球和各種幾何體切、接問題專題一

.PAGE.球與各種幾何體切、接問題近幾年全國高考命題來看,這部分內(nèi)容以選擇題、填空題為主,大題很少見。首先明確定義1：若一個多面體的各頂點都在一個球的球面上,則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體,這個球是這個多面體的外接球。定義2：若一個多面體的各面都與一個球的球面相切,則稱這個多面體是這個球的外切多面體,這個球是這個多面體的內(nèi)切球.一、球與柱體的切接規(guī)則的柱體,如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進行充分的組合,以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進行結(jié)合,通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系,然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.球與正方體〔1正方體的內(nèi)切球,如圖1.位置關(guān)系：正方體的六個面都與一個球都相切,正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長為,球的半徑為,這時有.〔2正方體的棱切球,如圖2.位置關(guān)系：正方體的十二條棱與球面相切,正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長為,球的半徑為,這時有.〔3正方體的外接球,如圖3.位置關(guān)系：正方體的八個頂點在同一個球面上；正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長為,球的半徑為,這時有.例1棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上,分別是棱,的中點,則直線被球截得的線段長為〔A． B． C． D．思路分析：由題意推出,球為正方體的外接球.平面截面所得圓面的半徑得知直線被球截得的線段就是球的截面圓的直徑.球與長方體例2自半徑為的球面上一點,引球的三條兩兩垂直的弦,求的值．結(jié)論：長方體的外接球直徑是長方體的對角線．例3〔全國卷I高考題已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4,體積為16,則這個球的表面積為〔.A.B.C.D.思路分析：正四棱柱也是長方體.由長方體的體積16及高4可以求出長方體的底面邊長為2,可得長方體的長、寬、高分別為2,2,4,長方體內(nèi)接于球,它的體對角線正好為球的直徑.球與正棱柱〔1結(jié)論1：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點．〔2結(jié)論2：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點．二、球與錐體的切接規(guī)則的錐體,如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進行充分的組合,以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進行結(jié)合,通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系,然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.1、正四面體與球的切接問題〔1正四面體的內(nèi)切球,如圖4.位置關(guān)系：正四面體的四個面都與一個球相切,正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長為,高為；球的半徑為,這時有；例4正四面體的棱長為a,則其內(nèi)切球的半徑為______．[解析]如圖正四面體A－BCD的中心為O,即內(nèi)切球球心,內(nèi)切球半徑R即為O到正四面體各面的距離．∵AB＝a,∴正四面體的高h＝eq\f<\r<6>,3>a,又VA－BCD＝4VO－BCD,〔∴R＝eq\f<1,4>h＝eq\f<\r<6>,12>a.〔2正四面體的外接球,位置關(guān)系：正四面體的四個頂點都在一個球面上,正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長為,高為；球的半徑為,這時有；〔可用正四面體高減去內(nèi)切球的半徑得到例5求棱長為1的正四面體外接球的半徑。設(shè)SO1是正四面體S－ABC的高,外接球的球心O在SO1上,設(shè)外接球半徑為R,AO1＝r,則在△ABC中,用解直角三角形知識得r＝eq\f<\r<3>,3>,從而SO1＝eq\r<SA2－AO\o\al<2,1>>＝eq\r<1－\f<1,3>>＝eq\r<\f<2,3>>,在Rt△AOO1中,由勾股定理得R2＝<eq\r<\f<2,3>>－R>2＋<eq\f<\r<3>,3>>2,解得R＝eq\f<\r<6>,4>.結(jié)論：正四面體的高線與底面的交點是△ABC的中心且其高線通過球心,這是構(gòu)造直角三角形解題的依據(jù)．此題關(guān)鍵是確定外接球的球心的位置,突破這一點此問題便迎刃而解,正四面體外接球的半徑是正四面體高的eq\f<3,4>,內(nèi)切球的半徑是正四面體高的eq\f<1,4>.〔3正四面體的棱切球,位置關(guān)系：正四面體的六條棱與球面相切,正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長為,高為；球的半徑為,這時有例6例7設(shè)正四面體中,第一個球是它的內(nèi)切球,第二個球是它的外接球,求這兩個球的表面積之比及體積之比．思路分析：此題求解的第一個關(guān)鍵是搞清兩個球的半徑與正四面體的關(guān)系,第二個關(guān)鍵是兩個球的半徑之間的關(guān)系,依靠體積分割的方法來解決的．〔4為什么正四面體外接球和內(nèi)切球心是同一個點？2.其它棱錐與球的切接問題〔1球與正棱錐的組合,常見的有兩類,一是球為三棱錐的外接球,此時三棱錐的各個頂點在球面上,根據(jù)截面圖的特點,可以構(gòu)造直角三角形進行求解.二是球為正棱錐的內(nèi)切球,例如正三棱錐的內(nèi)切球,球與正三棱錐四個面相切,球心到四個面的距離相等,都為球半徑．這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離,故可采用等體積法解決,即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.〔2球與一些特殊的棱錐進行組合,一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì),可綜合利用截面法、補形法等進行求解.結(jié)論1：正棱錐的外接球的球心在其高上,具體位置可通過計算找到．結(jié)論2：若棱錐的頂點可構(gòu)成共斜邊的直角三角形,則公共斜邊的中點就是其外接球的球心．長方體或正方體的外接球的球心是在其體對角線的中點處．以下是常見的、基本的幾何體補成正方體或長方體的途徑與方法．途徑1：正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐、四個面都是是直角三角形的三棱錐都分別可構(gòu)造正方體．途徑2：同一個頂點上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐都分別可構(gòu)造長方體和正方體．途徑3：若已知棱錐含有線面垂直關(guān)系,則可將棱錐補成長方體或正方體．途徑4：若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直,則可將三棱錐補成長方體或正方體．例8正三棱錐的高為1,底面邊長為,正三棱錐內(nèi)有一個球與其四個面相切．求球的表面積與體積．思路分析：此題求解的關(guān)鍵是搞清球的半徑與正三棱錐的高及底面邊長的關(guān)系,由等體積法可得：,得到．例9〔XX高考題若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,且側(cè)棱長均為,則其外接球的表面積是.思路分析：此題用一般解法,需要作出棱錐的高,然后再設(shè)出球心,利用直角三角形計算球的半徑.而作為填空題,我們更想使用較為便捷的方法.三條側(cè)棱兩兩垂直,使我們很快聯(lián)想到長方體的一個角,馬上構(gòu)造長方體,由側(cè)棱長均相等,所以可構(gòu)造正方體模型.點評：此題突出構(gòu)造法的使用,以及滲透利用分割補形的方法解決立體幾何中計算問題,這是解決幾何體與球切接問題常用的方法．例10[20XX新課標(biāo)高考卷]已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上,是邊長為1的正三角形,是球的直徑,且；則此棱錐的體積為〔A.B.C.D.思路分析：的外接圓是球面的一個小圓,由已知可得其半徑,從而得到點到面的距離.由為球的直徑點到面的距離即可求得棱錐的體積.練習(xí)：3、由性質(zhì)確定球心利用球心O與截面圓圓心O1的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點的連線垂直于弦的性質(zhì),確定球心．4、內(nèi)切球問題若一個多面體的各面都與一個球的球面相切,則稱這個多面體是這個球的外切多面體,這個球是這個多面體的內(nèi)切球。1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等,外接球球心到多面體各頂點的距離均相等。2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上,但不重合。4、基本方法：構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理。5、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法。三、球與球相切問題對于球與球的相切組合成復(fù)雜的幾何體問題,要根據(jù)豐富的空間想象力,通過準(zhǔn)確確定各個小球的球心的位置,或者巧借截面圖等方法,將空間問題轉(zhuǎn)化平面問題求解.例11思路分析：結(jié)合圖形,的方程.例12把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上,使它兩兩外切,然后在它們上面放上第四個球,使它與前三個都相切,求第四個球的最高點與桌面的距離．思路分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體,由于四個球半徑相等,故四個球一定組成正四面體的四個頂點且正四面體的棱長為兩球半徑之和2．四、球與幾何體的各條棱相切問題球與幾何體的各條棱相切問題,關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì),達到明確球心的位置為目的,然后通過構(gòu)造直角三角形進行轉(zhuǎn)換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一半：.例13把一個皮球放入如圖10所示的由8根長均為20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi),使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點,則皮球的半徑為〔 A．l0cm B．10cm C．10cm D．30cm思路分析：根據(jù)題意球心O在圖中AP上,過O作BP的垂線ON垂足為N,ON=R,OM=R,由各個棱都為20,得到AM=10,BP=20,BM=10,AB=,設(shè),在BPM中,由,得.在PAM中,由,得.在ABP中得,,在ONP中得,,從而,.在OAM中,由,建立方程即可得解.球與旋轉(zhuǎn)體切接問題首先畫出球及其它旋轉(zhuǎn)體的公共軸截面,然后尋找?guī)缀误w與幾何體幾