡單就建立一個(gè)域F，從1開始，其加減乘除，還有〔是經(jīng)過這五種運(yùn)算的結(jié)果〕的獲得的全部結(jié)果都放在F里。那么這個(gè)域的數(shù)字結(jié)構(gòu)的幾何對象知足公義I~IV，但是由于其自己其實(shí)不知足齊備性〔也就是畫出來的數(shù)軸有“洞〞〕，比方說，也就進(jìn)而說了然齊備性的獨(dú)立性。題外話，這個(gè)域F其實(shí)挺重要的，在證明尺規(guī)作圖的可行性就是鑒于這個(gè)域。而后是非阿基米德域，也就是不知足阿基米德原理的數(shù)域，舉個(gè)最簡單的例子，一個(gè)會合，能夠考證其加減乘除都在里，所以這是一個(gè)域。這是實(shí)數(shù)的一個(gè)子集，我們一般描繪這個(gè)會合里這些數(shù)的序關(guān)系是最簡單的大小關(guān)系，比方說。而后我們要建立一個(gè)新的描繪這些數(shù)的序關(guān)系，在這個(gè)序關(guān)系下是一個(gè)非阿基米德域。定義序關(guān)系舉個(gè)例子；等等。也就是優(yōu)先比較的大小.那么在這個(gè)次序關(guān)系下，

其實(shí)不知足阿基米德原理〔由讀者自己考證〕

，所以這是一個(gè)非阿基米德域。自然非阿基米德域還有很多很多，比方說上邊的域F，也能夠找一個(gè)近似的序關(guān)系來取代掉大小關(guān)系〔這類序關(guān)系〕，使得F是一個(gè)非阿基米德域。再結(jié)構(gòu)幾何對象，那就是一個(gè)除了連續(xù)公義〔齊備性和阿基米德原理兩個(gè)個(gè)都不知足〕的幾何系統(tǒng)了。可是值得注意的是同時(shí)知足阿基米德原理和齊備性的就只有實(shí)數(shù)R了。這點(diǎn)也說了然希爾伯特幾何的獨(dú)一性。六、一些增補(bǔ)皮亞諾算術(shù)公義1.0不是任何數(shù)的后繼數(shù)2.x與y的后繼數(shù)相等，那么x與y相等3.，為算術(shù)公義的任一公式這個(gè)就是數(shù)學(xué)概括法4.存在零元和幺元5.加法的定義6.乘法的定義這里就是后繼數(shù)，比方1的后繼數(shù)就是2.這里的公義3,5,6決定了皮亞諾公義的不齊備性，詳細(xì)如何就不說了，哥德爾不齊備定理的證明用的是遞歸函數(shù)，而后遞歸函數(shù)又是以公義3,5,6所定義的。實(shí)數(shù)公義商定，全部實(shí)數(shù)記為，一局部實(shí)數(shù)X，記為;X中存在實(shí)數(shù)x，那么記為加法公義1)零元存在性2)存在相反數(shù)3)加法聯(lián)合律4)加法互換律乘法公義1)幺元存在性2)存在倒數(shù)3)乘法聯(lián)合律4)乘法互換律乘法對加法的分派率1)序公義1)反身性2)反對稱性3)傳達(dá)性4)隨意兩個(gè)實(shí)數(shù)都能比較大小加法和乘法與序的關(guān)系1)不等式兩頭同時(shí)加上一個(gè)實(shí)數(shù)，不等號方向不改變2)正數(shù)之積為正數(shù)齊備公義1)對于隨意的兩局部實(shí)數(shù)

X,Y，知足對于隨意實(shí)數(shù)

,

，有，那么存在一個(gè)實(shí)數(shù)

c，使得。對于齊備公義，要說明一下，這里用的是二階邏輯來寫的。還有只有個(gè)例子。假如自然數(shù)，知足齊備公義，我把自然數(shù)分紅兩局部：，那么不存在一個(gè)數(shù)

才知足。舉，〔

,

〕,

這個(gè)數(shù)就是

.這里對應(yīng)的就是直線的齊備公義。對于公義系統(tǒng)什么是公義系統(tǒng)？一個(gè)公義系統(tǒng)能夠這樣理解：它是一個(gè)形式化的語言，由字符表〔比方幾何公義頂用A，a，α表示的點(diǎn)線面〕，形成規(guī)那么〔邏輯公義，就是推理的規(guī)那么，還有非邏輯公義，就是我們給出的公義，比方說齊備公義〕，還有公式〔依據(jù)形成規(guī)那么構(gòu)成的字符串〕構(gòu)成。他們沒有任何含義，就像一部按規(guī)那么擺弄拼集字符的機(jī)器罷了，它們給出的不過語法。而給出一個(gè)公義系統(tǒng)實(shí)質(zhì)意義的，稱為模型。比方實(shí)數(shù)1,2,3等等還有其加法乘法，就是上邊實(shí)數(shù)公義的實(shí)質(zhì)表達(dá)〔把符號x,y,z映照到1,2,3，把符號+映照到“加法〞