無(wú)中生有長(zhǎng)方體 巧解一類立體題

無(wú)中生有長(zhǎng)方體巧解一類立體題摘要：長(zhǎng)方體內(nèi)蘊(yùn)涵著豐富的點(diǎn)、線、面的相等、平行、垂直等關(guān)系，構(gòu)造對(duì)稱，是研究線面關(guān)系、特殊幾何體的一個(gè)重要載體，亦是展開(kāi)空間想象的重要依托。本文將通過(guò)近年來(lái)部分高考試題中外接球的問(wèn)題談一談巧建長(zhǎng)方體的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：長(zhǎng)方體；正方體；外接球中圖分類號(hào)：G622文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B文章編號(hào)：1002-7661〔2022〕09-219-01眾所周知，長(zhǎng)方體因其構(gòu)造對(duì)稱，各元素之間具有相等、平行、垂直等關(guān)系，內(nèi)涵豐富，位居立體幾何中的根本幾何體首位，是研究線面關(guān)系、特殊幾何體的一個(gè)重要載體，亦是展開(kāi)空間想象的重要依托。?普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)?中對(duì)立體幾何初步的學(xué)習(xí)提出了根本要求：“在立體幾何初步部分，學(xué)生將先從對(duì)空間幾何體的整體觀察入手，認(rèn)識(shí)空間圖形；再以長(zhǎng)方體為載體，直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；……。〞有關(guān)外接球的立體幾何問(wèn)題是近年各省高考試題的重難點(diǎn)之一，本文將通過(guò)近年來(lái)部分高考試題中外接球的問(wèn)題談一談巧建長(zhǎng)方體的應(yīng)用。例1：〔2022年遼寧卷〕正三棱錐P-ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為的球面上，假設(shè)PA，PB，PC兩兩互相垂直，那么球心到截面ABC的間隔為_(kāi)_______。解析：遇到“正棱錐中PA，PB，PC兩兩互相垂直〞的環(huán)境，易可構(gòu)造正方體如圖1，因正三棱錐P-ABC的外接球與該正方體的外接球?yàn)橥粋€(gè)球，所以線段PD為球直徑，球心為線段PD中點(diǎn)O，由正方體的性質(zhì)可得P到平面ABC的間隔為線段PD的，O到平面ABC的間隔為線段PD的。此空應(yīng)填：長(zhǎng)方體的一個(gè)角即是PA，PB，PC兩兩互相垂直的環(huán)境，不僅如此正方體模型還可“包容〞正四面體環(huán)境，如以以下圖2：其中正四面體鑲嵌于正方體之中，其外接球?yàn)橥粋€(gè)，正四面體棱長(zhǎng)，那么對(duì)應(yīng)正方體的棱長(zhǎng)為，正方體的體對(duì)角線為，所以球半徑。依此方法可以輕松解決有關(guān)球內(nèi)接正四面體的問(wèn)題。例2：〔2022年山東高考題〕在等腰梯形中，，，為的中點(diǎn)，將與分布沿、向上折起，使、重合于點(diǎn)，那么三棱錐的外接球的體積為〔〕.解析：不難發(fā)現(xiàn)題目中的“垂直〞條件很是豐富，將題目中的三棱錐復(fù)原于長(zhǎng)方體〔正方體〕中如以以下圖：由題意知，此正方體的棱長(zhǎng)為1，球的半徑為：體積為：，選A例4：〔2022全國(guó)卷1理數(shù)〕在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，假設(shè)AB=CD=2，那么四面體ABCD的體積的最大值為〔〕〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕解析：仔細(xì)分析題意，線面的垂直、平行關(guān)系雖早已不見(jiàn)蹤影，但條件“AB=CD=2〞仍可以幫我們將此四面體ABCD復(fù)原于長(zhǎng)方體內(nèi)，如以以下圖六：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為：，那么由題意得：，又因?yàn)榍虬霃綖?，所以長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為4，即有，可得，所以，而四面體ABCD相當(dāng)于長(zhǎng)方體切掉四個(gè)等大的“角〞，所以四面體ABCD體積為長(zhǎng)方體體積的，所以四面體ABCD的體積，而，由不等式得，體積的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。無(wú)中生有長(zhǎng)〔正〕方體，巧解以上四個(gè)題皆是歸功于最大限度地開(kāi)發(fā)了存在于長(zhǎng)方體中的豐富的線面的垂直、平行關(guān)系以及長(zhǎng)方體特有的數(shù)量關(guān)系，巧妙地將“體形各異〞的三棱錐復(fù)原于對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體或正方體中，