反比例函數(shù)面積專題

反比例函數(shù)面積專題一．選擇題（共5小題）1．（2012?瀘州）如圖，在△OAB中，C是AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=（k＞0）在第一象限的圖象經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，若△OAB面積為6，則k的值為（）A2B4C8D16．．．．2．（2010?無(wú)錫）如圖，已知梯形ABCO的底邊AO在x軸上，BC∥AO，AB⊥AO，過(guò)點(diǎn)C的雙曲線OB于D，且OD：DB=1：2，若△OBC的面積等于3，則k的值（）交A等于2．B．C．D無(wú)法確定．等于等于3．（2010?內(nèi)江）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)矩形OABC對(duì)角線的交點(diǎn)M，分別與AB、BC相交于點(diǎn)D、E．若四邊形ODBE的面積為6，則k的值為（）A1B2C3D4．．．．4．（2010?撫順）如圖所示，點(diǎn)A是雙曲線y=（x＞0）上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作AC⊥y軸，垂足為點(diǎn)C，作AC的垂直平分線雙曲線于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)D．當(dāng)點(diǎn)A在雙曲線上從左到右運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形ABCD的面積（）A逐漸變?。瓸由大變小再由小變大．C由小變大再有大變?。瓺不變．5．（2006?綿陽(yáng)）如圖，梯形AOBC的頂點(diǎn)A，C在反比例函數(shù)圖象上，OA∥BC，上底邊OA在直線y=x上，下底邊BC交x軸于E（2，0），則四邊形AOEC的面積為（）A3BC﹣1D+1．．．．二．填空題（共8小題）6．（2012?福建）如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，且AB∥y軸，點(diǎn)P是y軸上的任意一點(diǎn)，則△PAB的面積為_________．7．（2012?常州）如圖，已知反比例函數(shù)y=（k1＞0），y=（k2＜0）．點(diǎn)A在y軸的正半軸上，過(guò)點(diǎn)A作直線BC∥x軸，且分別與兩個(gè)反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B和C，連接OC、OB．若△BOC的面積為，AC：AB=2：3，則k1=_________，k2=_________．8．（2011?遵義）如圖，已知雙曲線，，點(diǎn)P為雙曲線上的一點(diǎn)，且于D、C兩點(diǎn)，則△PCD的面積為PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，PA、PB分別依次交雙曲線_________．9．（2011?孝感）如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線y=上，且AB∥x軸，C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的面積為_________．10．（2010?衡陽(yáng)）如圖，已知雙曲線y=（k＞0）經(jīng)過(guò)直角三角形OAB斜邊OB的中點(diǎn)D，與直角邊AB相交于點(diǎn)C．若△OBC的面積為3，則k=_________．11．如圖，Rt△ABC的直角邊BC在x軸正半軸上，斜邊AC邊上的中線BD反向延長(zhǎng)線交y軸負(fù)半軸于E，雙曲線（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，若S△BEC=10，則k等于_________．12．如圖，直角梯形OABC，AB∥OC，反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)B點(diǎn)和BC的中點(diǎn)D，且梯形OABC的面積為2，則該反比例函數(shù)的解析式為_________．13．如圖（1），在Rt△ABC的邊AB的同側(cè)，分別以三邊為直徑作三個(gè)半圓，大半圓以外的兩部分面積分別為S1、S3，三角形的面積為S2；如圖（2），兩個(gè)反比例函數(shù)點(diǎn)C，PD⊥y軸于點(diǎn)D，交和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)P在的圖象上，PC⊥x軸于的圖象于分別于點(diǎn)A，B，當(dāng)點(diǎn)P在的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△BOD，四邊形OAPB，△AOC的面積分別為S1、S2、S3；如圖（3），點(diǎn)E為?ABCD邊AD上任意一點(diǎn)，三個(gè)三角形的面積分別為S1、S2、S3；如圖（4），梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB+∠ABC=90°，AB=2CD，以AD、DC、CB為邊作三個(gè)正方形的面積分別為S1、S2、S3．在這四個(gè)圖形中滿足S1+S3=S2有_________（填序號(hào)）．2012年9月窗戶的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）1．（2012?瀘州）如圖，在△OAB中，C是AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=（k＞0）在第一象限的圖象經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，若△OAB面積為6，則k的值為（）A2B4C8D16．．．．考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；三角形中位線定理。分析：分別過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)C作OB的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、點(diǎn)N，根據(jù)C是AB的中點(diǎn)得到CE為△ADE的中位線，然后設(shè)MN=NB=a，CN=b，AM=2b，根據(jù)OM?AM=ON?CN，得到OM=a，最后根據(jù)面積=3a?2b÷2=3ab=6求得ab=2從而求得k=a?2b=2ab=4．解答：解：分別過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)C作OB的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、點(diǎn)N，如圖，∵點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，∴CE為△AMB的中位線，∴MN=NB=a，CN=b，AM=2b，∵又因?yàn)镺M?AM=ON?CN∴OM=a∴這樣面積=3a?2b÷2=3ab=6，∴ab=2，∴k=a?2b=2ab=4，故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義及三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．2．（2010?無(wú)錫）如圖，已知梯形ABCO的底邊AO在x軸上，BC∥AO，AB⊥AO，過(guò)點(diǎn)C的雙曲線OB于D，且OD：DB=1：2，若△OBC的面積等于3，則k的值（）交A等于2．B．C．D無(wú)法確定．等于等于考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義。專題：數(shù)形結(jié)合。分析：先設(shè)出B點(diǎn)坐標(biāo)，即可表示出C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式和反比例函數(shù)的幾何意義即可解答．解答：解：方法1：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），∵OD：DB=1：2，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，∴a?b=k，∴ab=9k①，∵BC∥AO，AB⊥AO，C在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴設(shè)C點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，b）將（m，b）代入y=得，m=，BC=a﹣，又因?yàn)椤鱋BC的高為AB，所以S△OBC=（a﹣）?b=3，所以（a﹣）?b=3，（a﹣）b=6，ab﹣k=6②，把①代入②得，9k﹣k=6，解得k=．方法2：延長(zhǎng)BC交y軸于E，過(guò)D作x軸的垂線，垂足為F．由△OAB的面積=△OBE的面積，△ODF的面積=△OCE的面積，可知，△ODF的面積=梯形DFAB=△BOC的面積=，即k=，k=．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例系數(shù)k的幾何意義．此題還可這樣理解：當(dāng)滿足OD：DB=1：2時(shí)，當(dāng)D在函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，面積為定值．3．（2010?內(nèi)江）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)矩形OABC對(duì)角線的交點(diǎn)M，分別與AB、BC相交于點(diǎn)D、E．若四邊形ODBE的面積為6，則k的值為（）A1B2C3D4．．．．考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義。分析：本題可從反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)E、M、D入手，分別找出△OCE、△OAD、□OABC的面積與|k|的關(guān)系，列出等式求出k值．解答：解：由題意得：E、M、D位于反比例函數(shù)圖象上，則S△OCE=，S△OAD=，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥y軸于點(diǎn)G，作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則S□ONMG=|k|，又∵M(jìn)為矩形ABCO對(duì)角線的交點(diǎn)，則S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，由于函數(shù)圖象在第一象限，k＞0，則++6=4k，k=2．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過(guò)雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于|k|．本知識(shí)點(diǎn)是中考的重要考點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)高度關(guān)注．4．（2010?撫順）如圖所示，點(diǎn)A是雙曲線y=（x＞0）上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作AC⊥y軸，垂足為點(diǎn)C，作AC的垂直平分線雙曲線于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)D．當(dāng)點(diǎn)A在雙曲線上從左到右運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形ABCD的面積（）A逐漸變?。瓸由大變小再由小變大．C由小變大再有大變小．D不變．考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義。專題：數(shù)形結(jié)合；幾何變換。分析：四邊形ABCD的面積等于×AC×BD，AC、BC可以用A點(diǎn)的坐標(biāo)表示，即可求解．解答：解：設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)是（m，n），則m?n=1，則D點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，把x=代入y=，得到y(tǒng)=，即BD=．∴四邊形ABCD的面積=AC×BD=×m×=1．即四邊形ABCD的面積不隨C點(diǎn)的變化而變化．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的是利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求對(duì)角線互相垂直的四邊形面積的計(jì)算方法．5．（2006?綿陽(yáng)）如圖，梯形AOBC的頂點(diǎn)A，C在反比例函數(shù)圖象上，OA∥BC，上底邊OA在直線y=x上，下底邊BC交x軸于E（2，0），則四邊形AOEC的面積為（）A3BC﹣1D+1．．．．考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；梯形。專題：綜合題。分析：四邊形AOEC的面積=梯形AOBC的面積﹣三角形OBE的面積．根據(jù)AO∥BC，且直線BC經(jīng)過(guò)E（2，0），用待定系數(shù)法求出BE的解析式，再求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)得出反比例函數(shù)解析式為y=，解方程組，求出A點(diǎn)坐標(biāo)．根據(jù)勾股定理求出OA、BC的長(zhǎng)度，易求梯形AOBC的高，從而求出梯形AOBC的面積．△OBE是等腰直角三角形，腰長(zhǎng)是2，易求其面積．解答：解：因?yàn)锳O∥BC，上底邊OA在直線y=x上，則可設(shè)BE的解析式為y=x+b，將E（2，0）代入上式得，b=﹣2，BE的解析式為y=x﹣2．把y=1代入y=x﹣2，得x=3，C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），則反比例函數(shù)解析式為y=，將它與y=x組成方程組得：，解得x=，x=﹣代入y=x得，y=（負(fù)值舍去）．．），A點(diǎn)坐標(biāo)為（，OA==，BC==3，∵B（0，﹣2），E（2，0），∴BE=2∴BE邊上的高為∴梯形AOBC高為：，，，梯形AOBC面積為：×（3+）×=3+，△OBE的面積為：×2×2=2，則四邊形AOEC的面積為3+﹣2=1+故選D．．點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了梯形和函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，此題難度較大，考查了函數(shù)和方程的關(guān)系，交點(diǎn)坐標(biāo)和方程組的解的關(guān)系，以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．要用梯形、三角形的面積公式及勾股二．填空題（共8小題）6．（2012?福建）如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，且AB∥y軸，點(diǎn)P是y軸上的任意一點(diǎn)，則△PAB的面積為1．考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義。專題：探究型。分析：設(shè)A（x，），則B（x，），再根據(jù)三角形的面積公式求解．解答：解：設(shè)A（x，），∵AB∥y軸，∴B（x，），∴S△ABC=AB?x=（﹣）×x=1．故答案為：1．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，先根據(jù)設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)，再由AB∥y軸得出B點(diǎn)坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．7．（2012?常州）如圖，已知反比例函數(shù)y=（k1＞0），y=（k2＜0）．點(diǎn)A在y軸的正半軸上，過(guò)點(diǎn)A作直線BC∥x軸，且分別與兩個(gè)反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B和C，連接OC、OB．若△BOC的面積為，AC：AB=2：3，則k1=2，k2=﹣3．考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義。分析：根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義可得，|k1|+|k2|的值以及|k1|：|k2|的值，然后聯(lián)立方程組求解得到|k1|與|k2|的值，然后即可得解．解答：解：∵△BOC的面積為，∴|k1|+|k2|=，即|k1|+|k2|=5①，∵AC：AB=2：3，∴|k1|：|k2|=2：3②，①②聯(lián)立，解得|k1|=2，|k2|=3，∵k1＞0，k2＜0，∴k1=2，k2=﹣3．故答案為：2，﹣3．點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，過(guò)雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩條坐標(biāo)作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于|k|，根據(jù)題意得到兩個(gè)關(guān)于反比例函數(shù)系數(shù)的方程是解題的關(guān)鍵．8．（2011?遵義）如圖，已知雙曲線，，點(diǎn)P為雙曲線上的一點(diǎn)，且于D、C兩點(diǎn)，則△PCD的面積為PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，PA、PB分別依次交雙曲線．考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義。分析：根據(jù)BC×BO=1，BP×BO=4，得出BC=BP，再利用AO×AD=1，AO×AP=4，得出AD=AP，進(jìn)而求出PB×PA=CP×DP=，即可得出答案．解答：解：作CE⊥AO于E，DF⊥CE于F，∵雙曲線，，且PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，PA、PB分別依次交雙曲線于D、C兩點(diǎn)，∴矩形BCEO的面積為：xy=1，∵BC×BO=1，BP×BO=4，∴BC=BP，∵AO×AD=1，AO×AP=4，∴AD=AP，∵PA?PB=4，∴PB×PA=PA?PB=CP×DP=×4=，∴△PCD的面積為：．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，根據(jù)已知得出PB×PA=CP×DP=是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．9．（2011?孝感）如圖，點(diǎn)A在雙曲線形ABCD為矩形，則它的面積為2．上，點(diǎn)B在雙曲線y=上，且AB∥x軸，C、D在x軸上，若四邊考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義。分析：根據(jù)雙曲線的圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的矩形的面積S的關(guān)系S=|k|即可判斷．解答：解：過(guò)A點(diǎn)作AE⊥y軸，垂足為E，∵點(diǎn)A在雙曲線上，∴四邊形AEOD的面積為1，∵點(diǎn)B在雙曲線y=上，且AB∥x軸，∴四邊形BEOC的面積為3，∴四邊形ABCD為矩形，則它的面積為3﹣1=2．故答案為：2．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，即過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理10．（2010?衡陽(yáng)）如圖，已知雙曲線y=（k＞0）經(jīng)過(guò)直角三角形OAB斜邊OB的中點(diǎn)D，與直角邊AB相交于點(diǎn)C．若△OBC的面積為3，則k=2．考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義。分析：過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個(gè)定值，即S=|k|．解答：解：過(guò)D點(diǎn)作DE⊥x軸，垂足為E，∵Rt△OAB中，∠OAB=90°，∴DE∥AB，∵D為Rt△OAB斜邊OB的中點(diǎn)D，∴DE為Rt△OAB的中位線，∵△OED∽△OAB，∴兩三角形的相似比為：=∵雙曲線y=（k＞0），可知S△AOC=S△DOE=k，∴S△AOB=4S△DOE=2k，由S△AOB﹣S△AOC=S△OBC=3，得2k﹣k=3，解得k=2．故本題答案為：2．點(diǎn)評(píng)：主要考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，即過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得三角形面積為|k|，是經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．11．如圖，Rt△ABC的直角邊BC在x軸正半軸上，斜邊AC邊上的中線BD反向延長(zhǎng)線交y軸負(fù)半軸于E，（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，若S△BEC=10，則k等于20．雙曲線考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；三角形的面積。分析：先根據(jù)題意證明△BOE∽△CBA，根據(jù)相似比及面積公式得出BO×AB的值即為|k|的值，再由函數(shù)所在的象限確定k的值．解答：解：∵BD為Rt△ABC的斜邊AC上的中線，∴BD=DC，∠DBC=∠ACB，又∠DBC=∠EBO，∴∠EBO=∠ACB，又∠BOE=∠CBA=90°，∴△BOE∽△CBA，∴=，即BC×OE=BO×AB．又∵S△BEC=10，即BC×OE=20=BO×AB=|k|．又由于反比例函數(shù)圖象在第一象限，k＞0．所以k等于20．故答案為：20．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，即過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S=|k|．12．如圖，直角梯形OABC，AB∥OC，反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)B點(diǎn)和BC的中點(diǎn)D，且梯形OABC的面積為2，則該反比例函數(shù)的解析式為y=．考點(diǎn)：待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；直角梯形。分析：首先設(shè)出點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，再進(jìn)一步表示出線段BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)；根據(jù)反比例函數(shù)的解析式以及梯形的面積，即可求解．解答：解：設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)是（m，n），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（p，0），∵D是BC的中點(diǎn)，∴D的坐標(biāo)是（，），∵點(diǎn)D在函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，則有k=根據(jù)梯形OABC的面積為2，即（m+p）?n=4k，，則得到（AB+OC）?OA=2，即（m+p）?n=2k=2因而k=．，則該反比例函數(shù)的解析式為y=．點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的解析式的問(wèn)題，一般要轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo)的問(wèn)題，求出圖象上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的積就可以求出反比例函數(shù)的解析式．13．如圖（1），在Rt△ABC的邊AB的同側(cè)，分別以三邊為直徑作三個(gè)半圓，大半圓以外的兩部分面積分別為S1、S3，三角形的面積為S2；如圖（2），兩個(gè)反比例函數(shù)點(diǎn)C，PD⊥y軸于點(diǎn)D，交和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)P在的圖象上，PC⊥x軸于的圖象于分別于點(diǎn)A，B，當(dāng)點(diǎn)P在的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△BOD，四邊形OAPB，△AOC的面積分別為S1、S2、S3；如圖（3），點(diǎn)E為?ABCD邊AD上任意一點(diǎn)，三個(gè)三角形的面積分別為S1、S2、S3；如圖（4），梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB+∠A