數(shù)列知識(shí)點(diǎn)歸納及例題分析

《數(shù)列》知識(shí)點(diǎn)歸納及例題分析一、數(shù)列的概念：歸納通項(xiàng)公式：注重經(jīng)驗(yàn)的積累例1.歸納下列數(shù)列的通項(xiàng)公式：(1)0，-3,8，-15,24，.......(2)21,211,2111,21111,......3,1,7,9,......210172.an與Sn的關(guān)系：ana1,(n1)SnSn1,(n2)注意：強(qiáng)調(diào)n1,n2分開(kāi)，注意下標(biāo)；an與Sn之間的互化（求通項(xiàng)）例2：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和S3,n1，求an.nn21,n2數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：（1）單調(diào)性的判定與證明： 定義法； 函數(shù)單調(diào)性法（2）最大（小）項(xiàng)問(wèn)題：?jiǎn)握{(diào)性法；圖像法（3）數(shù)列的周期性：（注意與函數(shù)周期性的聯(lián)系）2an,0an13，求a2017.2例3：已知數(shù)列{an}滿足an11，a12anan151,2二、等差數(shù)列與等比數(shù)列等比數(shù)列與等差數(shù)列基本性質(zhì)對(duì)比（類(lèi)比的思想，比較相同之處和不同之處）等差數(shù)列等比數(shù)列an1q（q是常數(shù)，且q0，an定義an1and（d是常數(shù)n1,2,3，?）n1,2,3，?）aan1dana1qn1通項(xiàng)n1公式推廣：anamnmd推廣：anamqnm求和Snna1nn1na1anna1(q1)2d2Sna1qna1anq(q1)公式1q11q中項(xiàng)Aankank（n,kN*,nk0）Gankank（n,kN*,nk0）公式2重要1、等和性：amanaras1、等積性：amanaras性質(zhì)（m,n,r,sN*,mnrs）（m,n,r,sN*,mnrs）2、（第二通項(xiàng)公式）anam(nm)d2、（第二通項(xiàng)公式）anamqnmanamnman及d及qnmam3、從等差數(shù)列中抽取等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列。3、從等比數(shù)列中抽取等距離的項(xiàng)組成的如：a1,a4,a7,a10,（下標(biāo)成等差數(shù)列）數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列。如：a1,a4,a7,a10,（下標(biāo)成等差數(shù)列）4、sn,s2nsn,s3ns2n成等差數(shù)列4、sn,s2n5、{Sn}是等差數(shù)列sn,s3ns2n成等比數(shù)列。n（僅當(dāng)公比q1且n為偶數(shù)時(shí)，不成立）1.定義：an－an－1＝d(n≥2){an}是1.定義：anq(n≥2){an}是等比數(shù)等差數(shù)列an12.等差中項(xiàng)：an＋1＝an＋an＋2{an}是列2等差數(shù)列3.通項(xiàng)公式：anknp（k,p為常數(shù)）等價(jià){an}是等差數(shù)列條件An2Bn（A,B為常4.前n項(xiàng)和：Sn數(shù)）{an}是等差數(shù)列

等比中項(xiàng)：an21an2an22(an0){an}是等比數(shù)列3.通項(xiàng)公式：ancqn（c,q0且為常數(shù)）{an}是等比數(shù)列4.前n項(xiàng)和：Snkqnk（k,q0且為常數(shù)）{an}是非常數(shù)列的等比數(shù)列聯(lián)系真數(shù)等比，對(duì)數(shù)等差；指數(shù)等差，冪值等比。例題：31例4（等差數(shù)列的判定或證明）：已知數(shù)列{an}中，a1＝5，an＝2－an－1(n≥2，n*1*∈N)，數(shù)列{bn}滿足bn＝an－1(n∈N)．(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由．(1)證明1(*1nn∴n≥2時(shí)，bn－bn－1＝1－1an－1－1an－111＝2－1－an－1－1an－1－1an－1 1an－1－1－an－1－1＝1.5∴數(shù)列{bn}是以－2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．7 1 2解由(1)知，bn＝n－2，則an＝1＋bn＝1＋2n－7，2設(shè)函數(shù)f(x)＝1＋2x－7，7 7易知f(x)在區(qū)間－∞，2和2，＋∞內(nèi)為減函數(shù)．∴當(dāng)n＝3時(shí)，an取得最小值－1；當(dāng)n＝4時(shí)，an取得最大值3.例5（等差數(shù)列的基本量的計(jì)算）設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S6＋15＝0.若S5＝5，求S6及a1求d的取值范圍．－15解(1)由題意知S6＝S5＝－3，a6＝S6－S5＝－8.5a1＋10d＝5，所以a1＋5d＝－8.解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.方法一∵S5S6＋15＝0，(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a21＋9da1＋10d2＋1＝0.因?yàn)殛P(guān)于a1的一元二次方程有解，所以＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0，解得d≤－2 2或d≥2 2.方法二 ∵S5S6＋15＝0，(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，9da1＋10d2＋1＝0.故(4a1＋9d)2＝d2－8.所以d2≥8.故d的取值范圍為d≤－2 2或d≥2 2.例6（前n項(xiàng)和及綜合應(yīng)用）(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝20，前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝4n－25，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和．解方法一∵a1＝20，S10＝S15，10×915×145∴10×20＋2d＝15×20＋2d，∴d＝－3.65an＝20＋(n－1)×－3＝－3n＋3.a13＝0，即當(dāng)n≤12時(shí)，an>0，n≥14時(shí)，an<0，5nSn取得最大值，且最大值為S13S1212×11－5∴當(dāng)＝12或13時(shí)，＝＝12×20＋2×3130.方法二5同方法一求得d＝－.35n－nnn－15521252523125∴S＝n＋·－＝－6n＋n＝－62＋24.20236∵n∈N*，∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130.∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.所以數(shù)列{an}是以－21為首項(xiàng)，以4為公差的遞增的等差數(shù)列．a(chǎn)n＝n－，①425<0令n＋－≥，②41250n1n1n即數(shù)列{|an由①得<64；由②得≥54，所以＝6.|}的前6項(xiàng)是以21為首項(xiàng)，公差為－4的等差數(shù)列，從第7項(xiàng)起以后各項(xiàng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，而|a7|＝a7＝4×7－24＝3.設(shè){|an|}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，則n＋nn－1×－4n≤6212T＝nn－n－6n－7n≥＋36＋×47662－2n2＋23nn≤6，2n2－23n＋132n≥7.例7已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為3Sn=7n+45例8等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為{Sn},{Tn}，且Tnn-3,則使得an3.（先求an/bnn=5,13,35為正整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是）bn例9已知數(shù)列an中，a11，當(dāng)n≥2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足an2Sn2，則31n2Sn11數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an32n≥2214n例10在數(shù)列{}中，a12，an1anln(112lnn.ann)，則an例11設(shè)3b是1a和1a的等比中項(xiàng)，則ab的最大值為2.+3例12若數(shù)列1,2cosθ,22cos2θ,23cos3θ,?,前100項(xiàng)之和為0,則θ的值為（2k2,kZ）3例13△ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列,三邊成等比數(shù)列,則三角形的形狀為_(kāi)_等邊三角形_三、數(shù)列求和：（1）倒序相加法如：已知函數(shù)f(x)112mx(xR)，求Smf()f()Lf()_________42mmm（2）錯(cuò)位相減法：anbn其中{an}是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列。（3）裂項(xiàng)相消法：形如1111)anCB(AnC(AnB)(AnC)AnB（4）拆項(xiàng)分組法：形如anbncn，如：an2n3n，an6n5(n為奇數(shù))(1)n1n22n，an(n為偶數(shù))練習(xí)：1、數(shù)列1，1，113，···，11的前n項(xiàng)和為（B）1222nA．2n1B．2nC．n2D．n2nn1n12n12、數(shù)列11,31,51,71,,前n項(xiàng)和Sn．248163、數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an1，則S＝_________________。n1n1004、設(shè)Sn111L1，且SnSn13，則n．62612nn145、設(shè)nN*，關(guān)于n的函數(shù)f(n)(1)n1n2，若anf(n)f(n1)，則數(shù)列{an}前100項(xiàng)的和a1a2a3a100________．答案：100．解答：anf(n)f(n1)(1)n1n2(1)n(n1)2(1)n[(n1)2n2]，(1)n(2n1)，所以a1a2a3a100(3)5(7)9(199)2012 50 100．四、求數(shù)列通項(xiàng)式（1）公式法：an1an21，2anan1anan1，an1an等2an1（2）累加法：形如anan1f(n)(n2)或anan1f(n)，且f(n)不為常數(shù)（3）累乘法：形如anan1f(n)(n2)且f(n)不為常數(shù)（4）待定系數(shù)法：形如an1kanb,(k0,1,其中a1a)型（）轉(zhuǎn)換法：已知遞推關(guān)系f(S,a)0Sana1,(n1)5nnnSnSn1,(n2)解題思路：利用ana1,(n1)SnSn1,(n2)變化（1）已知f(Sn1,an1)0；（2）已知f(Sn,SnSn1)06）猜想歸納法（慎用）練習(xí)：考點(diǎn)三：數(shù)列的通項(xiàng)式1、在數(shù)列an中，前n項(xiàng)和Sn4n2n8，則通項(xiàng)公式an_______________3、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn32n，則an5n1_______________ann22n14、已知數(shù)列an，a12，an1an3n2，則an3n2n,(nN*)25、在數(shù)列an中，a12,an1anlg11（nN*），則an＝.n6、如果數(shù)列an滿足a1，an15anan1(nN)，則3anan________________7、{an}滿足a11，anan113an1，則an=_______23n8、已知數(shù)列an的首項(xiàng)a12，且an12an1，則通項(xiàng)公式an2n119、若數(shù)列an滿足a12,an13an2nN*，則通項(xiàng)公式an10、如果數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn3，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是（Dan2an3）A．a(chǎn)n2(n2n1)B．a(chǎn)n32nC．a(chǎn)n3n1D．a(chǎn)n23n五、數(shù)列應(yīng)用題：等差數(shù)列模型1、一種設(shè)備的價(jià)格為 450000元，假設(shè)維護(hù)費(fèi)第一年為 1000元，以后每年增加1000元，當(dāng)此設(shè)備的平均費(fèi)用為最小時(shí)為最佳更新年限，那么此設(shè)備的最佳更新年限為 。30年2、在一次人才招聘會(huì)上，有甲、乙兩家公司分別公布它們的工資標(biāo)準(zhǔn)：甲公司：第一年月工資數(shù)為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元；乙公司：第一年月工資數(shù)為2000元，以后每年月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增5%.設(shè)某人年初同時(shí)被甲、乙公司錄取，試問(wèn)：1）若該人打算連續(xù)工作n年，則在第n年的月工資收入分別是多少元2）若該人打算連續(xù)工作10年，且只考慮工資收入的總量，該人應(yīng)該選擇哪家公司為什么(精確到1元)解：（1）設(shè)在甲公司第n年的工資收入為an元，在乙公司第n年的工資收入為bn元?jiǎng)tan230n1270，bn20001.05n1（2）設(shè)工作10年在甲公司的總收入為甲，在甲公司的總收入為乙SSS甲(10150045230)12304200S乙2000(11.05n)1230186911.05由于甲乙，所以該人應(yīng)該選擇甲公司.SS等比數(shù)列模型例 從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)， 并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)計(jì)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上一年度減少 1，5本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為 400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上一年增加 1。4（1）設(shè)n年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為 an萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為 bn萬(wàn)元，寫(xiě)出an、bn的表達(dá)式；2）至少經(jīng)過(guò)幾年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入（精確到整數(shù)）參考解答：2n1（1）an80080011800118001155542n1n800144455540001512n1bn4004001114400140014442n1n4001441600555514（2）解不等式bnan，得n5，至少經(jīng)過(guò)5年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入.六、2017年高考題一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.(2017年新課標(biāo)Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a4a524，S648，則{an}的公差為（）A.1B.2C.4D.82.(2017年新課標(biāo)Ⅱ卷理)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）A.1盞

B.3盞

C.5盞

D.9盞3.(2017

年新課標(biāo)Ⅲ卷理

)

等差數(shù)列

an

的首項(xiàng)為

1，公差不為

0．若a2,a3

,a6成等比數(shù)列，則

an

前6項(xiàng)的和為（

）A. 24

B. 3

C.3

D.84.(2017

年浙江卷)

已知等差數(shù)列

{an}

的公差為

d，前n項(xiàng)和為

Sn，則“d

0”是“

S4

S6

2S5

”的（

）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件5.(2017年新課標(biāo)Ⅰ)幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20,21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20,21,22，依此類(lèi)推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是（）A.440B.330C.220D.110二、填空題（將正確的答案填在題中橫線上）6.(2017年北京卷理)若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a2=_______.a1b11,a4b48，b27.(2017年江蘇卷)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，已知S37,S663，則a8=_______________．448.(2017年新課標(biāo)Ⅱ卷理)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a33，S410，n1．則k1Sk9.(2017年新課標(biāo)Ⅲ卷理)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a21,a1a33，則a4 __．三、解答題（應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）10.(2017年新課標(biāo)Ⅱ文)已知等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和為T(mén)n,a11,b11,a2b22.（1）若a3b35，求{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若T321，求S3.11.(2017年新課標(biāo)Ⅰ文)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S22,S36.（）求a的通項(xiàng)公式；（2）求Sn，并判斷Sn1,Sn,Sn2是否成等差數(shù)列。1n12.(2017年全國(guó)Ⅲ卷文)設(shè)數(shù)列an滿足a13a2?+2n1an2n（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列an的前n項(xiàng)和；2n113.(2017年天津卷文)已知{an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(n N*)，{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312,b3a42a1,S1111b4．（1）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和(nN*)．14.(2017年山東卷文)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1a26,a1a2a3.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）{bn}為各項(xiàng)非零等差數(shù)列,前n項(xiàng)和Sn,已知S2n1bnbn1,求數(shù)列bn前nan項(xiàng)和Tn15.(2017 年天津卷理)已知{an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(n N)，{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于 0，b2 b3 12,b3 a4 2a1，S11 11b4.