《機械優(yōu)化設(shè)計》試卷及問題詳解

《機械優(yōu)化設(shè)計》復習題及答案一、填空題1、 用最速下降法求f(X)=100(x2-X]2)2+(1-X])2的最優(yōu)解時，設(shè)X(o)=[-O.5,O.5]T，第一步迭代的搜索方向為 。2、 機械優(yōu)化設(shè)計采用數(shù)學規(guī)劃法，其核心一是建立搜索方向二是計算最佳步長因子 。3、當優(yōu)化問題是__凸規(guī)劃 的情況下，任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4、 應用進退法來確定搜索區(qū)間時，最后得到的三點，即為搜索區(qū)間的始點、中間點和終點，它們的函數(shù)值形成 趨勢。5、包含n個設(shè)計變量的優(yōu)化問題，稱為 維優(yōu)化問題。6、函數(shù)1XtHX+BtX+C的梯度為 HX+B 。2 7、 設(shè)G為nxn對稱正定矩陣，若n維空間中有兩個非零向量d。，di，滿足(do)TGd】=O,則d0、d1之間存在—共軛 關(guān)系。8、 設(shè)計變量、約束條件 、目標函數(shù) 是優(yōu)化設(shè)計問題數(shù)學模型的基本要素。9、 對于無約束二元函數(shù)f(x,x)，若在x(x,x)點處取得極小值，其必要條件是梯1201020TOC\o"1-5"\h\z度為零 ，充分條件是 。10、 庫恩-塔克 條件可以敘述為在極值點處目標函數(shù)的梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負線性組合。11、 用黃金分割法求一元函數(shù)f(x)二x2-10x+36的極小點，初始搜索區(qū)間[a,b]=[-10,10]，經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為 。12、優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學模型的基本要素有 、13、牛頓法的搜索方向dk= ，其計算量大，且要求初始點在極小點逼近位置。14、將函數(shù)f(X)=X12+X22-X1X2-10X1-4X2+60表示成|XtHX+BtX+C的形式 。15、 存在矩陣H,向量d1，向量d2,當滿足(d1)TGd2=0 ，向量d1和向量d2是關(guān)于H共軛。16、 采用外點法求解約束優(yōu)化問題時，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點形式時引入的懲罰因子r數(shù)列，具有 由小到大趨于無窮 特點。17、 采用數(shù)學規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點時，根據(jù)迭代公式需要進行一維搜索，即求 。二、選擇題1、下面 方法需要求海賽矩陣。A、 最速下降法B、 共軛梯度法C、 牛頓型法D、 DFP法2、 對于約束問題minf(X)=x2+x2一4x+4122g(X) -1>0g(X)=3-x>0g(X)=x>032根據(jù)目標函數(shù)等值線和約束曲線，判斷 X(1)=[1,1]為 ，X(2)=[5,1]t為 。內(nèi)點；內(nèi)點外點；外點內(nèi)點；外點外點；內(nèi)點3、內(nèi)點懲罰函數(shù)法可用于求解 優(yōu)化問題。A無約束優(yōu)化問題B只含有不等式約束的優(yōu)化問題C只含有等式的優(yōu)化問題D含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題4、 對于一維搜索，搜索區(qū)間為[a,b],中間插入兩個點a「b1，a1<b1，計算出f(a1)<f(b1),則縮短后的搜索區(qū)間為 。A[a1，b1]B[b1，b]C[a1，b]D[a,bj5、 不是優(yōu)化設(shè)計問題數(shù)學模型的基本要素。A設(shè)計變量B約束條件C目標函數(shù)D最佳步長6、 變尺度法的迭代公式為xk+i=xk-aHk^f(xk)，下列不屬于Hk必須滿足的條件的是 。Hk之間有簡單的迭代形式擬牛頓條件與海塞矩陣正交對稱正定7、函數(shù)f(X)在某點的梯度方向為函數(shù)在該點的 。A、 最速上升方向B、 上升方向C、 最速下降方向D、 下降方向8、下面四種無約束優(yōu)化方法中， 在構(gòu)成搜索方向時沒有使用到目標函數(shù)的一階或二階導數(shù)。A梯度法B牛頓法C變尺度法D坐標輪換法9、 設(shè)f(X)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導數(shù)的函數(shù)，則f(X)在R上為凸函數(shù)的充分必要條件是海塞矩陣G(X)在R上處處 。A正定B半正定C負定D半負定10、下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法一黃金分割法的敘述，錯誤的是 ,假設(shè)要求在區(qū)間［a，b］插入兩點a「a2，且a1<a2oA、 其縮短率為0.618B、 a1=b-X(b-a)C、 a［=a+九(b-a) D、在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。11、 與梯度成銳角的方向為函數(shù)值上升方向，與負梯度成銳角的方向為函數(shù)值下降方向，與梯度成直角的方向為函數(shù)值不變方向。A、 上升B、 下降C、 不變D、 為零12、二維目標函數(shù)的無約束極小點就是 。A、 等值線族的一個共同中心B、 梯度為0的點C、 全局最優(yōu)解D、 海塞矩陣正定的點13、最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為 向量。A相切B正交C成銳角D共軛14、下列關(guān)于內(nèi)點懲罰函數(shù)法的敘述，錯誤的是 。A可用來求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問題。B懲罰因子是不斷遞減的正值C初始點應選擇一個離約束邊界較遠的點。D初始點必須在可行域內(nèi)15、 通常情況下，下面四種算法中收斂速度最慢的是A牛頓法B梯度法C共軛梯度法D變尺度法16、 一維搜索試探方法——黃金分割法比二次插值法的收斂速度A、慢B、快C、一樣D、不確定17、下列關(guān)于共軛梯度法的敘述，錯誤的是 。A需要求海賽矩陣B除第一步以外的其余各步的搜索方向是將負梯度偏轉(zhuǎn)一個角度C共軛梯度法具有二次收斂性D第一步迭代的搜索方向為初始點的負梯度三、問答題1、試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)答：搜索的原理是：區(qū)間消去法原理區(qū)別：（1）、試探法：給定的規(guī)定來確定插入點的位置，此點的位置確定僅僅按照區(qū)間的縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系，如黃金分割法（2）、插值法：沒有函數(shù)表達式，可以根據(jù)這些點處的函數(shù)值，利用插值方法建立函數(shù)的某種近似表達式，近而求出函數(shù)的極小點，并用它作為原來函數(shù)的近似值。這種方法稱為插值法，又叫函數(shù)逼近法。2、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么？答，基本原理是將優(yōu)化問題的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標函數(shù)結(jié)合形成新的目標函數(shù)一一懲罰函數(shù)求解該新目標函數(shù)的無約束極值，以期得到原問題的約束最優(yōu)解3、 試述數(shù)值解法求最佳步長因子的基本思路。答主要用數(shù)值解法，利用計算機通過反復迭代計算求得最佳步長因子的近似值4、 試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點。答：最速下降法此法優(yōu)點是直接、簡單，頭幾步下降速度快。缺點是收斂速度慢，越到后面收斂越慢。牛頓法優(yōu)點是收斂比較快，對二次函數(shù)具有二次收斂性。缺點是每次迭代需要求海塞矩陣及其逆矩陣，維數(shù)高時及數(shù)量比較大。5、 寫出用數(shù)學規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意義，并說明迭代公式的意義。四、解答題1、試用梯度法求目標函數(shù)f（X）=1.5X]2+0.5x22-X]X2-2X]的最優(yōu)解，設(shè)初始點x（0）=[-2,4卩,選代精度8=0.0（迭代一步）。K以初耶i.h嚴=|T41"則卸蠟山趾函數(shù)們覽梯度廿別為126126-2十応1-6%沿負擁覽爐疋訕行堆披索：/:-20%■-12'_■11咗4.164■他一X-』-%可_-lUI'O^j為■堆捜索量魅:撈KirOij./IV1f=mill Ir-j.,J[I求Qitp|(rn|-6L2if(l18Q■0；\a'}=畑r：-l80trn+26=射70ti2、 試用牛頓法求f(X)=(X]-2)2+(X]-2x2)2的最優(yōu)解，設(shè)初始點x(0)=[2,l卩。3、 設(shè)有函數(shù)f(X)=x12+2x22-2x1x2-4x1，試利用極值條件求其極值點和極值。4、 求目標函數(shù)f(X)=xl2+xlx2+2x22+4xl+6x2+l0的極值和極值點。Gg=67

dx；Gg=67

dx；

d1/眺肚J\Ldx.dXi產(chǎn)了

舐牡、32f

牝此4 0 2U1022224X(十2XjlUjfr+2x,-6=0，得駐點為召=_112x1+2龜+2曲如_~2_再很據(jù)扱住的充汁條件，河斷吐駐貞是否為極苣點,di]■■則0州)的一階主子式為:=4>0|GQ|=I)010=4>0|GQ|=I)010=40>0三階主子式為士5、試證明函數(shù)f(X)=2x12+5x22+x32+2x3x2+2x3x1-6x2+3在點[1,1,-2]T處具有極小值。

6、給定約束優(yōu)化問題minf(X)=(x1-3)2+(x2-2)2s.t.g](X)=—X]2—x22+5±0g2(X)=—X]—2x2+4±0g3(X)=X]±0g4(X)=x2±0驗證在點X=[2,1]TKuhn-Tucker條件成立。7、設(shè)非線性規(guī)劃問題minf(X)=(x-2)2+x212s.t.g(X)=x>011g(X)=x>022g(X)=x2-x2+1>03 1 2用K-T條件驗證X*=1,0丄為其約束最優(yōu)點。10、如圖，有一塊邊長為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長為X的方塊并折轉(zhuǎn)，造一個無蓋的箱子，問如何截法(x取何值)才能獲得最大容器的箱子。試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。令其一階導數(shù)為零(RPtZV/fcO),求這個簡單的最優(yōu)化問題可把箱了的容積V表成變量參數(shù)%的函數(shù)，V=x(6-2x)2,得極大點*1、函數(shù)極大值人粧二從而獲得四角截去邊長lm的止方形使折轉(zhuǎn)的箱子容積最大(16w3令其一階導數(shù)為零(RPtZV/fcO),求11、某廠生產(chǎn)一個容積為8000cm3的平底無蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計此容器消耗原材料最少，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。12、一根長l的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應以怎樣的比例截斷鉛絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。設(shè)以2的比例截取鉛絲，能使問題達到最優(yōu)解.如圖助小一；J111' 解得：AC= TCB=——CT 】+2 】+2折成的圜形和方形的面積之和為:S=4—-—1?+[—-—1?2jt(I+Z)J(l+Z)=占唏+令則這個問題的優(yōu)化數(shù)學模型為:13、求表面積為300m2的體積最大的圓柱體體積。試寫出這一優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學模型以及用MATL