山東省濰坊壽光市2023學(xué)年高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：（）①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)；③在上的最大值為2；④在區(qū)間上有4個零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．①②④ B．①③ C．①④ D．②④2．自2019年12月以來，在湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，研究表明，該新型冠狀病毒具有很強(qiáng)的傳染性各級政府反應(yīng)迅速，采取了有效的防控阻擊措施，把疫情控制在最低范圍之內(nèi).某社區(qū)按上級要求做好在鄂返鄉(xiāng)人員體格檢查登記，有3個不同的住戶屬在鄂返鄉(xiāng)住戶，負(fù)責(zé)該小區(qū)體格檢查的社區(qū)診所共有4名醫(yī)生，現(xiàn)要求這4名醫(yī)生都要分配出去，且每個住戶家里都要有醫(yī)生去檢查登記，則不同的分配方案共有（）A．12種 B．24種 C．36種 D．72種3．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，是直線與拋物線的一個交點(diǎn)，若，則（）A． B．3 C． D．24．直三棱柱中，，，則直線與所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù).設(shè)，若對任意不相等的正數(shù)，，恒有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．6．某三棱錐的三視圖如圖所示，那么該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．07．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．8．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上是增函數(shù)的是（）．A． B．C． D．9．已知數(shù)列，，，…，是首項(xiàng)為8，公比為得等比數(shù)列，則等于（）A．64 B．32 C．2 D．410．已知復(fù)數(shù)z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，則實(shí)數(shù)a＝（）A． B． C．2 D．﹣211．若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)滿足f(1)＝，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]12．已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè),滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)的最大值為,則的最小值為______．14．已知，則_____.15．若，i為虛數(shù)單位，則正實(shí)數(shù)的值為______.16．已知向量與的夾角為，||＝||＝1，且⊥（λ），則實(shí)數(shù)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，．（1）若，，求實(shí)數(shù)的值．（2）若，，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù).（1）解關(guān)于的不等式；（2）若函數(shù)的圖象恒在直線的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍19．（12分）已知是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，到軸的距離比小1.（1）求的方程；（2）設(shè)直線與交于另一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，.若，求直線的斜率.20．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)單調(diào)性；（2）當(dāng)時，求證：.21．（12分）若關(guān)于的方程的兩根都大于2，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（10分）已知數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【答案解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)對四個結(jié)論逐一分析，由此得出正確結(jié)論的編號.【題目詳解】的定義域?yàn)?由于，所以為偶函數(shù)，故①正確.由于，，所以在區(qū)間上不是單調(diào)遞增函數(shù)，所以②錯誤.當(dāng)時，，且存在，使.所以當(dāng)時，；由于為偶函數(shù)，所以時，所以的最大值為，所以③錯誤.依題意，，當(dāng)時，，所以令，解得，令，解得.所以在區(qū)間，有兩個零點(diǎn).由于為偶函數(shù)，所以在區(qū)間有兩個零點(diǎn).故在區(qū)間上有4個零點(diǎn).所以④正確.綜上所述，正確的結(jié)論序號為①④.故選：C【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.2、C【答案解析】

先將4名醫(yī)生分成3組，其中1組有2人，共有種選法，然后將這3組醫(yī)生分配到3個不同的住戶中去，有種方法，由分步原理可知共有種.【題目詳解】不同分配方法總數(shù)為種.故選：C【答案點(diǎn)睛】此題考查的是排列組合知識，解此類題時一般先組合再排列，屬于基礎(chǔ)題.3、D【答案解析】

根據(jù)拋物線的定義求得，由此求得的長.【題目詳解】過作，垂足為，設(shè)與軸的交點(diǎn)為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.4、A【答案解析】

設(shè)，延長至，使得，連，可證，得到（或補(bǔ)角）為所求的角，分別求出，解即可.【題目詳解】設(shè)，延長至，使得，連，在直三棱柱中，，，四邊形為平行四邊形，，（或補(bǔ)角）為直線與所成的角，在中，，在中，，在中，，在中，，在中，.

故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可，屬于中檔題.5、D【答案解析】

求解的導(dǎo)函數(shù)，研究其單調(diào)性，對任意不相等的正數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，討論其單調(diào)性即可求解.【題目詳解】的定義域?yàn)?，，?dāng)時，，故在單調(diào)遞減；不妨設(shè)，而，知在單調(diào)遞減，從而對任意、，恒有，即，，，令，則，原不等式等價于在單調(diào)遞減，即，從而，因?yàn)?，所以?shí)數(shù)a的取值范圍是故選：D.【答案點(diǎn)睛】此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問題，根據(jù)參數(shù)范圍化簡后構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)換為含參恒成立問題，屬于一般性題目.6、C【答案解析】

由三視圖還原原幾何體，借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù).【題目詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，其中，，為直角三角形.∴該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為3.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖還原為原圖，屬于基礎(chǔ)題.7、B【答案解析】

圖像分析采用排除法，利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再利用特值確定函數(shù)的正負(fù)情況?！绢}目詳解】，故奇函數(shù)，四個圖像均符合。當(dāng)時，，，排除C、D當(dāng)時，，，排除A。故選B?！敬鸢更c(diǎn)睛】圖像分析采用排除法，一般可供判斷的主要有：奇偶性、周期性、單調(diào)性、及特殊值。8、B【答案解析】

奇函數(shù)滿足定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱且，在上即可.【題目詳解】A：因?yàn)槎x域?yàn)?，所以不可能時奇函數(shù)，錯誤；B：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足奇函數(shù)，又，所以在上，正確；C：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足奇函數(shù)，，在上，因?yàn)?，所以在上不是增函?shù)，錯誤；D：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，滿足奇函數(shù)，在上很明顯存在變號零點(diǎn)，所以在上不是增函數(shù)，錯誤；故選：B【答案點(diǎn)睛】此題考查判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，注意奇偶性的前提定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，屬于簡單題目.9、A【答案解析】

根據(jù)題意依次計(jì)算得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意知：，，故，，.故選：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列值的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10、D【答案解析】

化簡z＝（1+2i）（1+ai）=，再根據(jù)z∈R求解.【題目詳解】因?yàn)閦＝（1+2i）（1+ai）=，又因?yàn)閦∈R，所以，解得a＝-2.故選：D【答案點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及概念，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.11、B【答案解析】由f(1)=得a2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(-∞,2]上單調(diào)遞增,在[2,+∞)上單調(diào)遞減,故選B.12、D【答案解析】

根據(jù)為等腰三角形，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，又由的斜率為可得出關(guān)系，即可求出漸近線斜率得解.【題目詳解】如圖，因?yàn)闉榈妊切?，，所以?，又，，解得，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：D【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

先根據(jù)條件畫出可行域,設(shè),再利用幾何意義求最值,將最大值轉(zhuǎn)化為軸上的截距,只需求出直線,過可行域內(nèi)的點(diǎn)時取得最大值,從而得到一個關(guān)于,的等式,最后利用基本不等式求最小值即可．【題目詳解】解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線過直線與直線的交點(diǎn)時,目標(biāo)函數(shù)取得最大,即,即,而．故答案為．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用、簡單的線性規(guī)劃,以及利用幾何意義求最值,屬于基礎(chǔ)題．14、【答案解析】

對原方程兩邊求導(dǎo)，然后令求得表達(dá)式的值.【題目詳解】對等式兩邊求導(dǎo)，得，令，則.【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式，考查利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化已知條件，考查賦值法，屬于中檔題.15、【答案解析】

利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，即可得答案．【題目詳解】由已知可得：，，解得．故答案為：．【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、1【答案解析】

根據(jù)條件即可得出，由即可得出，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出λ．【題目詳解】∵向量與的夾角為，||＝||＝1，且；∴；∴λ＝1．故答案為：1．【答案點(diǎn)睛】考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，以及向量垂直的充要條件．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）1（2）【答案解析】

（1）求得和，由，，得，令，令導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，利用，即可求解．（2）解法一：令，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，令（），利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，分類討論，即可求解．解法二：可利用導(dǎo)數(shù)，先證明不等式，，，，令（），利用導(dǎo)數(shù)，分類討論得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．【題目詳解】（1）由題意，得，，由，…①，得，令，則，因?yàn)?，所以在單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故方程①有且僅有唯一解，實(shí)數(shù)的值為1．（2）解法一：令（），則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增;當(dāng)時，，單調(diào)遞減;故．令（），則．（i）若時，，在單調(diào)遞增，所以，滿足題意．（ii）若時，，滿足題意．（iii）若時，，在單調(diào)遞減，所以．不滿足題意．綜上述：．解法二：先證明不等式，，，…（*）．令，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，即．變形得，，所以時，，所以當(dāng)時，.又由上式得，當(dāng)時，，，.因此不等式（*）均成立．令（），則，（i）若時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增;當(dāng)時，，單調(diào)遞減;故．（ii）若時，，在單調(diào)遞增，所以．因此，①當(dāng)時，此時，，，則需由（*）知，，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），所以．②當(dāng)時，此時，，則當(dāng)時，（由（*）知）；當(dāng)時，（由（*）知）．故對于任意，．綜上述：．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計(jì)算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．18、（1）（2）【答案解析】

（1）零點(diǎn)分段法分，，三種情況討論即可；（2）只需找到的最小值即可.【題目詳解】（1）由.若時，，解得；若時，，解得；若時，，解得；故不等式的解集為.（2）由，有，得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的解法以及不等式恒成立問題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.19、（1）（2）【答案解析】

（1）由拋物線定義可知，解得，故拋物線的方程為；（2）設(shè)直線：，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理算出的中點(diǎn)，又，所以直線的方程為，求出，利用求解即可.【題目詳解】（1）設(shè)的準(zhǔn)線為，過作于，則由拋物線定義，得，因?yàn)榈降木嚯x比到軸的距離大1，所以，解得，所以的方程為（2）由題意，設(shè)直線方程為，由消去，得，設(shè)，，則，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，令，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，解得，所以直線的斜率為.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.涉及拋物線的弦的中點(diǎn)，斜率問題時，可采用韋達(dá)定理或“點(diǎn)差法”求解.20、（1）見解析（2）見解析【答案解析】

（1）根據(jù)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分類討論單調(diào)性（2）欲證，只需證，構(gòu)造函數(shù)，證明，這時需研究的單調(diào)性，求其最大值即可【題目詳解】解：（1）的定義域?yàn)?，，①?dāng)時，由得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；②當(dāng)時，由得，由，得，或，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；③當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；④當(dāng)時，由，得，由，得，或，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，欲證，只需證，令，，則，因存在，使得成立，即有，使得成立.當(dāng)變化時，，的變化如下：0單