線性代數(shù)測(cè)試試卷及答案

-PAGE.z.線性代數(shù)〔A卷〕一﹑選擇題(每題3分,共15分)1.設(shè)﹑是任意階方陣,則以下等式必成立的是()(A)(B)(C)(D)2.如果元齊次線性方程組有根底解系并且根底解系含有個(gè)解向量,則矩陣的秩為()(A)(B)(C)(D)以上答案都不正確3.如果三階方陣的特征值為,則及分別等于()(A)(B)(C)(D)4.設(shè)實(shí)二次型的矩陣為,則()(A)(B)(C)(D)5.假設(shè)方陣A的行列式，則()(A)A的行向量組和列向量組均線性相關(guān)(B)A的行向量組線性相關(guān),列向量組線性無(wú)關(guān)(C)A的行向量組和列向量組均線性無(wú)關(guān)(D)A的列向量組線性相關(guān),行向量組線性無(wú)關(guān)二﹑填空題(每題3分,共30分)1如果行列式有兩列的元對(duì)應(yīng)成比例,則該行列式等于；2.設(shè)，是的伴隨矩陣，則；3.設(shè),是非齊次線性方程組的解,假設(shè)也是它的解,則；4.設(shè)向量與向量正交,則；5.設(shè)為正交矩陣,則；6.設(shè)是互不一樣的三個(gè)數(shù),則行列式；7.要使向量組線性相關(guān)，則；8.三階可逆矩陣的特征值分別為,則的特征值分別為；9.假設(shè)二次型是正定的，則的取值范圍為；10.設(shè)為階方陣,且滿足,這里為階單位矩陣,則.三﹑計(jì)算題〔每題9分，共27分〕1.，，求矩陣使之滿足.2.求行列式的值.3求向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組和秩.四﹑(10分)設(shè)有齊次線性方程組問(wèn)當(dāng)取何值時(shí),上述方程組(1)有唯一的零解﹔(2)有無(wú)窮多個(gè)解,并求出這些解.五﹑(12分)求一個(gè)正交變換,把以下二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形:.六﹑(6分)平面上三條不同直線的方程分別為試證：這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為.線性代數(shù)〔A卷〕答案一﹑1.D2.C3.B4.A5.A二﹑1.02.3.14.35.1或-16.7.08.9.10.三﹑1.解由得.(2分)下面求.由于(4分)而.(7分)所以.(9分)2.解(4分)(8分)(9分).3.解由于(6分)故向量組的秩是3，是它的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。(9分)四﹑解方程組的系數(shù)行列式(2分)①當(dāng),即且時(shí),方程組有唯一的零解;(4分)②當(dāng)時(shí),,方程組的系數(shù)矩陣為,它有一個(gè)二階子式,因此秩()(這里),故方程組有無(wú)窮多個(gè)解.對(duì)施行初等行變換,可得到方程組的一般解為其中可取任意數(shù);(7分)③當(dāng)時(shí),,方程組的系數(shù)矩陣為,顯然,秩()(這里),所以方程組也有無(wú)窮多個(gè)解.對(duì)施行初等行變換可得方程組的一般解為其中可取任意數(shù).(10分)五﹑解二次型的矩陣為,(2分)因?yàn)樘卣鞫囗?xiàng)式為,所以特征值是(二重)和.(4分)把特征值代入齊次線性方程組得解此方程組可得矩陣的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為.利用施密特正交化方法將正交化:,,再將單位化得,,(8分)把特征值代入齊次線性方程組得解此方程組可得矩陣的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為.再將單位化得.(10分)令則是一個(gè)正交矩陣,且滿足.所以,正交變換為所求,它把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形.(12分)六﹑證明:必要性由交于一點(diǎn)得方程組有解,可知(2分)由于,所以(3分)充分性：,(5分)因此方程組有唯一解，即交于一點(diǎn).(6分)線性代數(shù)習(xí)題和答案第一局部選擇題(共28分)單項(xiàng)選擇題〔本大題共14小題，每題2分，共28分〕在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選或未選均無(wú)分。1.設(shè)行列式=m，=n，則行列式等于〔〕A.m+n B.-(m+n)C.n-m D.m-n2.設(shè)矩陣A=，則A-1等于〔〕A.B.C.D.3.設(shè)矩陣A=，A*是A的伴隨矩陣，則A*中位于〔1，2〕的元素是〔〕A.–6 B.6C.2 D.–24.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC，則必有〔〕A.A=0B.BC時(shí)A=0C.A0時(shí)B=CD.|A|0時(shí)B=C5.3×4矩陣A的行向量組線性無(wú)關(guān)，則秩〔AT〕等于〔〕A.1 B.2C.3 D.46.設(shè)兩個(gè)向量組α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均線性相關(guān)，則〔〕A.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λs使λ1〔α1+β1〕+λ2〔α2+β2〕+…+λs〔αs+βs〕=0C.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λs使λ1〔α1-β1〕+λ2〔α2-β2〕+…+λs〔αs-βs〕=0D.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λs和不全為0的數(shù)μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.設(shè)矩陣A的秩為r，則A中〔〕A.所有r-1階子式都不為0 B.所有r-1階子式全為0C.至少有一個(gè)r階子式不等于0 D.所有r階子式都不為08.設(shè)A*=b是一非齊次線性方程組，η1，η2是其任意2個(gè)解，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A.η1+η2是A*=0的一個(gè)解 B.η1+η2是A*=b的一個(gè)解C.η1-η2是A*=0的一個(gè)解 D.2η1-η2是A*=b的一個(gè)解9.設(shè)n階方陣A不可逆，則必有〔〕A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程組A*=0只有零解10.設(shè)A是一個(gè)n(≥3)階方陣，以下陳述中正確的選項(xiàng)是〔〕A.如存在數(shù)λ和向量α使Aα=λα，則α是A的屬于特征值λ的特征向量B.如存在數(shù)λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，則λ是A的特征值C.A的2個(gè)不同的特征值可以有同一個(gè)特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3個(gè)互不一樣的特征值，α1，α2，α3依次是A的屬于λ1，λ2，λ3的特征向量，則α1，α2，α3有可能線性相關(guān)11.設(shè)λ0是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于λ0的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為k，則必有〔〕A.k≤3 B.k<3C.k=3 D.k>312.設(shè)A是正交矩陣，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A.|A|2必為1 B.|A|必為1C.A-1=AT D.A的行〔列〕向量組是正交單位向量組13.設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，C是實(shí)可逆矩陣，B=CTAC.則〔〕A.A與B相似B.A與B不等價(jià)C.A與B有一樣的特征值D.A與B合同14.以下矩陣中是正定矩陣的為〔〕A.B.C.D.第二局部非選擇題〔共72分〕二、填空題〔本大題共10小題，每題2分，共20分〕不寫解答過(guò)程，將正確的答案寫在每題的空格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無(wú)分。15..16.設(shè)A=，B=.則A+2B=.17.設(shè)A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代數(shù)余子式〔i,j=1,2,3〕,則(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=.18.設(shè)向量〔2，-3，5〕與向量〔-4，6，a〕線性相關(guān)，則a=.19.設(shè)A是3×4矩陣，其秩為3，假設(shè)η1，η2為非齊次線性方程組A*=b的2個(gè)不同的解，則它的通解為.20.設(shè)A是m×n矩陣，A的秩為r(<n)，則齊次線性方程組A*=0的一個(gè)根底解系中含有解的個(gè)數(shù)為.21.設(shè)向量α、β的長(zhǎng)度依次為2和3，則向量α+β與α-β的內(nèi)積〔α+β，α-β〕=.22.設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8，A有2個(gè)特征值-1和4，則另一特征值為.23.設(shè)矩陣A=，α=是它的一個(gè)特征向量，則α所對(duì)應(yīng)的特征值為.24.設(shè)實(shí)二次型f(*1,*2,*3,*4,*5)的秩為4，正慣性指數(shù)為3，則其標(biāo)準(zhǔn)形為.三、計(jì)算題〔本大題共7小題，每題6分，共42分〕25.設(shè)A=，B=.求〔1〕ABT；〔2〕|4A|.26.試計(jì)算行列式.27.設(shè)矩陣A=，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.28.給定向量組α1=，α2=，α3=，α4=.試判斷α4是否為α1，α2，α3的線性組合；假設(shè)是，則求出組合系數(shù)。29.設(shè)矩陣A=.求：〔1〕秩〔A〕；〔2〕A的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。30.設(shè)矩陣A=的全部特征值為1，1和-8.求正交矩陣T和對(duì)角矩陣D，使T-1AT=D.31.試用配方法化以下二次型為標(biāo)準(zhǔn)形f(*1,*2,*3)=，并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題〔本大題共2小題，每題5分，共10分〕32.設(shè)方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且〔E-A〕-1=E+A+A2.33.設(shè)η0是非齊次線性方程組A*=b的一個(gè)特解，ξ1，ξ2是其導(dǎo)出組A*=0的一個(gè)根底解系.試證明〔1〕η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是A*=b的解；〔2〕η0，η1，η2線性無(wú)關(guān)。答案：一、單項(xiàng)選擇題〔本大題共14小題，每題2分，共28分〕1.D 2.B 3.B 4.D 5.C6.D 7.C 8.A 9.A 10.B11.A 12.B 13.D 14.C二、填空題〔本大題共10空，每空2分，共20分〕15.616.17.418.–1019.η1+c(η2-η1)〔或η2+c(η2-η1)〕，c為任意常數(shù)20.n-r21.–522.–223.124.三、計(jì)算題〔本大題共7小題，每題6分，共42分〕25.解〔1〕ABT==.〔2〕|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=.所以|4A|=64·〔-2〕=-12826.解==27.解AB=A+2B即〔A-2E〕B=A，而〔A-2E〕-1=所以B=(A-2E)-1A==28.解一所以α4=2α1+α2+α3，組合系數(shù)為〔2，1，1〕.解二考慮α4=*1α1+*2α2+*3α3，即方程組有唯一解〔2，1，1〕T，組合系數(shù)為〔2，1，1〕.29.解對(duì)矩陣A施行初等行變換A=B.〔1〕秩〔B〕=3，所以秩〔A〕=秩〔B〕=3.〔2〕由于A與B的列向量組有一樣的線性關(guān)系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。〔A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是〕30.解A的屬于特征值λ=1的2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為ξ1=〔2，-1，0〕T，ξ2=〔2，0，1〕T.經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得η1=，η2=.λ=-8的一個(gè)特征向量為ξ3=，經(jīng)單位化得η3=所求正交矩陣為T=.對(duì)角矩陣D=〔也可取T=.〕31.解f(*1，*2，*3)=〔*1+2*2-2*3〕2-2*22+4*2*3-7*32=〔*1+2*2-2*3〕2-2〔*2-*3〕2-5*32.設(shè)，即，因其系數(shù)矩陣C=可逆，故此線性變換滿秩。經(jīng)此變換即得f(*/r/