【高考數(shù)學(xué)】非對稱韋達(dá)定理的處理技巧

mt對稱的“韋達(dá)定理”的突破技巧在一元二次方程ax2+bx+c-0中，若A>0，設(shè)它的兩個根分別為x,x12則有根與系數(shù)關(guān)系:x+x--b，xx-C，借此我們往往能夠利用韋達(dá)定理則有根與系數(shù)關(guān)系:12a^/3b2c^/3b2c—3b4(y+y來快速處理Ix2+x2，丄+來快速處理I2xx12遇到涉及x,x的不同系數(shù)的代數(shù)式的應(yīng)算，比如求Z，九x+"之類的結(jié)構(gòu)，12x12就相對較難地轉(zhuǎn)化到應(yīng)用韋達(dá)定理來處理了。特別是在圓錐曲線問題中，我們聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，消去x或y，也得到一個一元二次方程，我們就會面臨著同樣的困難，我們把這種九x+"中x,x的系數(shù)不對等的情況，稱為“非對稱韋達(dá)”接下來，我們來談?wù)劤Ｒ姷耐黄品绞健IA1.函數(shù)1.函數(shù)f(x)=3ax3-ax2+x+1在x,x處有極值，且1<—<5，求a的取值范圍;TOC\o"1-5"\h\z12x1解：令廣(X)=ax2一2ax+1=解：令廣(X)=ax2一2ax+1=0，1212a得x+x-(t+1)x，xx-tx2，211121得x+x-(t+1)x，xx-tx2，211121x211(x+x)2(t+1)2亠/所以_1-，即4a-t+-+2，因?yàn)?<t<5，解得1<a<—。xxt21我們可以通過配湊成正常的韋達(dá)定理處理結(jié)構(gòu)來。點(diǎn)評：像這種非對稱的結(jié)構(gòu)x-tx我們可以通過配湊成正常的韋達(dá)定理處理結(jié)構(gòu)來。~1x=tx，得x+x=(t+1)x，21211—tx2x=tx，得x+x=(t+1)x，21211—tx2，1xx12x2x2y22.設(shè)直線l過點(diǎn)P(0,3),和橢圓=+=1順次交于A、B兩點(diǎn)，則的取值范圍為.94(+54kx+45=0(*)解析：設(shè)直線l的方程為：y-kx+54kx+45=0(*)第1頁共15頁xxxxxx第第23頁共15頁x2y2分別與橢圓g+了二1聯(lián)立方程組’同時考慮到X1-3,x2豐3，解得：M（坐上m^,丄虬）、x2y2分別與橢圓g+了二1聯(lián)立方程組’同時考慮到X1-3,x2豐3，解得：M（坐上m^,丄虬）、N（辿!二型，—）。80+m280+m220+m220+m2（方法一）當(dāng)x豐x時，直線MN方程為:1220my+20+m240m20m+80+m220+m23(m2-20)x—20+m23(80—m2)3(m2—20)80+m220+m2令y=0，解得：x=1。此時必過點(diǎn)d（1，0）；當(dāng)x二x時，直線MN方程為：x二1，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）。12所以直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)D（1，0）。方法二：若x二x，則由醤四=害0及m>0，得m二2屁,280+m220+m2此時直線MN的方程為x=1，過點(diǎn)D（1，0）。若x1豐x2，則m豐力10，直線MD的斜率kMD40m80+m2240—3m21

—180+m210m40—m2'20m20+m210m直線ND的斜率knd3m2—6040—m2—120+m2得k二k，所以直線MN過D點(diǎn)。MDNDB的方程為y二一?（x—a［②x一a從而有y2=b21-，代入③得:因此，直線MN必過x軸上的點(diǎn)（1,0）。（同類）4.【解析】設(shè)A（x,y）,B（x,—y），又知A（—a,0），A（a,0），則11111-直線AA的方程為y二■（x+a）①直線A1x+a21由①②得y2=―y1C2—a2）③x2—a21由點(diǎn)A（x，y）在橢圓上，故可得叮+斗=1，11a2b2x2y2-=1(x<-a,y<0)a2b2=4IxJIyj'即，因?yàn)辄c(diǎn)A,A均在橢圓上，所以b2x21x21-―^=b2x2(、.x21-T1(a2J2Ia2丿x2y2=x2y21122由t1豐t2，知x1豐x2，所以x12+x2=a2。從而y12+y2=b2'因而t12+于a2+b2為定值;(同類)5.解析：(1)由MO丄ON得|OM|2+|ON|2=|MN|2,|MN|xl=|OM|x|ON|(2)證明：設(shè)A'(x,y)，由矩形ABCD與矩形ABCD的面積相等，得4xy22…又|OMF+|ON|2二|MN|2>2|OM卜ON二2|MN|,得|MN|>2'當(dāng)且僅當(dāng)OM\=\ON=1取得等號，SAMON=2>1'所以AMON的面積的最小值為1(2)設(shè)E(m,n)，由E,O,D三點(diǎn)共線，則D(-m,-n)AD則AE方程為：y=嚴(yán)(+J2)，由x=t，得Mt,m+42f(t+同理AD方程為:y=——m+\!2一一(t+由MO丄ON，得OM-ON=12+C+邁)即t2—(x十近)，由x=t，得Nt,\m+*2-m+\/2'=0，又E(m,n)在橢圓上，所以m+n2=1,所以t2—2=0，即t2—2x2t-2=0，解得t=2土2。且經(jīng)過擬一駕0〕、日口』卜C且經(jīng)過擬一駕0〕、日口』卜C題11.1在平面5世標(biāo)系2$橢圍召+懾=Un>b>0)的離心率為凈兩個頂點(diǎn)分別溝期口0)，阻g點(diǎn),訂［1』)滿足3a\r=過恵」訂斜率趴為k-(k/Q)的直線交橢岡E于GD網(wǎng)說?點(diǎn)C在X軸I■方,(1)求橢風(fēng)E的方棵：⑵若RQ丄求Jt的值；⑶記丸線AD.BC的魁率分別為赴-fea,求舐半再定直’題11.2,2o在平面直角坐標(biāo)系rOy中r已知帶岡C:^+^=1(a>//>0)/q購圜心率是罟*兩，頂點(diǎn)分別為崗(—毗卜血化」小過點(diǎn)U(lf0)￡的直線走橢劇于\K.V兩點(diǎn)，直線A.M與.VZ,的鑾點(diǎn)為G.(1)求實(shí)Zb的值:⑵為直線"的斜率為1時.若橢圜上恰冇兩個點(diǎn)戸,p2使得和△代的耳的面積為?求厲的川値范圉;⑶求止：點(diǎn)a在-箓鋌吒絨上.題11.3已知榊側(cè)日的中心住坐標(biāo)原點(diǎn),億點(diǎn)在坐飯軸.1，⑴求開岡E的方科b⑵若魚線「：對=吃-D)勺捕圈E交于rV,..V兩憶求證：直線AM'1直紅/r/