【教學課件】環(huán)節(jié)五 余弦定理、正弦定理應用舉例（一）

環(huán)節(jié)五余弦定理、正弦定理應用舉例（一）平面向量的應用復習引入

問題1：前面兩節(jié)課我們定量的探究了三角形邊和角的關系，得到了余弦定理和正弦定理，你還記得嗎？

答案：（1）余弦定理（lawofcosines）三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即（2）正弦定理（lawofsines）在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即.

推論：復習引入

問題1：前面兩節(jié)課我們定量的探究了三角形邊和角的關系，得到了余弦定理和正弦定理，你還記得嗎？

追問1：正、余弦定理和推論可以解決哪幾類解三角形的問題？

答案：余弦定理解決：（1）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；（2）已知三邊，求三個角.

答案：正弦定理解決：（1）已知兩角和任一邊，求其余的兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而求其余的邊和角．技能應用

例1：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c．已知c=4，．若△ABC的面積等于

，求a，b．

追問1：三角形的面積是底×高的一半，能不能把高轉(zhuǎn)化為邊與角？試著把面積公式轉(zhuǎn)化一下．

答案：可以用邊和角表示高，則三角形面積公式為

．技能應用

例1：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c．已知c=4，．若△ABC的面積等于

，求a，b．

答案：∵c=4，．△ABC的面積．∴ab=16．由余弦定理：

，∴，解得：a=b=4．

例2：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，在以下三個條件下分別求C：

技能應用

追問1：根據(jù)三角形三邊關系、正余弦定理及其推論，試著完成.①；②

；③

．選①：，∵由正弦定理得，∴，即，∴，∵，∴．技能應用

例2：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，在以下三個條件下分別求C：選②：由正弦定理得，，∴，，，∵，∴，∴，∴．

追問1：根據(jù)三角形三邊關系、正余弦定理及其推論，試著完成.①；②

；③

．技能應用

例2：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，在以下三個條件下分別求C：選③：，，，∵，∴．

追問1：根據(jù)三角形三邊關系、正余弦定理及其推論，試著完成.①；②

；③

．技能應用

例3：在△ABC中，

，，點D在線段AC上，且，．（1）求BC；（2）求△DBC的面積．

追問1：觀察題目，三角形中還隱藏著哪些角與角的關系？試著解一解．

答案：∠ADB與∠BDC互補.BADC技能應用

解（1）：

，在△ABC中，設BC=a，AC=3b，由余弦定理可得：①，在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得：，

．因為，所以有，所以②，由①②可得a=3，b=1，即BC=3．

例3：在△ABC中，

，，點D在線段AC上，且，．（1）求BC；（2）求△DBC的面積．BADC技能應用

例3：在△ABC中，

，，點D在線段AC上，且，．（1）求BC；（2）求△DBC的面積．BADC

解（2）：由（1）知，則，又AB=2，BC=3，則△ABC的面積為，又因為AD=2DC，所以△DBC的面積為．

技能應用

例4：在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，．（1）求角C；（2）若，D為BC中點，在下列兩個條件中任選一個，求AD的長度．條件①：△ABC的面積S＝4且B＞A；條件②：

．技能應用

例4：在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，．（1）求角C；

解（1）：在△ABC中，由余弦定理知：，所以，所以．又由正弦定理知：，得

，所以，即：．所以

，因為，所以，所以，又因為，所以．技能應用

例4：在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，．（2）若，D為BC中點，在下列兩個條件中任選一個，求AD的長度．條件①：△ABC的面積S＝4且B＞A；條件②：

．

解（2）：若選擇條件①：因為

，所以，由余弦定理知：，所以，由，在△ACD中，所以．，解得：或，因為B>A，所以b>a，所以，即技能應用

例4：在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，．（2）若，D為BC中點，在下列兩個條件中任選一個，求AD的長度．條件①：△ABC的面積S＝4且B＞A；條件②：

．在△ABD中,由余弦定理知：，解得．

解（2）：若選擇條件②：因為

，所以，由正弦定理知：