中考三角形總復(fù)習(xí)(解析版)

-.z.2016年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總發(fā)動(dòng)系列考點(diǎn)十四：三角形聚焦考點(diǎn)☆溫習(xí)理解一、三角形1、三角形中的主要線段〔1〕三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線?！?〕在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。〔3〕從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線〔簡稱三角形的高〕。2、三角形的三邊關(guān)系定理及推論〔1〕三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之差小于第三邊?！?〕三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：①判斷三條線段能否組成三角形②當(dāng)兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍。③證明線段不等關(guān)系。3、三角形的內(nèi)角和定理及推論三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°。推論：①直角三角形的兩個(gè)銳角互余。②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的來兩個(gè)內(nèi)角的和。③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。注：在同一個(gè)三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。二、全等三角形1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：〔1〕邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等〔可簡寫成"邊角邊〞或"SAS〞〕〔2〕角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等〔可簡寫成"角邊角〞或"ASA〞〕〔3〕邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等〔可簡寫成"邊邊邊〞或"SSS〞〕。直角三角形全等的判定：對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理〔斜邊、直角邊定理〕：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等〔可簡寫成"斜邊、直角邊〞或"HL〞〕2.全等三角形的性質(zhì)：三、等腰三角形1、等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等〔簡稱：等邊對等角〕推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。2、等腰三角形的判定定理及推論：定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)角所對的邊也相等〔簡稱：等角對等邊〕。這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等。推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形推論2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，則它所對的直角邊等于斜邊的一半。3、三角形中的中位線連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。名師點(diǎn)睛☆典例分類考點(diǎn)典例一、三角形中位線【例2】〔2014·〕如圖，△ABC中，D，E分別上邊AB，AC的中點(diǎn)，假設(shè)DE=2，則BC=〔〕A、2B、3C、4D、5【答案】C.考點(diǎn)：三角形中位線定理.【點(diǎn)睛】此題考察了三角形的中位線定理，中位線是三角形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線段的中點(diǎn)及平行線嚴(yán)密相連，因此，它在幾何圖形的計(jì)算及證明中有著廣泛的應(yīng)用．【舉一反三】1．(2015·湖北衡陽，18題，3分)如下圖，小明為了測量學(xué)校里一池塘的寬度AB，選取可以直達(dá)A、B兩點(diǎn)的點(diǎn)O處，再分別取OA、OB的中點(diǎn)M、N，量得MN＝20m，則池塘的寬度AB為m．【答案】40考點(diǎn)：三角形中位線定理考點(diǎn)典例二、等腰三角形【例2】(2015·湖北衡陽，7題，3分)等腰三角形的兩邊長分別是5和6，則這個(gè)等腰三角形的周長為〔〕．A．11B．16C．17D．16或17【答案】D考點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系；分情況討論的數(shù)學(xué)思想【點(diǎn)睛】此題考察了等腰三角形的性質(zhì)；對于底和腰不等的等腰三角形，假設(shè)條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．【舉一反三】(2015·湖北荊門，5題，3分)一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別是2和4，則該等腰三角形的周長為〔〕A．8或10B．8C．10D．6或12【答案】C．【解析】試題分析：①2是腰長時(shí)，三角形的三邊分別為2、2、4，∵2+2=4，∴不能組成三角形，②2是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為2、4、4，能組成三角形，周長=2+4+4=10，綜上所述，它的周長是10．應(yīng)選C．考點(diǎn)：1．等腰三角形的性質(zhì)；2．三角形三邊關(guān)系；3．分類討論．考點(diǎn)典例三、全等三角形【例3】如圖，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加以下哪一個(gè)條件無法證明△ABC≌△DEF〔〕A．AC∥DFB．∠A=∠DC．AC=DFD．∠ACB=∠F【答案】C．【解析】試題分析：根據(jù)全等三角形的判定定理，即可得出：∵AB=DE，∠B=∠DEF，∴添加AC∥DF，得出∠ACB=∠F，即可證明△ABC≌△DEF，故A、D都正確；添加∠A=∠D，根據(jù)ASA，可證明△ABC≌△DEF，故B都正確；添加AC=DF時(shí)，沒有SSA定理，不能證明△ABC≌△DEF，故C都不正確．應(yīng)選C．【點(diǎn)睛】此題考察了全等三角形的判定定理，證明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，還有直角三角形的HL定理．【舉一反三】〔2015.重慶市A卷，第20題，7分〕如圖，在△ABD和△FEC中，點(diǎn)B,C,D,E在同一直線上，且AB=FE,BC=DE,B=E。求證：ADB=FCE.20題圖20題圖【答案】證明見解析.考點(diǎn)：全等三角形的證明.考點(diǎn)典例四、相似三角形【例4】如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，假設(shè)S△BDE：S△CDE=1：4，則S△BDE：S△ACD=〔〕 A． 1：16 B． 1：18 C． 1：20 D． 1：24【答案】C．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【點(diǎn)睛】此題考察了相似三角形的判定與性質(zhì)，等高的三角形的面積的比等于底邊的比，熟記相似三角形面積的比等于相似比的平方，用△BDE的面積表示出△ABC的面積是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】1.(2015.天津市，第16題，3分)如圖，在△ABC中，DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E.假設(shè)AD=3，DB=2，BC=6，則DE的長為.【答案】.【解析】試題分析：由DE∥BC可得△ADE∽△ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得,解得.考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì).2.(2015·黑龍江哈爾濱〕如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在BA的延長線上，點(diǎn)F在BC的延長線上，連接EF，分別交AD、CD于點(diǎn)G，H，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C考點(diǎn)：三角形相似的應(yīng)用.考點(diǎn)典例五、位似三角形【例5】△ABC與△A′B′C′是位似圖形，且△ABC與△A′B′C′的位似比是1：2，△ABC的面積是3，則△A′B′C′的面積是〔〕A．3B．6C．9D．12【答案】D．【解析】考點(diǎn)：位似變換的性質(zhì)．【點(diǎn)睛】此題主要考察了位似圖形的性質(zhì)，利用位似圖形的面積比等于位似比的平方得出是解題關(guān)鍵．【舉一反三】1.〔2015·遼寧營口〕如圖，△ABE和△CDE是以點(diǎn)E為位似中心的位似圖形，點(diǎn)A〔3，4〕，點(diǎn)C〔2，2〕，點(diǎn)D〔3，1〕，則點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是().A．〔4，2〕 B．〔4，1〕C．〔5，2〕 D．〔5，1〕【答案】C.【解析】試題分析：分別過C,D,A,B,做*軸的垂線，垂足分別是F,H,K；因?yàn)锳,D的橫坐標(biāo)一樣，所以D在AH上，∵E〔1,0〕，C〔2，2〕，A〔3，4〕，D〔3，1〕，∴EF=1，F(xiàn)H=1；∵CF∥AH∥BK,∴,∵CD∥AB,∴,∵DH∥BK,∴,∵EH=2，DH=1，∴EK=4，BK=2，∴OK=5，∴B(5，2),應(yīng)選C.考點(diǎn)：1.位似性質(zhì)；2.平行線分線段成比例定理.2.〔2015宜賓〕如圖，△OAB與△OCD是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為1：2，∠OCD=90°，CO=CD．假設(shè)B〔1，0〕，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔〕A．〔1，2〕B．〔1，1〕C．〔，〕D．〔2，1〕【答案】B．考點(diǎn)：1．位似變換；2．坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．考點(diǎn)典例六：直角三角形【例6】〔2015·湖南長沙〕如圖，為測量一顆與地面垂直的樹OA的高度，在距離樹的底端30米的B處，測得樹頂A的仰角∠ABO為α，則樹OA的高度為〔〕【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)題意可得BO=30，tan∠ABO=，則AO=BO·tan∠ABO=30tanα.考點(diǎn)：三角函數(shù)的應(yīng)用.【點(diǎn)睛】此題可以考察銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比邊．【舉一反三】1.〔2015·遼寧大連〕如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，點(diǎn)D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，則BC的長為〔〕A.-1B.+1C.-1D.+1【答案】D考點(diǎn)：解直角三角形.2.(2015·湖北荊門，11題，3分)如圖，在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，連接BD，則tan∠DBC的值為〔〕A．B．C．D．【答案】A．【解析】考點(diǎn)：1．解直角三角形；2．等腰直角三角形．課時(shí)作業(yè)☆能力提升選擇題1.〔2015·湖南長沙〕如圖，過△ABC的頂點(diǎn)A，作BC邊上的高，以下作法正確的選項(xiàng)是〔〕【答案】A【解析】試題分析：經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)作對邊所在的直線的垂線段，叫做三角形的高.根據(jù)定義可得A是作BC邊上的高，C是作AB邊上的高，D是作AC邊上的高.考點(diǎn)：三角形高線的作法2.〔2015.山東濟(jì)寧，第5題,3分〕三角形兩邊長分別為3和6，第三邊是方程的根，則三角形的周長為()A.13B.15C.18D.13或18【答案】A【解析】試題分析：解一元二次方程可求得方程的兩根為，則根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，可知3＜第三邊＜9，得到合題意的邊為4，進(jìn)而求得三角形周長為3+4+6=13．應(yīng)選A考點(diǎn)：解一元二次方程，三角形的三邊關(guān)系，三角形的周長3.〔2015.，第9題,3分〕如圖，斜面AC的坡度〔CD與AD的比〕為1:2，AC=米，坡頂有一旗桿BC，旗桿頂端B點(diǎn)與A點(diǎn)有一條彩帶相連，假設(shè)AB=10米，則旗桿BC的高度為()A.5米B.6米C.8米D.米【答案】A考點(diǎn)：解直角三角形4.(2015.山東日照，第10題，3分)如圖，在直角△BAD中，延長斜邊BD到點(diǎn)C，使DC=BD，連接AC，假設(shè)tanB=，則tan∠CAD的值〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】試題分析：解：如圖，延長AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E，∵tanB=，即=，∴設(shè)AD=5*，則AB=3*，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE=*，DE=，∴AE=，∴tan∠CAD==．應(yīng)選D．考點(diǎn)：解直角三角形．5.〔2015成都〕如圖，在△ABC中，DE//BC，AD=6，BD=3，AE=4，則EC的長為〔〕A．1B．2C．3D．4【答案】B．【解析】試題分析：根據(jù)平行線段的比例關(guān)系，，即，，應(yīng)選B．考點(diǎn)：平行線分線段成比例．6.(2015·黑龍江哈爾濱〕如圖：*飛機(jī)在空中A處探測到它的正下方地平面上目標(biāo)C，此時(shí)飛機(jī)飛行高度AC＝1200m，從飛機(jī)上看地平面指揮臺(tái)B的俯角＝，則飛機(jī)A與指揮臺(tái)B的距離為〔〕〔A〕1200m(B)1200m(C)1200m(D)2400m【答案】D考點(diǎn)：三角函數(shù)的應(yīng)用.7.〔2015內(nèi)江〕如圖，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，AE∥BD交CB的延長線于點(diǎn)E．假設(shè)∠E=35°，則∠BAC的度數(shù)為〔〕A．40°B．45°C．60°D．70°【答案】A．【解析】試題分析：∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°，∵AB=AC，∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．應(yīng)選A．考點(diǎn)：1．等腰三角形的性質(zhì)；2．平行線的性質(zhì)．8.(2015.北京市，第6題，3分)如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開，假設(shè)測得AM的長為1.2km，則M、C兩點(diǎn)間的距離為()A0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km【答案】D．【解析】試題分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MC=1.2km．應(yīng)選D．考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半二、填空題9.〔2015·遼寧沈陽〕如圖，△ABC與△DEF位似，位似中心為點(diǎn)O，且△ABC的面積等于△DEF面積的，則AB：DE=．【答案】2：3．考點(diǎn)：位似變換．10.如圖，△ABC三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)D在CA的延長線上，且DC=BC，AD=AO，假設(shè)∠BAC=80°，則∠BCA的度數(shù)為．【答案】60°.【解析】試題分析：可證明△COD≌△COB，得出∠D=∠CBO，再根據(jù)∠BAC=80°，得∠BAD=100°，由角平分線可得∠BAO=40°，從而得出∠DAO=140°，根據(jù)AD=AO，可得出∠D=20°，即可得出∠CBO=20°，則∠ABC=40°，最后算出∠BCA=60°試題解析：∵△ABC三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，∴∠ACO=∠BCO，在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB，∴∠D=∠CBO，∵∠BAC=80°，∴∠BAD=100°，∴∠BAO=40°，∴∠DAO=140°，∵AD=AO，∴∠D=20°，∴∠CBO=20°，∴∠ABC=40°，∴∠BCA=60°.考點(diǎn):1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.等腰三角形的性質(zhì)．11.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，延長BC到點(diǎn)F，使CF=BC..假設(shè)AB=10，則EF的長是▲．【答案】5.【解析】試題分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，AB=10，∴AD=5，AE=EC，DE=BC，∠AED=90°.∵CF=BC，∴DE=FC.在Rt△ADE和Rt△EFC中，∵AE=EC，DE=FC，∴Rt△ADE≌Rt△EFC〔SAS〕.∴EF=AD=5.考點(diǎn)：1.三角形中位線定理；2.全等三角形的判定和性質(zhì).12.〔2015山東棗莊，第15題，4分〕如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點(diǎn)，假設(shè)AD=6，DE=5，則CD=________．【答案】【解析】【試題分析】因?yàn)镃D⊥AB，所以△ADC是直角三角形，E為AC的中點(diǎn)，所以AC=2DE=10，由勾股定理可得AD=8.考點(diǎn)：直角三角形的性質(zhì)13.〔2015·黑龍江省黑河市、齊齊哈爾市、大興安嶺〕如圖，點(diǎn)B、A、D、E在同一直線上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，則只需添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件是．〔只填一個(gè)即可〕【答案】BC=EF或∠BAC=∠EDF．考點(diǎn)：1．全等三角形的判定；2．開放型．14.〔2015·黑龍江省黑河市、齊齊哈爾市、大興安嶺〕BD為等腰△ABC的腰AC上的高，BD=1，tan∠ABD=，則CD的長為．【答案】或或．【解析】試題分析：分三種情況：①如圖1，∠A為鈍角，AB=AC，在Rt△ABD中，∵BD=1，tan∠ABD=，∴AD=，AB=2，∴AC=2，∴CD=，②如圖2，∠A為銳角，AB=AC，在Rt△ABD中，∵BD=1，tan∠ABD=，∴AD=，AB=2，∴AC=2，∴CD=，③如圖3，BA=BC，∵BD⊥AC，∴AD=CD，在Rt△ABD中，∵BD=1，tan∠ABD=，∴AD=，∴CD=，綜上所述；CD的長為：或或，故答案為：或或．考點(diǎn)：1．解直角三角形；2．等腰三角形的性質(zhì)；3．勾股定理．三．解答題15.如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn).〔1〕作圖：=1\*GB3①過B作AC的平行線BH；=2\*GB3②過D作BH的垂線，分別交AC，BH，AB的延長線于E，F(xiàn)，G.〔2〕在圖中找出一對全等三角形，并證明你的結(jié)論.【答案】〔1〕作圖見解析；〔2〕△DEC≌△DFB〔答案不唯一〕，證明見解析.【解析】試題分析：〔1〕根據(jù)平行線和垂線的作圖方法作圖.〔2〕根據(jù)作圖方法，由ASA可判定△DEC≌△DFB〔答案不唯一〕.試題解析：解：〔1〕作圖如下：①如答圖1；②如答圖2.〔2〕△DEC≌△DFB〔答案不唯一〕，證明如下：∵BH∥AC，∴∠DCE=∠DBF.又∵D是BC中點(diǎn)，∴DC=DB.在△DEC與△DFB中，∵，∴△DEC≌△DFB〔ASA〕.考點(diǎn)：1.作圖〔復(fù)雜作圖〕；2.開放型問題；3.全等三角形的判定；4.平行的性質(zhì).16.在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AE=AF，BF與CE相交于點(diǎn)P．求證：PB=PC，并直接寫出圖中其他相等的線段．【答案】證明見解析【解析】試題分析：可證明△ABF≌△ACE，則BF=CE，再證明△BEP≌△CFP，則PB=PC，從而可得出PE=PF，BE=CF．試題解析：在△ABF和△ACE中，AB=AC∠BAF=∠CAEAF=AE，∴△ABF≌△ACE〔SAS〕，∴∠ABF=∠ACE〔全等三角形的對應(yīng)角相等〕，∴BF=CE〔全等三角形的對應(yīng)邊相等〕，∵AB=AC，AE=AF，∴BE=CF，在△BEP和△CFP中，∠BPE=∠CPF∠PBE=∠PCFBE=CF，∴△BEP≌△CFP〔AAS〕，∴PB=PC，∵BF=CE，∴PE=PF，∴圖中相等的線段為PE=PF，BE=CF，BF=CE．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．17.．(2015·湖北孝感〕〔此題總分值8分〕我們把兩組鄰邊相等的四邊形叫做"箏形〞．如圖，四邊形是一個(gè)箏形，其中，．對角線，相交于點(diǎn)，，，垂足分別是，．求證．【答案】OE=OF.【解析】試題分析：由根據(jù)SSS得出全等，根據(jù)全等性質(zhì)得出BD為∠ABC的角平分線，再由角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，得出OE=OF考點(diǎn)：全等三角形18.〔2015·遼寧沈陽〕如圖，點(diǎn)E為矩形ABCD外一點(diǎn)，AE=DE，連接EB、EC分別與AD相交于點(diǎn)F、G．求證：〔1〕△EAB≌△EDC；〔2〕∠EFG=∠EGF．【答案】〔1〕證明見試題解析；〔2〕證明見試題解析．【解析】試題分析：〔1〕先根據(jù)四邊形ABCD是矩形，得到AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°．再根據(jù)EA=ED，得到∠EAD=∠EDA，由等式的性質(zhì)得到∠EAB=∠EDC．利用SAS即可證明△EAB≌△EDC；〔2〕由△EAB≌△EDC，得到∠AEF=∠DEG，由三角形外角的性質(zhì)得出∠EFG=∠EAF+∠AEF，/