【教學課件】環(huán)節(jié)五 三角恒等變換（三）

三角恒等變換環(huán)節(jié)五三角恒等變換（三）復習引入問題1對于三角恒等變換，你積累了哪些經驗？答案：在進行三角恒等變換時，應該分析已知條件與目標之間的差異，這些差異包括角的差異、三角函數名的差異、式子結構差異等等．找到“差異”之后，根據“差異”選擇合適的公式，逐步消除這些“差異”，最終達到目標．1．典例精析技能初建追問1什么樣的三角函數式便于求周期，最大值和最小值等性質？答案：

便于求周期和最大值、最小值等性質的三角函數式：形如y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的一個角的一個三角函數名的形式．例1

求下列函數的周期，最大值和最小值：（1）y＝sinx+

cosx；（2）y＝3sinx＋4cosx．1．典例精析技能初建追問2

三角函數式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)，利用和差角公式展開，都可化為哪種形式？答案：

均可化為asinωx+bcosωx的形式．1．典例精析技能初建答案：

不能；利用同角三角函數關系sin2x+cos2x=1，可知滿足m2+n2=1的實數m，n才可以分別看作同一個角的正弦和余弦．追問3

依據等式的性質，也可以逆用和差角公式將asinωx+bcosωx化為Asin(ωx+φ)或者Acos(ωx+φ)的形式．對于y＝sinx+

cosx，其中sinx與cosx的系數1與

能否看成同一個角的正弦和余弦？滿足什么條件的兩個實數才可以分別看作同一個角的正弦和余弦？1．典例精析技能初建

因此，所求周期為π，最大值為2，最小值為－2．解：（1）（解法1）：y＝sinx+

cosx＝＝

．（解法2）：y＝sinx+

cosx＝＝

．

因此，所求周期為π，最大值為2，最小值為－2．（2）解法1：設3sinx＋4cosx＝Asin(x＋φ)，則3sinx＋4cosx=Asinxcosφ+Acosxsinφ，于是Acosφ=3，Asinφ=4.于是A2cos2φ+A2sin2φ=25，所以A2=25．技能初建1．典例精析取A=5，則cosφ＝

，sinφ＝

．由y=5sin(x＋φ)可知，所求周期為2π，最大值為5，最小值為－5．技能初建1．典例精析則y=5(sinxcosφ+cosxsinφ)=5sin(x＋φ)．故所求周期為2π，最大值為5，最小值為－5．解法2：3sinx＋4cosx＝

，令

，解得A2=25，不妨取A=5，則3sinx＋4cosx＝5

，令cosφ＝

，sinφ＝

，2．方法提煉問題2

由特殊到一般，你能將y＝asinωx+bcosωx轉化為y=Asin(ωx+φ)或者y=Acos(ωx+φ)的形式嗎？技能初建教師講解：因為這個變換過程引進了輔助角φ，因此公式被稱為輔助角公式．答案：

類比例1（2）的方法，可得y＝asinωx+bcosωx=sin(ωx+φ)，其中sinφ=，cosφ=；或者y＝asinωx+bcosωx=cos(ωx－φ)，其中sinφ=，cosφ=．3．典例精析技能初建追問1

要求最大面積，首先需要根據已知條件表示矩形的面積，它的長和寬與角α有怎樣的關系呢？你是如何得到的？例2

如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為

的扇形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內接矩形．記∠POC＝α，求當角α取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積．答案：在直角△OBC中，得寬BC=sinα．由圖得AB=OB－OA，而在直角△OBC中，得OB=cosα，在直角△OAD中，OA=AD=BC=sinα，所以AB=cosα－sinα．因此，可得S=(cosα－sinα)sinα=cosαsinα－sin2α．技能初建3．典例精析答案：先利用降冪公式將函數化為y＝asinωx+bcosωx的形式，再利用輔助角公式將其化為y=Asin(ωx+φ)或者y=Acos(ωx+φ)的形式，即可求得最值．追問2

對于函數S=cosαsinα－

sin2α，根據你已有的經驗，需要將這個解析式轉化為哪種形式利于求出最值？解：在Rt△OBC中，OB＝cosα，BC＝sinα．在Rt△OAD中，

＝tan60°＝

．所以OA＝

DA＝

BC＝

sinα，AB＝OB－OA＝cosα－

sinα．設矩形ABCD的面積為S，則技能初建3．典例精析S＝AB·BC＝(cosα－

sinα)sinα=cosαsinα－

sin2α＝

sin2α－

(1－cos2α)＝

sin2α＋

cos2α－

＝

．由0＜α＜

，得

＜2α+

＜

，所以當2α＋

=

，即α＝

時，S最大＝

－

=

．因此，當α＝

時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為

．答案：在變換過程中，化高次為一次，化多項為一項，化陌生為熟悉，滲透了化歸思想．技能初建問題3

回顧例1、例2的解答過程，其中蘊含了什么數學思想？3．典例精析歸納小結問題4

（1）本節(jié)課研究了形如或可化為y＝asinωx+bcosωx的函數的性質，求解方法是進一步將其轉化為y=Asin(ωx+φ)或者y=Acos(ωx+φ)的形式，那么，為什么要化為這種形式？轉化的依據是什么？你對三角恒等變換有什么新的體會？歸納總結（2）你請繼續(xù)完善本單元的知識結構圖．歸納小結答案：（1）y=Asin(ωx+φ)或者y=Acos(ωx+φ)的形式更加方便求出函數的性質．變形依據主要是和差角公式、倍角公式等等．三角恒等變換總得來說是轉化與化歸，將所求化為已知，“異角”化為“同角”，“異名”化“同名”，髙次化為一次等等．歸納總結歸