(新高考)高三數(shù)學第二次模擬考試卷四（解析版A3版）

此卷只裝訂不密封班級姓名此卷只裝訂不密封班級姓名準考證號考場號座位號數(shù)學（四）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則中元素的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】依題意，其中滿足的有，，，所以，有個元素，故選B．2．（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故選B．3．已知直線，，平面，，，，，那么“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，過直線作平面，交平面于直線，∵，∴，又，∴，又∵，∴；若，過直線作平面，交平面于直線，∵，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，故“”是“”的充要條件，故選C．4．設約束條件，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，設目標函數(shù)，則表示平面區(qū)域內(nèi)一動點到定點連線的斜率，結(jié)合圖象可得，取點時，能使得取得最大值，又由，解得，所以的最大值為，故選D．5．從6人中選出4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有（）A．300種 B．240種 C．144種 D．96種【答案】B【解析】分兩步：首先從4人中選1人去巴黎游覽，共有種，其次從剩余5人中選3人到其它三個城市游覽，共有種，共有種，故選B．6．已知函數(shù)的定義域為，且，當時，，若，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，，因為，所以，，即當時，，取，則，，當時，，此時無解；當時，，此時無解；當時，，若，則，解得，故，即，解得，實數(shù)的取值范圍為，故選B．7．在中，點是的中點，，線段與交于點，動點在內(nèi)部活動（不含邊界），且，其中、，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如下圖所示，連接并延長交于點，設，，則，，，，又，，，，，，則，即，即，因此，的取值范圍是，故選D．8．我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》載有一道數(shù)學問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩二，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”根據(jù)這一數(shù)學思想，所有被3除余2的正整數(shù)從小到大組成數(shù)列，所有被5除余2的正整數(shù)從小到大組成數(shù)列，把數(shù)與的公共項從小到大得到數(shù)列，則下列說法正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意數(shù)列是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，；數(shù)列是首項為2，公差為5的等差數(shù)列，；數(shù)列與的公共項從小到大得到數(shù)列，故數(shù)列是首項為2，公差為15的等差數(shù)列，．對于A，，，，錯誤；對于B，，，，錯誤；對于C，，，，正確；對于D，，，，錯誤，故選C．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．以下四個命題表述正確的是（）A．直線恒過定點B．圓上有且僅有3個點到直線的距離都等于1C．曲線與曲線恰有三條公切線，則D．已知圓，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線、，、為切點，則直線經(jīng)過定點【答案】BCD【解析】對于選項A：由可得，由，可得，所以直線恒過定點，故選項A不正確；對于選項B：圓心到直線的距離等于，圓的半徑，平行于且距離為1的兩直線分別過圓心以及和圓相切，故圓上有且僅有3個點到直線的距離等于，故選項B正確；對于選項C：由，可得，圓心，，由，可得，圓心，，由題意可得兩圓相外切，所以，即，解得，故選項C正確；對于選項D：設點坐標為，所以，即，因為、分別為過點所作的圓的兩條切線，所以，，所以點在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的方程為，整理可得，與已知圓相減可得，消去，可得，即，由，可得，所以直線經(jīng)過定點，故選項D正確，故選BCD．10．在中，下列說法正確的是（）A．若，則B．存在滿足C．若，則為鈍角三角形D．若，則【答案】ACD【解析】對于A選項，若，則，則，即，故A選項正確；對于B選項，由，則，且，在上遞減，于是，即，故B選項錯誤；對于C選項，由，得，在上遞減，此時：若，則，則，于是；若，則，則，于是，故C選項正確；對于D選項，由，則，則，在遞增，于是，即，同理，此時，，所以D選項正確，故選ACD．11．在發(fā)生公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構(gòu)認為該事件在一段時間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”．過去10日，A、B、C、D四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下，一定符合沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染標志的是（）A．A地：中位數(shù)為2，極差為5 B．B地：總體平均數(shù)為2，眾數(shù)為2C．C地：總體平均數(shù)為1，總體方差大于0 D．D地：總體平均數(shù)為2，總體方差為3【答案】AD【解析】對A，因為A地中位數(shù)為2，極差為5，故最大值不會大于．故A正確；對B，若B地過去10日分別為，則滿足總體平均數(shù)為2，眾數(shù)為2，但不滿足每天新增疑似病例不超過7人，故B錯誤；對C，若C地過去10日分別為，則滿足總體平均數(shù)為1，總體方差大于0，但不滿足每天新增疑似病例不超過7人，故C錯誤；對D，利用反證法，若至少有一天疑似病例超過7人，則方差大于，與題設矛盾，故連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人，故D正確，故選AD．12．已知函數(shù)，若，且，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】由函數(shù)解析式可得圖象如下：∴由圖知：，，而當時，有，即或2，∴，而，知：，∴，，故選BCD．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點，則的角平分線所在直線的斜率為______．【答案】1【解析】由題意知，的半焦距，，，故，．設的角平分線與軸交于，由角平分線定理可知，故，解得，即，故的角平分線所在直線的斜率，故答案為1．14．對于三次函數(shù)，給出定義：設是函數(shù)的導數(shù)，是的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”．某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．若，則函數(shù)的對稱中心為________，________．【答案】，2018【解析】因為，所以，，由，即，解得，，由題中給出的結(jié)論，所以函數(shù)的對稱中心為．所以，即．故，，，…，，所以SKIPIF1<0，故答案為，2018．15．函數(shù)，，有下列命題：①的表達式可改寫為；②直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸；③函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到；④滿足的的取值范圍是．其中正確的命題序號是__________．（注：把你認為正確的命題序號都填上）【答案】①④【解析】，故①正確；當時，，故②錯誤；因為函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到，而，故③錯誤；由可得，解得，所以，解得，故④正確，故答案為①④．16．在棱長為的正四面體中，點分別為直線上的動點，點為中點，為正四面體中心（滿足），若，則長度為_________．【答案】【解析】將正四面體放在棱長為4的正方體中，則，為正方體的中心，設分別是的中點，則是的中點，，，連接，設的中點為，連接，因為是的中位線，所以，，同理，，因為，所以，所以，即，則，所以，因為，所以，因為，，，所以平面，所以，在中，，故答案為．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）的內(nèi)角的對邊分別為．已知．（1）求；（2）若，當?shù)闹荛L最大時，求它的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由正弦定理得，，，．（2）由余弦定理得，（當且僅當時取等號），，當時，取得最大值，此時．18．（12分）如圖，三棱柱中，側(cè)面，已知，，，點E是棱的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：，，，由余弦定理可知，，，側(cè)面，且面，，又，平面，平面．（2）由（1）知，以B為坐標原點，BC為x軸，為y軸，BA為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，設平面的法向量為，由，得；同理，設平面的法向量為，，由，得，故，由題意二面角是銳二面角，故二面角的余弦值為．19．（12分）魔方，又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達佩斯建筑學院厄爾諾·魯比克教授于1974年發(fā)明的．魔方與華容道、獨立鉆石棋一起被國外智力專家并稱為智力游戲界的三大不可思議，而魔方受歡迎的程度更是智力游戲界的奇跡．通常意義下的魔方，即指三階魔方，為的正方體結(jié)構(gòu)，由個色塊組成．常規(guī)競速玩法是將魔方打亂，然后在最短的時間內(nèi)復原．截至2020年，三階魔方還原官方世界紀錄是由中國的杜宇生在2018年11月24日于蕪湖賽打破的紀錄，單次秒．（1）某魔方愛好者進行一段時間的魔方還原訓練，每天魔方還原的平均速度(秒)與訓練天數(shù)(天)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：（天）（秒）現(xiàn)用作為回歸方程類型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預測該魔方愛好者經(jīng)過長期訓練后最終每天魔方還原的平均速度約為多少秒(精確到)?參考數(shù)據(jù)（其中）參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．（2）現(xiàn)有一個復原好的三階魔方，白面朝上，只可以扭動最外側(cè)的六個表面．某人按規(guī)定將魔方隨機扭動兩次，每次均順時針轉(zhuǎn)動，記頂面白色色塊的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望．【答案】（1），每天魔方還原的平均速度約為秒；（2）分布列見解析，．【解析】（1）由題意，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得，可得，所以，因此關(guān)于的回歸方程為，所以最終每天魔方還原的平均速度約為秒．（2）由題意，可得隨機變量的取值為，可得，，，，所以的分布列為：所以．20．（12分）已知橢圓的上、下頂點分別為，為直線上的動點，當點位于點時，的面積，橢圓上任意一點到橢圓的左焦點的最短距離為．（1）求橢圓的方程；（2）連接，直線分別交橢圓于（異于點）兩點，證明：直線過定點．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）因為橢圓的上、下頂點分別為，點，的面積，所以，基底，又因為橢圓上任意一點到橢圓的左焦點的最短距離為，設是橢圓上任意一點，，則，對稱軸，所以在區(qū)間上遞增，則時，，即，又，解得，所以橢圓方程為．（2）設，由題意得，直線PA，PB的斜率存在，設，，由，得；由，得，所以，化簡得，所以直線過定點．21．（12分）已知正三角形，某同學從點開始，用擦骰子的方法移動棋子，規(guī)定：①每擲一次骰子，把一枚棋子從三角形的一個頂點移動到另一個頂點；②棋子移動的方向由擲骰子決定，若擲出骰子的點數(shù)大于3，則按逆時針方向移動：若擲出骰子的點數(shù)不大于3，則按順時針方向移動．設擲骰子次時，棋子移動到，，處的概率分別為：，，，例如：擲骰子一次時，棋子移動到，，處的概率分別為，，．（1）擲骰子三次時，求棋子分別移動到，，處的概率，，；（2）記，，，其中，，求．【答案】（1），，；（2）．【解析】（1）；，所以；；；，所以；；；，所以．（2）∵，即，，又，∴時，，又∵，可得，由，可得數(shù)列是首項為，公比