2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題：圓中證明及計(jì)算問題

(2019?鄭州聯(lián)考)已知：如圖‘△ABC內(nèi)接于OO,AB為直徑,ZCBA的平分線交AC于點(diǎn)F,交OO于點(diǎn)D,DELAB于點(diǎn)E,且交AC于點(diǎn)P,連結(jié)AD.求證：ZDAC=ZDBA；求證：P是線段AF的中點(diǎn)；連接CD,若CD=3,BD=4,求OO的半徑和DE的長(zhǎng).【答案】見解析.【解析】(1)證明：TBD平分ZCBA,AZCBD=ZDBA,?/ZDAC與ZCBD是弧CD所對(duì)的圓周角,AZDAC=ZCBD,AZDAC=ZDBA；證明：TAB為直徑，AZADB=90°,TDE丄AB于E,AZDEB=90°,.\ZADE+ZBDE=ZDBE+ZBDE=90°,.\ZADE=ZDBE=ZDAC,:.PD=PA,VZDFA+ZDAF=ZADE+ZBDE=90°,AZPDF=ZPFD,.??PD=PF,???PA=PF，即P是線段AF的中點(diǎn)；解：?.?ZCBD=ZDBA,CD=3,由勾股定理得：AB=5,即0O的半徑為2.5,由DEXAB=ADXBD,即:5DE=3X4,.??DE=2.4.即DE的長(zhǎng)為2.4．(2019?安陽(yáng)二模)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O在對(duì)角線AC上，以O(shè)A的長(zhǎng)為半徑的圓O與AD,AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn),且ZACB=ZDCE.判斷直線CE與0O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；若tanZACB=1，BC=4，求0O的半徑.2答案】見解析.【解析】(1)直線CE與0O相切,證明：連接OE，VOA=OE，AZEAO=ZAEO,VZACB=ZDCE，AZAEO=ZACB=ZDCE，???四邊形ABCD是矩形，.??BC〃AD,:.ZACB=ZDAC,?.?ZACB=ZDCE,:.ZDAC=ZDCE,由ZD=90°，得:/DCE+/DEC=90°,:.ZAEO+ZDEC=90°,:.ZOEC=90°,即卩0E丄EC,'：0E為半徑，???直線CE與00相切；(2)解：在Rt^ACB中，AB=tanZACBXBC=1X4=2,2由勾股定理得：AC=2p5?:ZACB=ZDCE,?tanZDCE=tanZACB=,2在Rt^DCE中，CD=AB=2,DE=DCXtanZDCE=2X1=1,2由勾股定理得：CE=、舌在Rt^COE中，CO2=CE2+OE2,0E=0A,(2叮5-0A)2=OA2+(*5)2,3/5解得：0A=,43/5即00的半徑是■?4(2019?平頂山三模)如圖，在△ABC中，AC=BC,AB是0C的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)D,直線AC交0C于點(diǎn)E、F,且CF=1AC,2求證：MBF是直角三角形；若AC=6，則直接回答B(yǎng)F的長(zhǎng)是多少.答案】見解析.【解析】（1）證明：連接CD,則CF=CD,TAB是0C的切線.:.CD丄AB,ZADC=ZBDC=90°,在Rt^ACD中，CF=[AC,2ACD=CF=1AC,?：ZA=30°2TAC=BC,AZABC=ZA=30°,AZACB=120°,ZBCD=ZBCF=60°,TBC=BC,.?.△bcd^abcf,AZBFC=ZBDC=90°,.△ABF是直角三角形.(2)解：由(1)知：AC=BC,CD丄A