高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123 第2課時平面與平面垂直

立體幾何初步第一章立體幾何初步第一章1.2點、線、面之間的位置關(guān)系

第一章1.2點、線、面之間的位置關(guān)系第一章1.2.3空間中的垂直關(guān)系

第2課時平面與平面垂直第一章1.2.3空間中的垂直關(guān)系第一章課前自主預(yù)習(xí)方法警示探究課堂典例講練易錯疑難辨析課后強化作業(yè)思想方法技巧課前自主預(yù)習(xí)方法警示探究課堂典例講練課前自主預(yù)習(xí)課前自主預(yù)習(xí)建筑工地上，泥水匠砌墻時，為了保證墻面與地面垂直，泥水匠常常在較高處固定一條端點系有鉛錘的線，再沿著該線砌墻，如圖，這樣就能保證墻面與地面垂直.建筑工地上，泥水匠砌墻時，為了保證墻面與地面垂直，泥水匠常常1．平面與平面垂直的定義：如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直，就稱這___________________．平面α、β互相垂直，記作α⊥β.兩個平面互相垂直

1．平面與平面垂直的定義：兩個平面互相垂直2．兩個平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過_______________________，那么這兩個平面互相垂直．符號表示：___________________?α⊥β，如圖：另一個平面的一條垂線a⊥α，a?β

2．兩個平面垂直的判定定理：另一個平面的一條垂線a⊥α，a?3．兩個平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)_____________________，垂直于另一個平面．符號表示：________________________________________________________________________?BA⊥β，如圖：垂直于它們交線的直線α⊥β，α∩β＝CD，BA?α，BA⊥CD，B為垂足3．兩個平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面推論：如果兩個平面垂直，那么_____________________垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內(nèi)．過第一個平面內(nèi)的一點

過第一個平面內(nèi)的一點1．(2014·福建安溪八中高一期末測試)在空間四面體S－ABC中，SC⊥AB，AC⊥SC，且△ABC是銳角三角形，那么必有(

)A．平面SAC⊥平面SCBB．平面SAB⊥平面ABCC．平面SAC⊥平面SABD．平面SCB⊥平面ABC[答案]

D1．(2014·福建安溪八中高一期末測試)在空間四面體S－A[解析]

如圖，∵SC⊥AB，SC⊥AC，AB∩AC＝A，∴SC⊥平面ABC.∴平面SCB⊥平面ABC.[解析]如圖，2．設(shè)有直線m、n和平面α、β，則下列命題中正確的是(

)A．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βB．若m∥n，n⊥β，m?α，則α⊥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥βD．若m⊥n，α∩β＝m，n?α，則α⊥β[答案]

B2．設(shè)有直線m、n和平面α、β，則下列命題中正確的是()高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123第2課時平面與平面垂直3.如圖所示，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，則圖中互相垂直的平面有(

)A．2對B．4對C．3對D．5對3.如圖所示，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，則圖中互相[答案]

C[解析]

∵PA⊥平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面ABC.又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴平面PBC⊥平面PAB.高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123第2課時平面與平面垂直4．經(jīng)過平面α外一點和平面α內(nèi)一點與平面α垂直的平面有________個．[答案]

1個或無數(shù)[解析]

設(shè)平面外的點為A，平面內(nèi)的點為B，過點A作平面α的垂線l.若點B恰為垂足，則所有過AB的平面均與α垂直，此時有無數(shù)個平面與α垂直；若點B不是垂足，則l與點B確定惟一平面β滿足α⊥β.高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123第2課時平面與平面垂直5．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直線m⊥α，則直線m與n的位置關(guān)系是________．[答案]

平行[解析]

由題意知n⊥α，而m⊥α，∴m∥n.高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123第2課時平面與平面垂直6．如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，點P為DD1的中點．求證：平面PAC⊥平面BDD1.6．如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1

[解析]

∵長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，∴底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥AC，又DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1，∴平面PAC⊥平面BDD1.高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123第2課時平面與平面垂直課堂典例講練課堂典例講練 (2014·山東臨沂高一期末測試)如圖，在底面為正三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，點D是BC的中點，求證：平面AC1D⊥平面BCC1B1.面面垂直的判定 (2014·山東臨沂高一期末測試)如圖，在底面為正三角形[解析]

∵△ABC為正三角形，D為BC的中點，∴AD⊥BC.又∵CC1⊥底面ABC，AD?平面ABC，∴CC1⊥AD.又BC∩CC1＝C，∴AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面AC1D，∴平面AC1D⊥平面BCC1B1.[解析]∵△ABC為正三角形，D為BC的中點，三棱錐S－ABC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝60°，∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求證：平面ABC⊥平面SBC.三棱錐S－ABC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝60°，∠A高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123第2課時平面與平面垂直解法二：∵SA＝SB＝SC＝a，又∵∠ASB＝∠ASC＝60°，∴△ASB、△ASC都是等邊三角形．∴AB＝AC＝a.作AD⊥平面SBC于點D，∵AB＝AC＝AS，∴D為△SBC的外心．又∵△BSC是以BC為斜邊的直角三角形，∴D為BC的中點，故AD?平面ABC.∴平面ABC⊥平面SBC.解法二：∵SA＝SB＝SC＝a，

已知P是△ABC所在平面外的一點，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求證：BC⊥AC.[解析]

如圖，在平面PAC內(nèi)作AD⊥PC于點D，∵平面PAC⊥平面PBC，AD?平面PAC，且AD⊥PC，面面垂直的性質(zhì) 已知P是△ABC所在平面外的一點，且PA⊥平面ABC，平∴AD⊥平面PBC，又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，又AC?平面PAC，∴BC⊥AC.高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123第2課時平面與平面垂直[點評]已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將兩條直線中的一條放入一平面中，使另一條直線與該平面垂直，即由線面垂直得到線線垂直．在空間圖形中，高一級的垂直關(guān)系蘊含著低一級的垂直關(guān)系，通過本題可以看到：面面垂直?線面垂直?線線垂直．高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123第2課時平面與平面垂直已知三棱錐P－ABC中，側(cè)面PAC與底面ABC垂直，PA＝PB＝PC.(1)求證：AB⊥BC；(2)若AB＝BC，過點A作AF⊥PB于點F，連接CF，求證：平面PBD⊥平面AFC.已知三棱錐P－ABC中，側(cè)面PAC與底面ABC垂直，PA＝P[解析]

如圖所示：(1)取AC的中點D，連接PD、BD，∵PA＝PC，∴PD⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，∴PD⊥平面ABC，D為垂足．∵PA＝PB＝PC，∴DA＝DB＝DC，∴AC為△ABC的外接圓的直徑，故AB⊥BC.高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123第2課時平面與平面垂直(2)∵PA＝PC，AB＝BC，PB＝PB，∴△ABP≌△CBP.∵AF⊥PB，∴CF⊥PB，又AF∩CF＝F，∴PB⊥平面AFC，又PB?平面PBD，∴平面PBD⊥平面AFC.高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123第2課時平面與平面垂直易錯疑難辨析易錯疑難辨析

已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，如圖所示．證：PA⊥平面ABC.

已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，如圖所[錯解]

∵平面PAB⊥平面ABC，∴PA⊥AB，又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PA⊥AC，又AB∩AC＝A，∴PA⊥平面ABC.[辨析]錯解中，憑想當(dāng)然認為PA⊥AB，PA⊥AC，這是錯誤的．[錯解]∵平面PAB⊥平面ABC，[正解]如圖所示，在平面ABC內(nèi)任取一點D，作DF⊥AC于點F，作DG⊥AB于點G，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面PAC，又∵PA?平面PAC，∴PA⊥DF，同理可證：DG⊥PA，∵DF∩DG＝D，且DF?平面ABC，DG?平面ABC，∴PA⊥平面ABC.[正解]如圖所示，在平面ABC內(nèi)任取一點D，作DF⊥AC于思想方法技巧思想方法技巧轉(zhuǎn)化思想 如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結(jié)論．轉(zhuǎn)化思想[解析]

當(dāng)F為PC的中點時，滿足平面DEF⊥平面ABCD.取AD的中點G，PC的中點F，連接PG、BG、DE、EF、DF，則PG⊥AD，而平面PAD⊥面ABCD，[解析]當(dāng)F為PC的中點時，滿足平面DEF⊥平面ABCD.所以PG⊥平面ABCD.在△PBC中，EF∥PB；在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF?平面DEF，DE?平面DEF，EF∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB.又PG⊥平面ABCD，PG?平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123第2課時平面與平面垂直[點評]在證明兩平面垂直時，一般先從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決，如有兩平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直，故熟練掌握“線線垂直”、“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問題的關(guān)鍵．下圖是垂直相互轉(zhuǎn)化的示意圖．高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123第2課時平面與平面垂直高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123第2課時平面與平面垂直課后強化作業(yè)（點此鏈接）課后強化作業(yè)立體幾何初步第一章立體幾何初步第一章1.2點、線、面之間的位置關(guān)系

第一章1.2點、線、面之間的位置關(guān)系第一章1.2.3空間中的垂直關(guān)系

第2課時平面與平面垂直第一章1.2.3空間中的垂直關(guān)系第一章課前自主預(yù)習(xí)方法警示探究課堂典例講練易錯疑難辨析課后強化作業(yè)思想方法技巧課前自主預(yù)習(xí)方法警示探究課堂典例講練課前自主預(yù)習(xí)課前自主預(yù)習(xí)建筑工地上，泥水匠砌墻時，為了保證墻面與地面垂直，泥水匠常常在較高處固定一條端點系有鉛錘的線，再沿著該線砌墻，如圖，這樣就能保證墻面與地面垂直.建筑工地上，泥水匠砌墻時，為了保證墻面與地面垂直，泥水匠常常1．平面與平面垂直的定義：如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直，就稱這___________________．平面α、β互相垂直，記作α⊥β.兩個平面互相垂直

1．平面與平面垂直的定義：兩個平面互相垂直2．兩個平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過_______________________，那么這兩個平面互相垂直．符號表示：___________________?α⊥β，如圖：另一個平面的一條垂線a⊥α，a?β

2．兩個平面垂直的判定定理：另一個平面的一條垂線a⊥α，a?3．兩個平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)_____________________，垂直于另一個平面．符號表示：________________________________________________________________________?BA⊥β，如圖：垂直于它們交線的直線α⊥β，α∩β＝CD，BA?α，BA⊥CD，B為垂足3．兩個平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面推論：如果兩個平面垂直，那么_____________________垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內(nèi)．過第一個平面內(nèi)的一點

過第一個平面內(nèi)的一點1．(2014·福建安溪八中高一期末測試)在空間四面體S－ABC中，SC⊥AB，AC⊥SC，且△ABC是銳角三角形，那么必有(

)A．平面SAC⊥平面SCBB．平面SAB⊥平面ABCC．平面SAC⊥平面SABD．平面SCB⊥平面ABC[答案]

D1．(2014·福建安溪八中高一期末測試)在空間四面體S－A[解析]

如圖，∵SC⊥AB，SC⊥AC，AB∩AC＝A，∴SC⊥平面ABC.∴平面SCB⊥平面ABC.[解析]如圖，2．設(shè)有直線m、n和平面α、β，則下列命題中正確的是(

)A．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βB．若m∥n，n⊥β，m?α，則α⊥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥βD．若m⊥n，α∩β＝m，n?α，則α⊥β[答案]

B2．設(shè)有直線m、n和平面α、β，則下列命題中正確的是()高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123第2課時平面與平面垂直3.如圖所示，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，則圖中互相垂直的平面有(

)A．2對B．4對C．3對D．5對3.如圖所示，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，則圖中互相[答案]

C[解析]

∵PA⊥平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面ABC.又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴平面PBC⊥平面PAB.高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123第2課時平面與平面垂直4．經(jīng)過平面α外一點和平面α內(nèi)一點與平面α垂直的平面有________個．[答案]

1個或無數(shù)[解析]

設(shè)平面外的點為A，平面內(nèi)的點為B，過點A作平面α的垂線l.若點B恰為垂足，則所有過AB的平面均與α垂直，此時有無數(shù)個平面與α垂直；若點B不是垂足，則l與點B確定惟一平面β滿足α⊥β.高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123第2課時平面與平面垂直5．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直線m⊥α，則直線m與n的位置關(guān)系是________．[答案]

平行[解析]

由題意知n⊥α，而m⊥α，∴m∥n.高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123第2課時平面與平面垂直6．如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，點P為DD1的中點．求證：平面PAC⊥平面BDD1.6．如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1

[解析]

∵長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，∴底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥AC，又DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1，∴平面PAC⊥平面BDD1.高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123第2課時平面與平面垂直課堂典例講練課堂典例講練 (2014·山東臨沂高一期末測試)如圖，在底面為正三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，點D是BC的中點，求證：平面AC1D⊥平面BCC1B1.面面垂直的判定 (2014·山東臨沂高一期末測試)如圖，在底面為正三角形[解析]

∵△ABC為正三角形，D為BC的中點，∴AD⊥BC.又∵CC1⊥底面ABC，AD?平面ABC，∴CC1⊥AD.又BC∩CC1＝C，∴AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面AC1D，∴平面AC1D⊥平面BCC1B1.[解析]∵△ABC為正三角形，D為BC的中點，三棱錐S－ABC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝60°，∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求證：平面ABC⊥平面SBC.三棱錐S－ABC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝60°，∠A高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123第2課時平面與平面垂直解法二：∵SA＝SB＝SC＝a，又∵∠ASB＝∠ASC＝60°，∴△ASB、△ASC都是等邊三角形．∴AB＝AC＝a.作AD⊥平面SBC于點D，∵AB＝AC＝AS，∴D為△SBC的外心．又∵△BSC是以BC為斜邊的直角三角形，∴D為BC的中點，故AD?平面ABC.∴平面ABC⊥平面SBC.解法二：∵SA＝SB＝SC＝a，

已知P是△ABC所在平面外的一點，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求證：BC⊥AC.[解析]

如圖，在平面PAC內(nèi)作AD⊥PC于點D，∵平面PAC⊥平面PBC，AD?平面PAC，且AD⊥PC，面面垂直的性質(zhì) 已知P是△ABC所在平面外的一點，且PA⊥平面ABC，平∴AD⊥平面PBC，又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，又AC?平面PAC，∴BC⊥AC.高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123第2課時平面與平面垂直[點評]已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將兩條直線中的一條放入一平面中，使另一條直線與該平面垂直，即由線面垂直得到線線垂直．在空間圖形中，高一級的垂直關(guān)系蘊含著低一級的垂直關(guān)系，通過本題可以看到：面面垂直?線面垂直?線線垂直．高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123第2課時平面與平面垂直已知三棱錐P－ABC中，側(cè)面PAC與底面ABC垂直，PA＝PB＝PC.(1)求證：AB⊥BC；(2)若AB＝BC，過點A作AF⊥PB于點F，連接CF，求證：平面PBD⊥平面AFC.已知三棱錐P－ABC中，側(cè)面PAC與底面ABC垂直，PA＝P[解析]

如圖所示：(1)取AC的中點D，連接PD、BD，∵PA＝PC，∴PD⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，∴PD⊥平面ABC，D為垂足．∵PA＝PB＝PC，∴DA＝DB＝DC，∴AC為△ABC的外接圓的直徑，故AB⊥BC.高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123第2課時平面與平面垂直(2)∵PA＝PC，AB＝BC，PB＝PB，∴△ABP≌△CBP.∵AF⊥PB，∴CF⊥PB，又AF∩CF＝F，∴PB⊥平面AFC，又PB?平面PBD，∴平面PBD⊥平面AFC.高中數(shù)學(xué)人教B版必修2配套課件：123第2課時平面與平面垂直易錯疑難辨析易錯疑難辨析

已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，如圖所示．證：PA⊥平面ABC.

已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，如圖所[錯解]

∵平面PAB⊥平面ABC，∴PA⊥AB，又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PA⊥AC，又AB∩AC＝A