微專題10 絕對值函數(shù)與分段函數(shù)問題課件

微專題10絕對值函數(shù)與分段函數(shù)問題微專題10絕對值函數(shù)與分段函數(shù)問題1微專題10絕對值函數(shù)與分段函數(shù)問題

題型一求參數(shù)的取值問題例1(1)若函數(shù)f(x)=(x-2)2|x-a|在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍為

.(2)若奇函數(shù)f(x)=

在區(qū)間[-1,a-2]上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是

.答案(1)(-∞,2]∪[5,+∞)(2)(1,3]微專題10絕對值函數(shù)與分段函數(shù)問題

例1(1)若函2解析(1)當(dāng)a≤2時,f(x)=(x-2)2(x-a),f'(x)=(x-2)(3x-2a-2)≥0在[2,4]上恒成立,

則2a+2≤(3x)min=6,a≤2;當(dāng)a≥4時,f(x)=(x-2)2(a-x),f'(x)=-(x-2)(3x-2a-2)≥0在

[2,4]上恒成立,則2a+2≥(3x)max=12,a≥5;當(dāng)2<a<4時,f(x)=

遞增,則

解得a≤2,舍去,綜上可得,實數(shù)a的取值范圍是a≤2或a≥5.(2)因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(-1)=-f(1),解得m=2,作出函數(shù)f(x)的圖

象(圖略)可得函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是[-1,1],則[-1,a-2]?[-1,1],則-1<a-2≤1,解得1<a≤3.解析(1)當(dāng)a≤2時,f(x)=(x-2)2(x-a),3【方法歸納】

(1)利用奇偶性求參數(shù)的取值時,若定義域確定,則利用特殊

值求出參數(shù)的值后再檢驗,若定義域不確定,則利用定義法求解.(2)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍,以函數(shù)y=

(區(qū)間D1在區(qū)間D2的左側(cè))在區(qū)間D1∪D2上單調(diào)遞增為例,方法一:①滿足函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D1上單

調(diào)遞增;②滿足函數(shù)y=g(x)在區(qū)間D2上單調(diào)遞增;③滿足函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D1的

右端點的函數(shù)值不大于函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D2的左端點的函數(shù)值;④將滿足①

②③的參數(shù)的取值范圍取交集,即為所得結(jié)果.方法二:畫出函數(shù)圖象,借助圖

象求解.【方法歸納】

(1)利用奇偶性求參數(shù)的取值時,若定義域41-1已知函數(shù)f(x)=

(a>0,a≠1)是R上的單調(diào)遞減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是

.答案

解析由題意可得

解得

≤a≤

.1-1已知函數(shù)f(x)=?(a>0,a≠1)是R上的單調(diào)遞51-2若函數(shù)f(x)=

在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范是

.答案

1-2若函數(shù)f(x)=?在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,則實數(shù)6解析當(dāng)a≤0時,f(x)=

-

,若f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,則f'(x)=

+

≥0在[1,2]上恒成立,則-2a≤(e2x)min=e2,解得-

≤a≤0;當(dāng)a>0時,f(x)=

當(dāng)x≥

時,f'(x)=

+

>0恒成立,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x<

時,f'(x)=-

<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,又由題易知

≤1,解得0<a≤

,綜上可得,實數(shù)a的取值范圍是

.解析當(dāng)a≤0時,f(x)=?-?,若f(x)在[1,2]7題型二解不等式、不等式恒成立、有解問題例2(1)已知函數(shù)f(x)=

若f(f(-2))>f(k),則實數(shù)k的取值范圍為

.(2)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)|x-a|-x|x|+2a+1(a<0),若存在x0∈[-1,1],使f(x0)≤0,則a的取值

范圍是

.答案(1)(

9,4)(2)[-3,-2+

]題型二解不等式、不等式恒成立、有解問題例2(1)已知函數(shù)8解析(1)f(f(-2))=f(4)=9,f(k)<9?

或

解得

9<k<0或0≤k<4,所以實數(shù)k的取值范圍為(

9,4).(2)若存在x0∈[-1,1],使f(x0)≤0,則f

≤0.當(dāng)a≤-1時,x-a≥0,f(x)=

=

則

≤-1,即a≤-2時,f(x)min=f(-1)=2+2a+(a+1)2=a2+4a+3≤0,-3≤a≤-2;則-1<

≤-

,即-2<a≤-1時,f(x)min=f

=

-a2+(a+1)2=

a2+2a+1≤0恒成立,所以-3≤a解析(1)f(f(-2))=f(4)=9,f(k)<9?9≤-1.當(dāng)-1<a<0時,f(x)=

f(x)min=f

=

-a2+(a+1)2=

a2+2a+1≤0,解得-1<a≤-2+

.綜上可得,a的取值范圍是[-3,-2+

].≤-1.10【方法歸納】

(1)與分段函數(shù)有關(guān)的解不等式一般轉(zhuǎn)化為若干個不等式的

解集的并集;(2)與分段函數(shù)、絕對值函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立、有解問題,一般利用分離

參數(shù)、函數(shù)最值等方法求解,求解函數(shù)最值一般需要分類討論.【方法歸納】

(1)與分段函數(shù)有關(guān)的解不等式一般轉(zhuǎn)化為112-1設(shè)函數(shù)f(x)=

g(x)=k

,其中k>0,若存在唯一的整數(shù)x,使得f(x)<g(x),則實數(shù)k的取值范圍是

.答案

2-1設(shè)函數(shù)f(x)=?g(x)=k?,其中k>0,若存在12解析作出函數(shù)圖象易知

≤k?k≥

,又當(dāng)g(x)=k

與y=x2,x>0相切時,k=

,切點橫坐標(biāo)為

,則滿足不等式f(x)<g(x)的唯一整數(shù)是2或3,即

或

解得

<k≤6,綜上可得,

≤k≤6.解析作出函數(shù)圖象易知?≤k?k≥?,又當(dāng)g(x)=k?與y132-2

(2018江蘇鹽城中學(xué)高三階段性檢測)設(shè)函數(shù)f(x)=|

-ax-b|,a,b∈R.若對任意的實數(shù)a,b,總存在實數(shù)x0∈[0,4],使得不等式f(x0)≥m成立,則m的最大值

是

.答案

解析設(shè)f(x)的最大值為M(b),2-2

(2018江蘇鹽城中學(xué)高三階段性檢測)設(shè)函數(shù)f14令u(x)=

-ax-b,則u'(x)=

-a,x∈[0,4],當(dāng)a≤

時,u'(x)≥0,u(x)單調(diào)遞增,此時-b≤u(x)≤2-4a-b,當(dāng)b≤1-2a時,M(b)=2-4a-b,當(dāng)b>1-2a時,M(b)=b,所以當(dāng)a≤

時,b=1-2a時,M(b)取最小值,M(b)min=1-2a≥

.當(dāng)a>

時,u(x)在

上單調(diào)遞增,在

上單調(diào)遞減,在a∈

時,-b≤u(x)≤

-b,當(dāng)b=

時,M(b)min=

≥

,在a∈

時,2-4a-b≤u(x)≤

-b,當(dāng)b=1-2a+

時,M(b)min=1+

-2a>

,綜上可得,M(b)min=

,對任意實數(shù)a,b,總存在實數(shù)x0∈[0,4],使得f(x0)≥m成立等價于

≥m,即m≤M(b)min=

,故實數(shù)m的最大值是

.令u(x)=?-ax-b,則u'(x)=?-a,x∈[0,4152-3

(2018蘇北四市高三第一次調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=

函數(shù)g(x)=f(x)+f(-x),則不等式g(x)≤2的解集為

.答案[-2,2]2-3

(2018蘇北四市高三第一次調(diào)研)已知函數(shù)f(16解析

f(-x)=

則g(x)=

即g(x)=

則g(x)≤2?

或

或

解得1<x≤2或-1≤x≤1或-2≤x<-1,則不等式g(x)≤2的解集為[-2,2].解析

f(-x)=?17題型三函數(shù)零點或方程根的問題例3(1)已知函數(shù)f1(x)=|x-1|,fk+1(x)=f1(fk(x)),k∈N*,k≤6,若方程fk(x)-lnx=0恰有

兩個不相等的實數(shù)根,則k的取值集合是

.(2)已知函數(shù)f(x)=

有兩個不相等的零點x1,x2,則

+

的最大值為

.答案(1){2,4,6}(2)

題型三函數(shù)零點或方程根的問題例3(1)已知函數(shù)f1(x)18解析(1)方程fk(x)-lnx=0恰有兩個不相等的實數(shù)根,即函數(shù)y=fk(x),y=lnx,x>0

的圖象有兩個不同的交點,曲線y=lnx在點(1,0)處的切線方程是y=x-1,當(dāng)k=1

時,作出函數(shù)y=|x-1|,y=lnx的圖象如圖①,只有1個交點,不適合;當(dāng)k=2時,作出函數(shù)y=||x-1|-1|,y=lnx的圖象如圖②,有2個交點,適合;

解析(1)方程fk(x)-lnx=0恰有兩個不相等的實數(shù)19當(dāng)k=3時,作出函數(shù)y=|||x-1|-1|-1|,y=lnx的圖象如圖③,有3個交點,不適合;當(dāng)k=4時,作出函數(shù)y=||||x-1|-1|-1|-1|,y=lnx的圖象如圖④,有2個交點,適合;

當(dāng)k=5時,作出函數(shù)y=f5(x),y=lnx的圖象如圖⑤,有3個交點,不適合;當(dāng)k=6時,作出函數(shù)y=f6(x),y=lnx的圖象如圖⑥,有2個交點,適合,綜上可得,k的取值集合是{2,4,6}.當(dāng)k=3時,作出函數(shù)y=|||x-1|-1|-1|,y=ln20(2)當(dāng)k>0時,f(x)只有1個零點,舍去;當(dāng)k=0時,f(x)只有1個零點,舍去;當(dāng)k<0時,

由Δ=4+4k>0,得k>-1,則f(1)=k+1>0,則f(x)=kx2+2x-1在x∈(0,1]上只有一個零點,

x1=

,f(x)=kx+1在x∈(1,+∞)上有1個零點x2=-

>1,則

+

=

-k=

+1-k,-1<k<0,令

=t,0<t<1,則k=t2-1,

+

=-t2+t+2=-

+

,0<t<1,則當(dāng)t=

,即k=-

時,

+

取得最大值

.(2)當(dāng)k>0時,f(x)只有1個零點,舍去;當(dāng)k=0時,21【方法歸納】

與分段函數(shù)的零點相關(guān)的問題一般有確定函數(shù)的零點個

數(shù)、已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,解題策略是圖象法,即畫出分段

函數(shù)的圖象,或者對方程變形,轉(zhuǎn)化為另一個確定的分段函數(shù)與一條動直線的

交點個數(shù)問題.【方法歸納】

與分段函數(shù)的零點相關(guān)的問題一般有確定函數(shù)223-1已知函數(shù)f(x)=

若函數(shù)f(x)有四個不同的零點,則實數(shù)m的取值范圍是

.答案

3-1已知函數(shù)f(x)=?若函數(shù)f(x)有四個不同的零點,23解析由f(x)=0得-

=

則直線y=-

與y=

的圖象有4個不同的交點,作出函數(shù)y=

的大致圖象如圖,由圖可得0<-

<

,則m<-

.

解析由f(x)=0得-?=?則直線y=-?與y=?的圖象有243-2已知函數(shù)g(x)=

若函數(shù)y=g(g(x))-2m有3個不同的零點,則實數(shù)m的取值范圍是

.答案

解析令g(x)=t,g(t)=2m?t1=1-2m<0,

=2m+1>0,要使函數(shù)y=g(g(x))-2m有3個不同的零點,則-1≤1-2m<0,2m+1>1,解得

<m≤1.3-2已知函數(shù)g(x)=?若函數(shù)y=g(g(x))-2m有25微專題10絕對值函數(shù)與分段函數(shù)問題微專題10絕對值函數(shù)與分段函數(shù)問題26微專題10絕對值函數(shù)與分段函數(shù)問題

題型一求參數(shù)的取值問題例1(1)若函數(shù)f(x)=(x-2)2|x-a|在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍為

.(2)若奇函數(shù)f(x)=

在區(qū)間[-1,a-2]上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是

.答案(1)(-∞,2]∪[5,+∞)(2)(1,3]微專題10絕對值函數(shù)與分段函數(shù)問題

例1(1)若函27解析(1)當(dāng)a≤2時,f(x)=(x-2)2(x-a),f'(x)=(x-2)(3x-2a-2)≥0在[2,4]上恒成立,

則2a+2≤(3x)min=6,a≤2;當(dāng)a≥4時,f(x)=(x-2)2(a-x),f'(x)=-(x-2)(3x-2a-2)≥0在

[2,4]上恒成立,則2a+2≥(3x)max=12,a≥5;當(dāng)2<a<4時,f(x)=

遞增,則

解得a≤2,舍去,綜上可得,實數(shù)a的取值范圍是a≤2或a≥5.(2)因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(-1)=-f(1),解得m=2,作出函數(shù)f(x)的圖

象(圖略)可得函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是[-1,1],則[-1,a-2]?[-1,1],則-1<a-2≤1,解得1<a≤3.解析(1)當(dāng)a≤2時,f(x)=(x-2)2(x-a),28【方法歸納】

(1)利用奇偶性求參數(shù)的取值時,若定義域確定,則利用特殊

值求出參數(shù)的值后再檢驗,若定義域不確定,則利用定義法求解.(2)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍,以函數(shù)y=

(區(qū)間D1在區(qū)間D2的左側(cè))在區(qū)間D1∪D2上單調(diào)遞增為例,方法一:①滿足函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D1上單

調(diào)遞增;②滿足函數(shù)y=g(x)在區(qū)間D2上單調(diào)遞增;③滿足函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D1的

右端點的函數(shù)值不大于函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D2的左端點的函數(shù)值;④將滿足①

②③的參數(shù)的取值范圍取交集,即為所得結(jié)果.方法二:畫出函數(shù)圖象,借助圖

象求解.【方法歸納】

(1)利用奇偶性求參數(shù)的取值時,若定義域291-1已知函數(shù)f(x)=

(a>0,a≠1)是R上的單調(diào)遞減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是

.答案

解析由題意可得

解得

≤a≤

.1-1已知函數(shù)f(x)=?(a>0,a≠1)是R上的單調(diào)遞301-2若函數(shù)f(x)=

在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范是

.答案

1-2若函數(shù)f(x)=?在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,則實數(shù)31解析當(dāng)a≤0時,f(x)=

-

,若f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,則f'(x)=

+

≥0在[1,2]上恒成立,則-2a≤(e2x)min=e2,解得-

≤a≤0;當(dāng)a>0時,f(x)=

當(dāng)x≥

時,f'(x)=

+

>0恒成立,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x<

時,f'(x)=-

<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,又由題易知

≤1,解得0<a≤

,綜上可得,實數(shù)a的取值范圍是

.解析當(dāng)a≤0時,f(x)=?-?,若f(x)在[1,2]32題型二解不等式、不等式恒成立、有解問題例2(1)已知函數(shù)f(x)=

若f(f(-2))>f(k),則實數(shù)k的取值范圍為

.(2)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)|x-a|-x|x|+2a+1(a<0),若存在x0∈[-1,1],使f(x0)≤0,則a的取值

范圍是

.答案(1)(

9,4)(2)[-3,-2+

]題型二解不等式、不等式恒成立、有解問題例2(1)已知函數(shù)33解析(1)f(f(-2))=f(4)=9,f(k)<9?

或

解得

9<k<0或0≤k<4,所以實數(shù)k的取值范圍為(

9,4).(2)若存在x0∈[-1,1],使f(x0)≤0,則f

≤0.當(dāng)a≤-1時,x-a≥0,f(x)=

=

則

≤-1,即a≤-2時,f(x)min=f(-1)=2+2a+(a+1)2=a2+4a+3≤0,-3≤a≤-2;則-1<

≤-

,即-2<a≤-1時,f(x)min=f

=

-a2+(a+1)2=

a2+2a+1≤0恒成立,所以-3≤a解析(1)f(f(-2))=f(4)=9,f(k)<9?34≤-1.當(dāng)-1<a<0時,f(x)=

f(x)min=f

=

-a2+(a+1)2=

a2+2a+1≤0,解得-1<a≤-2+

.綜上可得,a的取值范圍是[-3,-2+

].≤-1.35【方法歸納】

(1)與分段函數(shù)有關(guān)的解不等式一般轉(zhuǎn)化為若干個不等式的

解集的并集;(2)與分段函數(shù)、絕對值函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立、有解問題,一般利用分離

參數(shù)、函數(shù)最值等方法求解,求解函數(shù)最值一般需要分類討論.【方法歸納】

(1)與分段函數(shù)有關(guān)的解不等式一般轉(zhuǎn)化為362-1設(shè)函數(shù)f(x)=

g(x)=k

,其中k>0,若存在唯一的整數(shù)x,使得f(x)<g(x),則實數(shù)k的取值范圍是

.答案

2-1設(shè)函數(shù)f(x)=?g(x)=k?,其中k>0,若存在37解析作出函數(shù)圖象易知

≤k?k≥

,又當(dāng)g(x)=k

與y=x2,x>0相切時,k=

,切點橫坐標(biāo)為

,則滿足不等式f(x)<g(x)的唯一整數(shù)是2或3,即

或

解得

<k≤6,綜上可得,

≤k≤6.解析作出函數(shù)圖象易知?≤k?k≥?,又當(dāng)g(x)=k?與y382-2

(2018江蘇鹽城中學(xué)高三階段性檢測)設(shè)函數(shù)f(x)=|

-ax-b|,a,b∈R.若對任意的實數(shù)a,b,總存在實數(shù)x0∈[0,4],使得不等式f(x0)≥m成立,則m的最大值

是

.答案

解析設(shè)f(x)的最大值為M(b),2-2

(2018江蘇鹽城中學(xué)高三階段性檢測)設(shè)函數(shù)f39令u(x)=

-ax-b,則u'(x)=

-a,x∈[0,4],當(dāng)a≤

時,u'(x)≥0,u(x)單調(diào)遞增,此時-b≤u(x)≤2-4a-b,當(dāng)b≤1-2a時,M(b)=2-4a-b,當(dāng)b>1-2a時,M(b)=b,所以當(dāng)a≤

時,b=1-2a時,M(b)取最小值,M(b)min=1-2a≥

.當(dāng)a>

時,u(x)在

上單調(diào)遞增,在

上單調(diào)遞減,在a∈

時,-b≤u(x)≤

-b,當(dāng)b=

時,M(b)min=

≥

,在a∈

時,2-4a-b≤u(x)≤

-b,當(dāng)b=1-2a+

時,M(b)min=1+

-2a>

,綜上可得,M(b)min=

,對任意實數(shù)a,b,總存在實數(shù)x0∈[0,4],使得f(x0)≥m成立等價于

≥m,即m≤M(b)min=

,故實數(shù)m的最大值是

.令u(x)=?-ax-b,則u'(x)=?-a,x∈[0,4402-3

(2018蘇北四市高三第一次調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=

函數(shù)g(x)=f(x)+f(-x),則不等式g(x)≤2的解集為

.答案[-2,2]2-3

(2018蘇北四市高三第一次調(diào)研)已知函數(shù)f(41解析

f(-x)=

則g(x)=

即g(x)=

則g(x)≤2?

或

或

解得1<x≤2或-1≤x≤1或-2≤x<-1,則不等式g(x)≤2的解集為[-2,2].解析

f(-x)=?42題型三函數(shù)零點或方程根的問題例3(1)已知函數(shù)f1(x)=|x-1|,fk+1(x)=f1(fk(x)),k∈N*,k≤6,若方程fk(x)-lnx=0恰有

兩個不相等的實數(shù)根,則k的取值集合是

.(2)已知函數(shù)f(x)=

有兩個不相等的零點x1,x2,則

+

的最大值為

.答案(1){2,4,6}(2)

題型三函數(shù)零點或方程根的問題例3(1)已知函數(shù)f1(x)43解析(1)方程fk(x)-lnx=0恰有兩個不相等的實數(shù)根,即函數(shù)y=fk(x),y=lnx,x>0

的圖象有兩個不同的交點,曲線y=lnx在點(1,0)處的切線方程是y=x-1,當(dāng)k=1

時,作出函數(shù)y=|x-1|,y=lnx的圖象如圖①,只有1個交點,不適合;當(dāng)k=2時,作出函數(shù)y=||x-1|-1|,y=lnx的圖象如圖②,有2個交點,適合;

解析(1)方程fk(x)-lnx=0恰有兩個不相等的實數(shù)44當(dāng)k=3時,作出函數(shù)y=|||x-1|-1|-1|,y=lnx的圖象如圖③,有3個交點,不適合;當(dāng)k=4時,作出函數(shù)y=||||x-1|-1|-1|-1|,y=lnx的圖象如圖④,有2個交點,適合;

當(dāng)k=5時,作出函數(shù)