基于模糊控制的移動(dòng)機(jī)器人的外文翻譯

Proceedingsofthe1998IEEEInternationalConferenceonRobotics&AutomationLeuven,ApracticalapproachtofeedbackcontrolforamobilerobotwithtrailerF.LamirauxandJ.P.LaumondLAAS-CNRSToulouseAbstractThispaperpresentsarobustmethodtocontrolamobilerobottowingatrailer.Bothproblemsoftrajectorytrackingandsteeringtoagivenconfigurationareaddressed.Thissecondissueissolvedbyaniterativetrajectorytracking.Perturbationsaretakenintoaccountalongthemotions.ExperimentalresultsonthemobilerobotHilareillustratethevalidityofourapproach.1IntroductionMotioncontrolfornonholonomicsystemshavegivenrisetoalotofworkforthepast8years.Brockett’scondition[2]madestabilizationaboutagivenconfigurationachallengingtaskforsuchsystems,provingthatitcouldnotbeperformedbyasimplecontinuousstatefeedback.Alternativesolutionsastime-varyingfeedback[l0,4,11,13,14,15,18]ordiscontinuousfeedback[3]havebeenthenproposed.See[5]forasurveyinmobilerobotmotioncontrol.Ontheotherhand,trackingatrajectoryforanonholonomicsystemdoesnotmeetBrockett’sconditionandthusitisaneasiertask.Alotofworkhavealsoaddressedthisproblem[6,7,8,12,16]fortheparticularcaseofmobilerobots.Allthesecontrollawsworkunderthesameassumption:theevolutionofthesystemisexactlyknownandnoperturbationmakesthesystemdeviatefromitstrajectory.Fewpapersdealingwithmobilerobotscontroltakeintoaccountperturbationsinthekinematicsequations.[l]howeverproposedamethodtostabilizeacaraboutaconfiguration,robusttocontrolvectorfieldsperturbations,andbasedoniterativetrajectorytracking.Thepresenceofobstaclemakesthetaskofreachingaconfigurationevenmoredifficultandrequireapathplanningtaskbeforeexecutinganymotion.Inthispaper,weproposearobustschemebasedoniterativetrajectorytracking,toleadarobottowingatrailertoaconfiguration.Thetrajectoriesarecomputedbyamotionplannerdescribedin[17]andthusavoidobstaclesthataregivenininput.Inthefollowing.Wewon’tgiveanydevelopmentaboutthisplanner,werefertothisreferencefordetails.Moreover,weassumethattheexecutionofagiventrajectoryissubmittedtoperturbations.Themodelwechosefortheseperturbationsisverysimpleandverygeneral.Itpresentssomecommonpointswith[l].Thepaperisorganizedasfollows.Section2describesourexperimentalsystemHilareanditstrailer:twohookingsystemswillbeconsidered(Figure1).Section3dealswiththecontrolschemeandtheanalysisofstabilityandrobustness.InSection4,wepresentexperimentalresults.2DescriptionofthesystemHilareisatwodrivingwheelmobilerobot.Atrailerishitchedonthisrobot,definingtwodifferentsystemsdependingonthehookingdevice:onsystemA,thetrailerishitchedabovethewheelaxisoftherobot(Figure1,top),whereasonsystemB,itishitchedbehindthisaxis(Figurel,bottom).AistheparticularcaseofB,forwhich=0.Thissystemishoweversingularfromacontrolpointofviewandrequiresmorecomplexcomputations.Forthisreason,wedealseparatelywithbothhookingsystems.Twomotorsenabletocontrolthelinearandangularvelocities（，)oftherobot.Thesevelocitiesaremoreovermeasuredbyodometricsensors,whereastheanglebetweentherobotandthetrailerisgivenbyanopticalencoder.Thepositionandorientation（,,）oftherobotarecomputedbyintegratingtheformervelocities.Withthesenotations,thecontrolsystemofBis:（1）Figure1:Hilarewithitstrailer3Globalcontrolscheme3.1MotivationWhenconsideringrealsystems,onehastotakeintoaccountperturbationsduringmotionexecution.Thesemayhavemanyoriginsasimperfectionofthemotors,slippageofthewheels,inertiaeffects...Theseperturbationscanbemodeledbyaddingaterminthecontrolsystem(l),leadingtoanewsystemoftheformwheremaybeeitherdeterministicorarandomvariable.Inthefirstcase,theperturbationisonlyduetoabadknowledgeofthesystemevolution,whereasinthesecondcase,itcomesfromarandombehaviorofthesystem.Wewillseelaterthatthissecondmodelisabetterfitforourexperimentalsystem.Tosteerarobotfromastartconfigurationtoagoal,manyworksconsiderthattheperturbationisonlytheinitialdistancebetweentherobotandthegoal,butthattheevolutionofthesystemisperfectlyknown.Tosolvetheproblem,theydesignaninputasafunctionofthestateandtimethatmakesthegoalanasymptoticallystableequilibriumoftheclosedloopsystem.Now,ifweintroducethepreviouslydefinedterminthisclosedloopsystem,wedon'tknowwhatwillhappen.Wecanhoweverconjecturethatiftheperturbationissmallanddeterministic,theequilibriumpoint(ifthereisstillone)willbeclosetothegoal,andiftheperturbationisarandomvariable,theequilibriumpointwillbecomeanequilibriumsubset.Butwedon'tknowanythingaboutthepositionofthesenewequilibriumpointorsubset.Moreover,timevaryingmethodsarenotconvenientwhendealingwithobstacles.Theycanonlybeusedintheneighborhoodofthegoalandthisneighborhoodhastobeproperlydefinedtoensurecollision-freetrajectoriesoftheclosedloopsystem.Letusnoticethatdiscontinuousstatefeedbackcannotbeappliedinthecaseofrealrobots,becausediscontinuityinthevelocityleadstoinfiniteaccelerations.Themethodweproposetoreachagivenconfigurationtnthepresenceofobstaclesisthefollowing.Wefirstbuildacollisionfreepathbetweenthecurrentconfigurationandthegoalusingacollision-freemotionplannerdescribedin[17],thenweexecutethetrajectorywithasimpletrackingcontrollaw.Attheendofthemotion,therobotdoesneverreachexactlythegoalbecauseofthevariousperturbations,butaneighborhoodofthisgoal.Ifthereachedconfigurationistoofarfromthegoal,wecomputeanothertrajectorythatweexecuteaswehavedonefortheformerone.Wewillnowdescribeourtrajectorytrackingcontrollawandthengiverobustnessissuesaboutourglobaliterativescheme.3.2ThetrajectorytrackingcontrollawInthissection,wedealonlywithsystemA.ComputationsareeasierforsystemB(seeSection3.4).Figure2:TrackingcontrollawforasinglerobotAlotoftrackingcontrollawshavebeenproposedforwheeledmobilerobotswithouttrailer.Oneofthem[16],althoughverysimple,giveexcellentresults.Ifarethecoordinatesofthereferencerobotintheframeoftherealrobot(Figure2),andifaretheinputsofthereferencetrajectory,thiscontrollawhasthefollowingexpression: （2）Thekeyideaofourcontrollawisthefollowing:whentherobotgoesforward,thetrailerneednotbestabilized(seebelow).Soweapply(2)totherobot.Whenitgoesbackward,wedefineavirtualrobot(Figure3)whichissymmetricaltotherealonewithrespecttothewheelaxisofthetrailer:Then,whentherealrobotgoesbackward,thevirtualrobotgoesforwardandthevirtualsystemiskinematicallyequivalenttotherealone.Thusweapplythetrackingcontrollaw(2)tothevirtualrobot.Figure3:VirtualrobotAquestionarisesnow:isthetrailerreallyalwaysstablewhentherobotgoesforward?Thefollowingsectionwillanswerthisquestion.3.3StabilityanalysisofthetrailerWeconsiderherethecaseofaforwardmotion,thebackwardmotionbeingequivalentbythevirtualrobottransformation.Letusdenotebyareferencetrajectoryandbytherealmotionofthesystem.Weassumethattherobotfollowsexactlyitsreferencetrajectory:andwefocusourattentiononthetrailerdeviation.Theevolutionofthisdeviationiseasilydeducedfromsystem(1)with(SystemA):isthusdecreasingiff（3）Oursystemismoreoverconstrainedbytheinequalities（4）sothatand(3)isequivalentto（5）Figure4showsthedomainonwhichisdecreasingforagivenvalueof.Wecanseethatthisdomaincontainsallpositionsofthetrailerdefinedbythebounds(4).Moreover,thepreviouscomputationspermiteasilytoshowthat0isanasymptoticallystablevalueforthevariable.Thusiftherealorvirtualrobotfollowsitsreferenceforwardtrajectory,thetrailerisstableandwillconvergetowarditsownreferencetrajectory.Figure4:Stabilitydomainfor3.4VirtualrobotforsystemBWhenthetrailerishitchedbehindtherobot,theformerconstructionisevenmoresimple:wecanreplacethevirtualrobotbythetrailer.Inthiscaseindeed,thevelocitiesoftherobotandofthetrailerareconnectedbyaone-to-onemapping.Theconfigurationofthevirtualrobotisthengivenbythefollowingsystem:andthepreviousstabilityanalysiscanbeappliedaswell,byconsideringthemotionofthehitchingpoint.Thefollowingsectionaddressestherobustnessofouriterativescheme.3.5RobustnessoftheiterativeschemeWearenowgoingtoshowtherobustnessoftheiterativeschemewehavedescribedabove.Forthis,weneedtohaveamodeloftheperturbationsarisingwhentherobotmoves.[l]modeltheperturbationsbyabadknowledgeofconstantsofthesystem,leadingtodeterministicvariationsonthevectorfields.Inourexperimentweobservedrandomperturbationsdueforinstancetosomeplayinthehitchingsystem.Theseperturbationsareverydifficulttomodel.Forthisreason,wemakeonlytwosimplehypothesesaboutthem:wheresisthecurvilinearabscissaalongtheplannedpath,andarerespectivelytherealandreferenceconfigurations,isadistanceovertheconfigurationspaceofthesystemand,arepositiveconstants.Thefirstinequalitymeansthatthedistancebetweentherealandthereferenceconfigurationsisproportionaltothedistancecoveredontheplannedpath.Thesecondinequalityisensuredbythetrajectorytrackingcontrollawthatpreventsthesystemtogotoofarawayfromitsreferencetrajectory.Letuspointoutthatthesehypothesesareveryrealisticandfitalotofperturbationmodels.Weneednowtoknowthelengthofthepathsgeneratedateachiteration.Thesteeringmethodweusetocomputethesepathsverifiesatopologicalpropertyaccountingforsmall-timecontrollability[17].Thismeansthatifthegoalissufficientlyclosetothestartingconfiguration,thecomputedtrajectoryremainsinaneighborhoodofthestartingconfiguration.In[9]wegiveanestimateintermsofdistance:ifandaretwosufficientlycloseconfigurations,thelengthoftheplannedpathbetweenthemverifieswhereisapositiveconstant.Thus,ifisthesequenceofconfigurationsreachedafterimotions,wehavethefollowinginequalities:TheseinequalitiesensurethatdistCSisupperboundedbyasequenceofpositivenumbersdefinedbyandconvergingtowardafterenoughiterations.Thus,wedonotobtainasymptoticalstabilityofthegoalconfiguration,butthisresultensurestheexistenceofastabledomainaroundthisconfiguration.Thisresultessentiallycomesfromtheverygeneralmodelofperturbationswehavechosen.Letusrepeatthatincludingsuchaperturbationmodelinatimevaryingcontrollawwouldundoubtedlymakeitloseitsasymptoticalstability.Theexperimentalresultsofthefollowingsectionshowhowever,thattheconvergingdomainofourcontrolschemeisverysmall.

4ExperimentalresultsWepresentnowexperimentalresultsobtainedwithourrobotHilaretowingatrailer,forbothsystemsAandB.Figures5and6showexamplesoffirstpathscomputedbythemotionplannerbetweentheinitialFigure5:SystemA:theinitialandgoalconfigurationsandthefirstpathtobetrackedFigure6:SystemB:theinitialandgoalconfigurations,thefirstpathtobetrackedandthefinalmaneuverconfigurations(inblack)andthegoalconfigurations(ingrey),includingthelastcomputedmaneuverinthesecondcase.Thelengthsofbothhookingsystemisthefollowing:,cmforAandcm,cmforB.Tables1and2givethepositionofinitialandfinalconfigurationsandthegapsbetweenthegoalandthereachedconfigurationsafteronemotionandtwomotions,for3differentexperiments.Inbothcases,thefirstexperimentcorrespondstothefigure.Emptycolumnsmeanthattheprecisionreachedafterthefirstmotionwassufficientandthatnomoremotionwasperformed.CommentsandRemarks:Theresultsreportedinthetables1and2leadtotwomaincomments.First,theprecisionreachedbythesystemisverysatisfyingandsecondlythenumberofiterationsisverysmall(between1and2).Infact,theprecisiondependsalotonthevelocityofthedifferentmotions.Herethemaximallinearvelocityoftherobotwas50cm/s.5ConclusionWehavepresentedinthispaperamethodtosteerarobotwithonetrailerfromitsinitialconfigurationtoagoalgivenininputoftheproblem.Thismethodisbasedonaniterativeapproachcombiningopenloopandcloseloopcontrols.Ithasbeenshownrobustwithrespecttoalargerangeofperturbationmodels.Thisrobustnessmainlycomesfromthetopologicalpropertyofthesteeringmethodintroducedin[17].Evenifthemethoddoesnotmaketherobotconvergeexactlytothegoal,theprecisionreachedduringrealexperimentsisverysatisfying.Table1:SystemA:initialandfinalconfigurations,gapsbetweenthefirstandsecondreachedconfigurationsandthegoalTable2:SystemB:initialandfinalconfigurations,gapsbetweenthefirstandsecondreachedconfigurationsandthegoalReferences[1]M.K.BennanietP.Rouchon.Robuststabilizationofflatandchainedsystems.inEuropeanControlConference,1995.[2]R.W.Brockett.Asymptoticstabilityandfeedbackstabilization.inDifferentialGeometricControlTheory,R.W.Brockett,R.S.MillmanetH.H.SussmannEds,1983.[3]C.CanudasdeWit,O.J.Sordalen.Exponentialstabilizationofmobilerobotswithnonholonomicconstraints.IEEETransactionsonAutomaticControl,Vol.37,No.11,1992.[4]J.M.Coron.Globalasymptoticstabilizationforcontrollablesystemswithoutdrift.inMathematicsofControl,SignalsandSystems,Vol5,1992.[5]A.DeLuca,G.OrioloetC.Samson.Feedbackcontrolofanonholonomiccar-likerobot,"Robotmotionplanningandcontrol".J.P.LaumondEd.,LectureNotesinControlandInformationSciences,Springer'Verlag,toappear.[6]R.M.DeSantis.Path-trackingforatractor-trailerlikerobot.inInternationalJournalofRoboticsResearch,Vol13,No6,1994.[7]A.Hemami,M.G.MehrabietR.M.H.Cheng.Syntheszsofanoptimalcontrollawpathtrackanganmobilerobots.inAutomatica,Vol28,No2,pp383-387,1992..Astabletrackingcontrolmethodforanautonomousmobilerobot.inIEEEInternationalConferenceonRoboticsandAutomation,Cincinnati,Ohio,1990.[9]F.Lamiraux.Robotsmobilesciremorque:delaplanificationdecheminsd:l'exhtiondemouuements,PhDThesisN7,LAAS-CNRS,Toulouse,September1997.[l0]P.MorinetC.Samson.Applicationofbacksteppingtechniquestothetime-varyingexponentialstabitisationofchainedformsystems.EuropeanJournalofControl,Vol3,No1,1997.[11]J.B.Pomet.Explicitdesignoftime-varyingstabilizangcontrollawsforaclassofcontrollablesystemswithoutdrift.inSystemsandControlLetters,North[12]M.Sampei,T.Tamura,T.ItohetM.Nakamichi.Pathtrackingcontroloftrailer-likemobilerobot.inIEEEInternationalWorkshoponIntelligentRobotsandSystemsIROS,Osaka,Japan,pp193-198,1991.[13]C.Samson.Velocityandtorquefeedbackcontrolofanonholonomiccart.InternationalWorkshopinAdaptativeandNonlinearControl:IssuesinRobotics,Grenoble,[14]C.Samson.Time-varyingfeedbackstabilizationofcarlikewheeledmobilerobots.inInternationalJournalofRoboticsResearch,12(1),1993.[15]C.Samson.Controlofchainedsystems.Applicationtopathfollowingandtime-varyingpoznt-stabilization.inIEEETransactionsonAutomaticControl,Vol40,No1,1995.[16]C.SamsonetK.Ait-Abderrahim.Feedbackcontrolofanonholonomicwheeledcartzncartesaanspace.inIEEEInternationalConferenceonRoboticsandAutomation,Sacramento,[17]S.Sekhavat,F.Lamiraux,J.P.Laumond,G.BauzilandA.Ferrand.MotionplanningandcontrolforHilarepullingatrader:experzmentalissues.IEEEInt.Conf.onRob.andAutom.,pp3306-3311,1997.[18]O.J.Splrdalenet0.Egeland.Exponentialstabzlzsationofnonholonomicchainedsystems.inIEEETransactionsonAutomaticControl,Vol40,No1,1995.Bolland,Vol18,pp147-158,1992.

1998年的IEEE國(guó)際會(huì)議上機(jī)器人及自動(dòng)化Leuven，比利時(shí)1998年5月一種實(shí)用的辦法--帶拖車移動(dòng)機(jī)器人的反饋控制F.LamirauxandJ.P.Laumond拉斯，法國(guó)國(guó)家科學(xué)研究中心法國(guó)圖盧茲摘要本文提出了一種有效的方法來(lái)控制帶拖車移動(dòng)機(jī)器人。軌跡跟蹤和路徑跟蹤這兩個(gè)問(wèn)題已經(jīng)得到解決。接下來(lái)的問(wèn)題是解決迭代軌跡跟蹤。并且把擾動(dòng)考慮到路徑跟蹤內(nèi)。移動(dòng)機(jī)器人Hilare的實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明了我們方法的有效性。1引言過(guò)去的8年，人們對(duì)非完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)控制做了大量的工作。布洛基[2]提出了關(guān)于這種系統(tǒng)的一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，配置的穩(wěn)定性，證明它不能由一個(gè)簡(jiǎn)單的連續(xù)狀態(tài)反饋。作為替代辦法隨時(shí)間變化的反饋[10,4,11,13,14,15,18]或間斷反饋[3]也隨之被提出。從[5]移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制的一項(xiàng)調(diào)查可以看到。另一方面，非完整系統(tǒng)的軌跡跟蹤不符合布洛基的條件，從而使其這一個(gè)任務(wù)更為輕松。許多著作也已經(jīng)給出了移動(dòng)機(jī)器人的特殊情況的這一問(wèn)題[6,7,8,12,16]。所有這些控制律都是工作在相同的假設(shè)下：系統(tǒng)的演變是完全已知和沒(méi)有擾動(dòng)使得系統(tǒng)偏離其軌跡。很少有文章在處理移動(dòng)機(jī)器人的控制時(shí)考慮到擾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。但是[1]提出了一種有關(guān)穩(wěn)定汽車的配置，有效的矢量控制擾動(dòng)領(lǐng)域，并且建立在迭代軌跡跟蹤的基礎(chǔ)上。存在的障礙使得達(dá)到規(guī)定路徑的任務(wù)變得更加困難，因此在執(zhí)行任務(wù)的任何動(dòng)作之前都需要有一個(gè)路徑規(guī)劃。在本文中，我們?cè)诘壽E跟蹤的基礎(chǔ)上提出了一個(gè)健全的方案，使得帶拖車的機(jī)器人按照規(guī)定路徑行走。該軌跡計(jì)算由規(guī)劃的議案所描述[17]，從而避免已經(jīng)提交了輸入的障礙物。在下面，我們將不會(huì)給出任何有關(guān)規(guī)劃的發(fā)展，我們提及這個(gè)參考的細(xì)節(jié)。而且，我們認(rèn)為，在某一特定軌跡的執(zhí)行屈服于擾動(dòng)。我們選擇的這些擾動(dòng)模型是非常簡(jiǎn)單，非常一般。它存在一些共同點(diǎn)[1]。本文安排如下：第2節(jié)介紹我們的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Hilare及其拖車：兩個(gè)連接系統(tǒng)將被視為（圖1）。第3節(jié)處理控制方案及分析的穩(wěn)定性和魯棒性。在第4節(jié)，我們介紹本實(shí)驗(yàn)結(jié)果。圖1帶拖車的Hilare2系統(tǒng)描述Hilare是一個(gè)有兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪的移動(dòng)機(jī)器人。拖車是被掛在這個(gè)機(jī)器人上的，確定了兩個(gè)不同的系統(tǒng)取決于連接設(shè)備：在系統(tǒng)A的拖車拴在機(jī)器人的車輪軸中心線上方（圖1，頂端），而對(duì)系統(tǒng)B是栓在機(jī)器人的車輪軸中心線的后面（圖1，底部)。A對(duì)B來(lái)說(shuō)是一種特殊情況，其中=0。這個(gè)系統(tǒng)不過(guò)單從控制的角度來(lái)看，需要更多的復(fù)雜的計(jì)算。出于這個(gè)原因，我們分開(kāi)處理掛接系統(tǒng)。兩個(gè)馬達(dá)能夠控制機(jī)器人的線速度和角速度（，)。除了這些速度之外，還由傳感器測(cè)量，而機(jī)器人和拖車之間的角度，由光學(xué)編碼器給出。機(jī)器人的位置和方向（,,）通過(guò)整合前的速度被計(jì)算。有了這些批注，控制系統(tǒng)B是：（1）3全球控制方案目的當(dāng)考慮到現(xiàn)實(shí)的系統(tǒng)，人們就必須要考慮到在運(yùn)動(dòng)的執(zhí)行時(shí)產(chǎn)生的擾動(dòng)。這可能有許多的來(lái)源，像有缺陷的電機(jī)，輪子的滑動(dòng)，慣性的影響...這些擾動(dòng)可以被設(shè)計(jì)通過(guò)增加一個(gè)周期在控制系統(tǒng)（1），得到一個(gè)新的系統(tǒng)的形式在上式中可以是確定性或隨機(jī)變量。在第一種情況下，擾動(dòng)僅僅是由于系統(tǒng)演化的不規(guī)則，而在第二種情況下，它來(lái)自于該系統(tǒng)一個(gè)隨機(jī)行為。我們將看到后來(lái)，這第二個(gè)模型是一個(gè)更適合我們的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。為了引導(dǎo)機(jī)器人，從一開(kāi)始就配置了目標(biāo)，許多工程認(rèn)為擾動(dòng)最初只是機(jī)器人和目標(biāo)之間的距離，但演變的系統(tǒng)是完全眾所周知的。為了解決這個(gè)問(wèn)題，他們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)可輸入的時(shí)間-狀態(tài)函數(shù)，使目標(biāo)達(dá)到一個(gè)漸近穩(wěn)定平衡的閉環(huán)系統(tǒng)?，F(xiàn)在，如果我們介紹了先前定義周期在這個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)，我們不知道將會(huì)發(fā)生什么。但是我們可以猜想，如果擾動(dòng)很小、是確定的、在平衡點(diǎn)（如果仍然還有一個(gè)）將接近目標(biāo)，如果擾動(dòng)是一個(gè)隨機(jī)變數(shù)，平衡點(diǎn)將成為一個(gè)平衡的子集。但是，我們不知道這些新的平衡點(diǎn)或子集的位置。此外，在處理障礙時(shí)，隨時(shí)間變化的方法不是很方便。他們只能使用在附近的目標(biāo)，這附近要適當(dāng)界定，以確保無(wú)碰撞軌跡的閉環(huán)系統(tǒng)。請(qǐng)注意連續(xù)狀態(tài)反饋不能適用于真實(shí)情況下的機(jī)器人，因?yàn)殚g斷的速度導(dǎo)致無(wú)限的加速度。我們建議達(dá)成某一存在障礙特定配置的方法如下。我們首先在當(dāng)前的配置和使用自由的碰撞議案所描述[17]目標(biāo)之間建立一個(gè)自由的碰撞路徑，然后，我們以一個(gè)簡(jiǎn)單的跟蹤控制率執(zhí)行軌跡。在運(yùn)動(dòng)結(jié)束后，因?yàn)檫@一目標(biāo)的各種擾動(dòng)機(jī)器人從來(lái)沒(méi)有完全達(dá)到和目標(biāo)的軌跡一致，而是這一目標(biāo)的左右。如果達(dá)到配置遠(yuǎn)離目標(biāo)，我們計(jì)算另一個(gè)我們之前已經(jīng)執(zhí)行過(guò)的一個(gè)軌跡。現(xiàn)在我們將描述我們的軌跡跟蹤控制率，然后給出我們的全球迭代方法的魯棒性問(wèn)題。軌跡跟蹤控制率在這一節(jié)中，我們只處理系統(tǒng)A。對(duì)系統(tǒng)B容易計(jì)算（見(jiàn)第節(jié)）。圖2單一機(jī)器人的跟蹤控制率很多帶拖車輪式移動(dòng)機(jī)器人的跟蹤控制律已經(jīng)被提出。其中[16]雖然很簡(jiǎn)單,但是提供了杰出的成果。如果是模擬機(jī)器人的坐標(biāo)構(gòu)成真實(shí)機(jī)器人（圖2），如果（）是輸入的參考軌跡，這種控制律表示如下： （2）我們控制律的關(guān)鍵想法如下：當(dāng)機(jī)器人前進(jìn)，拖車不需要穩(wěn)定（見(jiàn)下文）。因此，我們對(duì)機(jī)器人使用公式（2）。當(dāng)它后退時(shí)，我們定義一個(gè)虛擬的機(jī)器人（圖3）這是對(duì)稱的真實(shí)一對(duì)拖車的車輪軸：然后，當(dāng)真正的機(jī)器人退后，虛擬機(jī)器人前進(jìn)和虛擬系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)學(xué)上是等同于真正的一個(gè)。因此，我們對(duì)虛擬機(jī)器人實(shí)行跟蹤控制法（2）。圖3虛擬機(jī)器人現(xiàn)在的問(wèn)題是：當(dāng)機(jī)器人前進(jìn)時(shí)，拖車是否真的穩(wěn)定？下一節(jié)將回答這個(gè)問(wèn)題。3.3拖車穩(wěn)定性分析在這里我們考慮的向前運(yùn)動(dòng)情況下,虛擬機(jī)器人向后的運(yùn)動(dòng)被等值轉(zhuǎn)變。讓我們把坐標(biāo)作為參考軌跡并且把坐標(biāo)作為實(shí)際運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)。我們假設(shè)機(jī)器人完全跟隨其參考軌跡：并且我們把我們的注意力放在拖車偏差。這一偏差的變化很容易從系統(tǒng)（1）推導(dǎo)出（系統(tǒng)A）：盡管是減少的（3）我們的系統(tǒng)而且被不等量限制了（4）因此和式（3）等價(jià)于（5）圖4顯示的范圍隨著給定的的值正在減少。我們可以看到，這個(gè)范圍包含了拖車的所有的位置，包括式（4）所界定的范圍。此外，以前的計(jì)算許可輕松地表明對(duì)于變量，0是一個(gè)漸近穩(wěn)定值的變量。因此，如果實(shí)際或虛擬的機(jī)器人按照它的參考軌跡前進(jìn)，拖車是穩(wěn)定的，并且將趨于自己的參考軌跡。圖4的穩(wěn)定范圍虛擬機(jī)器人系統(tǒng)B當(dāng)拖車掛在機(jī)器人的后面，之前的結(jié)構(gòu)甚至更簡(jiǎn)單：我們可以用拖車取代虛擬的機(jī)器人。在這種實(shí)際情況下，機(jī)器人的速度和拖車一對(duì)一映射的連接。然后虛擬的機(jī)器人系統(tǒng)表示為如下：和以前的穩(wěn)定性分析可以被很好的使用通過(guò)考慮懸掛點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。下面一節(jié)討論了我們迭代計(jì)劃的魯棒性。迭代計(jì)劃的魯棒性我們現(xiàn)在正在顯示上文所提到的迭代計(jì)劃的魯棒性。為此，我們需要有一個(gè)當(dāng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生擾動(dòng)的模型。[1]擾動(dòng)的模型系統(tǒng)是一個(gè)不規(guī)則，從而導(dǎo)致矢量場(chǎng)確定性的變化。在我們的實(shí)驗(yàn)中，我們要看到由于隨機(jī)擾動(dòng)導(dǎo)致的例如在一些懸掛系統(tǒng)中發(fā)揮作用。這些擾動(dòng)對(duì)模型是非常困難的。出于這個(gè)原因，我們只有兩個(gè)簡(jiǎn)單的假說(shuō)有：其中s是沿曲線橫坐標(biāo)設(shè)計(jì)路徑，和分別是真正的和參考的結(jié)構(gòu)，是結(jié)構(gòu)空間系統(tǒng)的距離并且，是正數(shù)。第一個(gè)不等量意味著實(shí)際和參考結(jié)構(gòu)之間的距離成正比的距離覆蓋計(jì)劃路徑。第二個(gè)不等量是確保軌跡跟蹤控制率，防止系統(tǒng)走得太遠(yuǎn)遠(yuǎn)離其參考軌跡。讓我們指出，這些假設(shè)是非?，F(xiàn)實(shí)的和適合大量的擾動(dòng)模型。我們現(xiàn)在需要知道在每個(gè)迭代路徑的長(zhǎng)度。我們使用指導(dǎo)的方法計(jì)算這些路徑驗(yàn)證拓?fù)涠虝r(shí)間的可控性[17]。這個(gè)也就是說(shuō)，如果我們的目標(biāo)是充分接近起初的結(jié)構(gòu)，軌跡的計(jì)算依然是起初的結(jié)構(gòu)的附近。在[9]我們給出的估算方面的距離：如果和是兩種不夠緊密的結(jié)構(gòu)，規(guī)劃路徑的長(zhǎng)度驗(yàn)證它們之間的關(guān)系這里是一個(gè)正數(shù)。因此，如果是配置依次獲得的，我們有以下不等式：這些不等式確保distCS是上界序列的正數(shù)和趨近于足夠反復(fù)后的。因此，我們沒(méi)有獲得漸近穩(wěn)定性配置的目標(biāo)，但這一結(jié)果確保存在一個(gè)穩(wěn)定的范圍處理這個(gè)配置。這一結(jié)果基本上是來(lái)自我們選擇非常傳統(tǒng)擾動(dòng)的模型。讓我們重復(fù)這包括諸如擾動(dòng)模型的時(shí)間不同的控制律無(wú)疑將使其失去其漸近穩(wěn)定。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下節(jié)顯示，收斂域的控制計(jì)劃是非常小的。4實(shí)驗(yàn)結(jié)果現(xiàn)在，我們目前獲得的帶拖車機(jī)器人Hilare系統(tǒng)A和B的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。圖5和圖6顯示第一路徑計(jì)算的例子所規(guī)劃初始配置（黑色）和目標(biāo)配置（灰色）之間的運(yùn)動(dòng)。在第二種情況下包括上一次計(jì)算結(jié)果。連接系統(tǒng)的長(zhǎng)度如下：系統(tǒng)A中，厘米，系統(tǒng)B厘米，厘米。表1和表2提供的初始和最后配置位置以及目標(biāo)和期望配置在第一次動(dòng)作和第二次動(dòng)作之間的不足，3個(gè)不同的實(shí)驗(yàn)。在這兩種情況下，第一次試驗(yàn)相當(dāng)于圖表。意味著，在第一動(dòng)作后精度十分充足，沒(méi)有更多可進(jìn)行的動(dòng)作。評(píng)論和意見(jiàn)：表1和表2的報(bào)告結(jié)果顯示了兩個(gè)主要的見(jiàn)解。首先，系統(tǒng)達(dá)成非常令人滿意的精密程度，其次迭代次數(shù)是非常小的（介于1和2之間）。事實(shí)上，精密程度取決于很多的速度和不同的動(dòng)作。在這里，機(jī)器人的最大線速度是50厘米/秒5結(jié)論我們已經(jīng)提出了一種方法來(lái)控制機(jī)器人與拖車從初始結(jié)構(gòu)到一個(gè)已知輸入問(wèn)題的目標(biāo)。這種方法是以迭代于開(kāi)環(huán)和閉環(huán)控制相結(jié)合為前提的辦法。它對(duì)大范圍的擾動(dòng)模型已經(jīng)顯示出健全的一面。這個(gè)魯棒性主要來(lái)自拓?fù)湫阅苤笇?dǎo)方法介紹[17]。即使該方法不完全趨于機(jī)器人的最終目標(biāo)，但是在真正實(shí)驗(yàn)期間達(dá)到的精度程度是非常令人滿意的。圖5：系統(tǒng)A：初始、目標(biāo)配置跟蹤第一路徑圖6：系統(tǒng)B：初始、目標(biāo)配置跟蹤第一路徑和最終結(jié)果表1：系統(tǒng)A：目標(biāo)和期望配置在第一次動(dòng)表2：系統(tǒng)B：目標(biāo)和期望配置在第一次動(dòng)作和第二次動(dòng)作之間的差距作和第二次動(dòng)作之間的差距參考文獻(xiàn)[1]M.K.BennanietP.Rouchon.Robuststabilizationofflatandchainedsystems.inEuropeanControlConference,1995.[2]R.W.Brockett.Asymptoticstabilityandfeedbackstabilization.inDifferentialGeometricControlTheory,R.W.Brockett,R.S.MillmanetH.H.SussmannEds,1983.[3]C.CanudasdeWit,O.J.Sordalen.Exponentialstabilizationofmobilerobotswithnonholonomicconstraints.IEEETransactionsonAutomaticControl,Vol.37,No.11,1992.[4]J.M.Cor